2023年初一数学期末总复习.pdf

优秀学习资料 欢迎下载 初一数学期末总复习 编稿：陈琳琳 审稿：张扬 责编：赵亚莉 知识点汇总 第五章 相交线与平行线 知识网络 学习目标：1掌握平行线的性质与判定，会应用平行线的性质与判定；2掌握同位角、内错角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义及性质；3会运用同位角、内错角、同旁内角的定义判定两直线是否平行；4掌握平行线平移的公理、判定及性质，理解平移的特征.重点：垂线的概念与平行线的性质和判定.难点：优秀学习资料 欢迎下载 推理能力的培养与形成.知识要点梳理：知识点一：对顶角、邻补角 1对顶角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角.对顶角性 质：对顶角相等.2邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角.邻补角性质：邻补角互补.注意：（1）对顶角形成的前提条件是两条直线相交.（2）邻补角是互补的一种特殊情况：数量上互补，位置上有一条公共边.知识点二：垂线及其性质 1垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.当提到线段与线段、线段与射线、射线与射线、射线与直线垂直等情况时，是指它们所在的直线互相垂直.根据定义可知，两直线垂直时，则四个交角为直角.反之，若两直线交角为直角，则两直线互相垂直.2垂线的性质：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.注意：（1）直线外一点到这条直线的垂线段只有一条，而斜线段有无数条；（2）垂线是直线，而垂线段特指一条线段，是图形，点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量.3垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，让直角三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.知识点三：点到直线的距离 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.垂线段概念和垂线段最短的性质是定义点到直线距离的依据，它的第一特征是“长度”，第二特征是“点到直线的垂线段”，第二特征是第一特征的定义语，根据定义，可知点到直线的距离的测量方法：找出这点到直线的垂线段；量出这条垂线段的长.知识点四：同位角、内错角、同旁内角 1同位角：两个角都在两条被截线的同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角.2内错角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角.3同旁内角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.注意：（1）这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的；（2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的；（3）两条直线被第三条直线截成的 8 个角中共有 4 对同位角、2 对内错角、2 对同旁内角.4如何判别同位角、内错角、同旁内角 （1）定义法 根据定义，两个角共涉及三条直线（或射线或线段），两角的一边分别在两条直线上，而另一边在同一直线上，两角有“共线边”是定义的实质，抓住“一边共线”便不难识别.（2）描粗相关线条法 把相关一对角的边用粗线条描出，两角关系便极易识别.知识点五：平行线 1平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 注意：（1）平行线的定义有三个特征：在同一平面内；两条直线；不相交.三者缺一不可.（2）在同一平面内，两条直线只有两种位置关系；相交和平行.应特别注意，“在同一平面内”这一 条件.重合的直线只视为一条直线，不属于上面任何一种位置关系.垂直则是相交的特殊情况.2平行线的画法：过直线外一点画已知直线的平行线，可按“落、靠、移、画”四字操作：一“落”把三角尺的一边落在已知直线上；二“靠”用直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”沿三角尺过已知点的边画直线.知识点六：平行公理及推论 1平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.注意：平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质.2推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.知识点七：平行线的判定与性质 1平行线的判定 （1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简述为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.2平行线的性质 性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简称：两直线平行，同位角相等.性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等.性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简称：两直线平行，同旁内角互补.注意：（1）只有“两直线平行”才有同位角、内错角相等，同旁内角互补，否则不成立.（2）平行的判定和性质的区别：判定是由角相等或互补得出两直线平行，性质是由两直线平行得出角 相等或互补，它们的条件和结论恰好相反.3平行线的判定和性质的区别与联系：（1）联系：平行线的性质描述是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关 系，是由“位置关系”到“数量关系”；而平行线的判定，是以角的相等或互补为前提，两直线 平行是推导出来的，是从“数量关系”到“位置关系”.由此可知，判定与性质之间是一种互逆关 系.（2）区别：判定和性质虽说只是语序位置颠倒，但却是两个截然不同的概念；由角的关系得到两 直线平行，是判定；由平行线得到角的相等或互补关系，是性质.4平行线的判定、性质的综合应用：平行线性质与判定的综合运用，这是与平行线相关的问题的常见题型，即应用性质，求得角相等或互补，再进行角与角之间的换算，得新的角相等或互补，义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 从而推证又一对平行线的存在；或是先由一对已知角的相等或互补推得两直线平行，再推证新的一对角相等或互补.知识点八：两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做两条平行线的距离.注意：（1）与两点间的距离、点到直线的距离类似，这里的距离仍指符合条件的线段的长度，是数量；（2）两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变；（3）平行线间的距离处处相等；（4）两条平行线的距离有广泛的应用，像梯形的高，测量河宽、路宽等都是指两条平行线的距离.知识点九：命题的概念 1定义：判断一件事情的语句叫做命题.2含义：命题一般由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.命题的定义的两层含义：命题是一个完整的句子；命题必须是对某件事情做出肯定或否定的判断.3形式：命题由题设和结论两部分组成，通常可以写成“如果那么”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论.4命题包括两种：判断为正确的命题称为真命题；判断为错误的命题称为假命题.知识点十：平移 1平移的定义：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，叫做平移变换，简称平移.注意：平移是由移动的方向和距离决定的.2平移的性质：（1）平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同；（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应 点的线段平行且相等.注意：平移只是图形位置发生变化，其他（如形状、大小等）保持不变.3简单的平移作图 （1）平移作图的依据是图形平移的特征：对应线段、对应角相等；对应点所连线的线段平行且相等；（2）平移作图的关键是确定关键点平移后的位置；（3）平移作图要注意作图的方向性以及平移图形对距离的要求.注意：图形的平移具有两大要素：平移方向；平移距离.故平移作图时，弄清这两点是作准平移图形的基础.4平移的作用：通过平移基本图案构造美丽图案.平移可将一个角、一条线段、一个图形平移到另一个位置，使分散的条件集中到一起，便于问题的解决.5平移作图的步骤 （1）分析题目要求，找出平移的方向和平移的距离；（2）分析所作的图形，找出构成图形的关键点；（3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点；（4）连接所作的各个关键点，并标上相应字母；（5）写出结论.规律方法指导 本章知识是学习线和角的继续，也是学习几何图形知识的重要基础.以后几乎所有几何图形的学习都要用到本章知识.在研究相交所成的角时，把所成的角进行分类，这种“分类思想”是数学的重要思想.定义和公理是进行逻辑推理的主要依据，要注意对平行线的定义、平行公理的理解.判定两条直线平行的方法有：平行线的定义；平行公理的推论；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，但定义一般不常用，说明时要注意书写格式.在本章中也有很多推理性问题，解题时应先分析已知条件（看能得到什么结论），再分析所求问题（看需要什么条件），然后利用分析法或综合法解决问题.作“辅助线”是解决几何问题的重要方法，在已知与所求很难联系的时候，应考虑作辅助线.通过本章的学习还要训练读图能力，能从复杂义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 图形中抽象出简单图形，能在图形中识别同位角、内错角和同旁内角，从而准确地判断哪两条直线平行，进一步体会“数形结合”的重要思想.第六章 平面直角坐标系 知识网络 学习目标：1理解有序数对和平面直角坐标系的有关概念，了解平面内的点与有序数对之间的关系.2理解平面直角坐标系内点的坐标的意义；会根据坐标确定点和求点的坐标.3能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置.义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 4在同一平面直角坐标系中，掌握平移变化所引起图形上点的横、纵坐标的变化规律.重点：平面直角坐标系的有关概念，包括象限内点的符号特征，坐标轴上的点的特征.难点：坐标方法的简单应用，主要体现平面直角坐标系在确定地理位置和表示平移变换中的应用.知识要点梳理 知识点一：有序数对 有顺序的两个数组成的数对叫做有序数对，记作.注意的顺序不能改变.利用有序数对，可以很准确的表示一个位置.知识点二：平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴成为轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.知识点三：点的坐标 平面内有一点 A，由点 A 分别向轴和轴作垂线，垂足在轴上的坐标是，垂足在轴上的坐标是，则 A 的横坐标是，纵坐标是，有序数对就叫做点 A 的坐标，记作 A.知识点四：坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：轴上，轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限中在这六个区域（见图一）中，除轴与轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点.知识点五：坐标平面内点的坐标的特点 （1）各象限内点的坐标的特点（参见图一）：点 P在第一象限，；点 P在第二象限，；义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 点 P在第三象限，；点 P在第四象限，.（2）坐标轴上点的坐标的特点：轴上的点的纵坐标为0，轴上的点的横坐标为0，原点的坐标为（0，0），原点既在轴上，又在轴上.（3）平行于轴、轴的直线上的点的坐标的特点：平行于轴的直线上的所有点的纵坐标相同，平行于轴的直线上的所有点的横坐标相同.（4）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特点：若点 P在第一、三象限夹角的平分线上，则.若点 P在第二、四象限夹角的平分线上，则.知识点六：坐标平面内的点到轴、轴及到原点的距离 （1）点 P到轴的距离为，到轴的距离为.（2）点 P到原点的距离为.知识点七：用坐标表示地理位置 （1）建立坐标系，选定一个适当的参照点为原点，确立轴、轴的正方向；（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.知识点八：用坐标表示平移 （1）点的平移：在平面直角坐标系中，将点向右或向左平移个单位，可以得到对应点或；将点向上或向下平移个单位，可以得到对应点或.（2）图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个整数b，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移b 个单位长度.由上可归纳为：在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：；在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：；在坐标系内，平移的点的坐标规律：.注意：平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 规律方法指导 通过本章学习，学生要有意识地培养自己有条理的思考和表达研究两条直线的位置关系时注意突出重点内容，重点是要研究一些图形的性质，如对顶角相等、垂线的性质，以及平行线的判定和性质等，对于一些定义，可不作严格的形式化的要求图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转等通过对图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于发现图形的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题的有效的工具平移是一种基本的图形变换，在探究平移问题时可以运用信息技术工具.信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形的运动变化的过程中去发现其中的不变的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质 第七章 三角形 知识网络 学习目标：1了解三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；2掌握三角形的内角和及多边形的内角和公式；3通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和；4会利用多边形的内角和公式求多边形的边数、角度数、外角度数等；5掌握多边形内角和性质的应用.重点：义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 三角形的三边关系,以及三角形内角和定理的综合应用.难点：本章的难点是镶嵌问题，它综合运用到多边形内角和以及正多边形等知识.知识要点梳理 知识点一：三角形的有关的概念 1三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边上的公共点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.注意：通过三角形的定义可知，三角形的特征有：三条线段；不在同一条直线上；首尾顺次连接.这是判定是否是三角形的标准.2三角形的表示方法：“三角形”用符号“”表示，顶点是A，B，C 的三角形，记作“ABC”，读作“三角形 ABC”.3三角形的分类：4三角形的三边关系 三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反 应了任意三角形边的限制关系.三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这 三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范 围.注意：这里的“两边”指的是任意的两边.对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用.知识点二：三角形的高、中线、角平分线 1三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.注意：（1）三角形的高线是一条线段；（2）锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三 角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好 是三角形的两条直角边，它们的交点是直角的顶点，另一条在三角形的内部.（3）三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.2三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.注意：（1）三角形的中线是一条线段；（2）三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；（3）三角形三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心.3三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 注意：（1）三角形的角平分线是一条线段；（2）三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心.知识点三：三角形的内角与外角 1三角形的内角：（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180.（3）三角形内角和定理的作用：在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；已 知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；求一个三角形中各角之间的关系.2三角形的外角 （1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角和为 360.（2）特点：外角的顶点是三角形的一个顶点；外角的一条边是三角形的一边；外角的另一条边是三角形某条边的延长线.（3）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.知识点四：多边形 1多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.注意：各个角都相等、各个边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.2多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从边形的一个顶点出发，可以画条对角线，边形一共有条对角线.3多边形的内角和公式：边形的内角和为.内角和公式的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数.4多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360.外角和定理的应用：已知外角度数，求正多边形边数；已知正多边形边数，求外角或外角度数.知识点五：镶嵌 1平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.2镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形.规律方法指导 三角形是最简单的多边形，是研究复杂图形的基础，在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.三角形有很多重要性质，如稳定性，三角形内角和等于 180等，这些在工业农业生产中有广泛的应用.通过本章学习可以进一步丰富对图形的认识和感受，提高同学们的思考和说服能力.在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合.数形结合思想和转化思想在本章中体现较为明显，如三角形的三边关系、内角和、外角和的语言表述与符号、数字之间的互化；多边形问题通过连接对角线转化为三角形问题等.本章内容是中考的必考内容，主要考查三角形的三边关系、三角形内角和、多边形内角和、平面镶嵌及其简单的应用.义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 第八章 二元一次方程组 知识网络 学习目标 1了解二元一次方程组及其解的有关概念；2掌握消元法解二元一次方程组的方法；了解代入消元法和加减消元法是两种不同的消元途径；3理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；4掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；5通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念.重点 二元一次方程组的解法和列二元一次方程组解简单的应用题.难点 本章的难点是列出二元一次方程组解决实际问题.知识要点梳理 知识点一：二元一次方程的定义 定义：含有两个未知数（和），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.注意：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.知识点二：二元一次方程的解 定义：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 注意：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立表示.一般情况下，一个二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程.知识点三：二元一次方程组的概念 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.知识点四：二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.注意：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个 方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程 组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程 组 的解有无数个.知识点五：消元法 1消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数.这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2消元的基本思路：未知数由多变少.3消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点六：代入消元法 1由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.2用代入法解决二元一次方程组的一般过程：（1）从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或）,即变成（或）的形式；（2）将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求出（或）的值；（4）把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；（5）用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.知识点七：加减消元法 1两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 做加减消元法，简称加减法.2用加减法解二元一次方程组的一般过程：（1）根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0 的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化 成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；（2）根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形 后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）将两个未知数的值用“”联立在一起即可.知识点八：列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就必须列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.知识点九：列方程解应用题中常用的基本等量关系 1行程问题：速度时间=路程.顺水速度=静水速度+水流速度.逆水速度=静水速度-水流速度.2工程问题：工作效率工作时间=工作量.3浓度问题：溶液浓度=溶质.4银行利率问题：免税利息=本金利率期数.知识点十：列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1审题、弄清题意及题目中的数量关系；2设未知数，可直接设元，也可间接设元；3找出题目中的等量关系 4列出方程组，根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5解所列的方程组，并检验解的正确性；6写出答案.注意：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否 合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.解答步骤简记为：问题方程组解答 规律方法指导 学习本章要注意转化、化归的思想方法.对于二元一次方程组的定义要特别注意，必须满足如下三个条件：整式方程；含有两个未知数；未知数的次数是 1，三者缺一不可.二元一次方程和二元一次方程组有很多类似的地方，学习时可运用类比的思想方法，比较二者有关概念的相同点和不同点，这样，不但能加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识，而且能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力.解二元一次方程组的关键在于消元，也就是要化“二元”为“一元”，在解方程组时应灵活地选用适当的方法进行解答.列方程组解应用题的关键是分析题意，找出相等关系，有些题中有多个相等关系，在找相等义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 关系时应尽量找全.把握题中贯穿整个题意的相等关系，然后列方程组.本章内容是中考命题的重点内容之一，重点考查方程思想、消元思想以及列方程组解决实际问题的能力，尤其注重方法与技巧的考察.第九章 不等式与不等式组 知识网络 学习目标：1了解不等式和不等式的解集等概念以及解集在数轴上的表示方法；2掌握不等式的基本性质，会用它们解不等式；3会解简单的一元一次不等式（组），并会在数轴上表示出来；4能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题；5初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别.重点：一元一次不等式的解法、性质和不等式（组）的应用.难点：不等式的解集、性质及应用不等式（组）解决实际问题.知识要点梳理 知识点一：不等式的概念 义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.1常见的不等号有“”、“”、“”、“”、“”，其中符号“”说明左、右两边的两个量不相等，但不能明确大小；符号“”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边不小于右边；符号“”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边不大于右边.2有些不等式中不含未知数，如34；有些不等式中含有未知数.3对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立.知识点二：不等式的解及不等式的解集 1不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个使这个不等式成立的未知数的值，都叫做这个不等式的解.若要判断某个未知数的值是否是不等式的解，可直接将该值代入不等式的左右两边看不等式是否成立，如果成立则是，否则不是.2不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫做解不等式.注意：不等式的解集必须符合两个条件：解集中的每一个数值都能使不等式成立；能够使不等式成立的所有的数值都在解集中.知识点三：一元一次不等式 1定义：含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式.一元一次不等式必须三个条件同时具备，缺一不可：不等式的左右两边都是整式；不等式中只含有一个未知数；未知数的次数是1.2一元一次不等式与一元一次方程的区别和联系：（1）相同点：二者都是只含有一个未知数；未知数的次数都是 1；左边和右边都是整式.（2）不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号连接，不等号有方向，一元一次方程表示相等 关系，由等号连接，等号没有方向.知识点四：不等式的基本性质 1不等式的性质 不等式的性质 1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变.用式子表示：如果，那么.不等式的性质 2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.用式子表示：如果，那么（或）.不等式的性质 3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.用式子表示：如果，那么（或）.2不等式的简单变形 （1）不等式变形的“移项”依据：不等式性质1.方法：把不等式中的某些项改变符号后从不等式的一边移到另一边的变形.原则：一般把含未知数的项移到不等式的左边，不含未知数的项移到不等式的右边.（2）“将未知数的系数化为1”的依据是：不等式的性质2、3.方法：将不等式两边同时除以未知数的系数（或乘以未知数的系数的倒数）.注意：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别；运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2 和性质 3 的区别，在乘以（或除以）同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变.3不等式的性质与等式的性质的相同点和不同点：（1）相同点：不管是等式还是不等式，都可以在它的两边加（或减）同一个数（或同一个整式）；义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 不管是等式还是不等式，都可以在它的两边乘以（或除以）同一个正数。（2）不同点：等式的两边乘以（或除以）同一个负数，等式仍然成立；不等式两边乘以（或除以）同 一个负数，不等号要改变方向.知识点五：不等式解集的数轴表示 为了更清楚、直观地表示出不等式的解集，我们常常利用数轴，在数轴上把解集表示出来，需要注意的地方是，大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心圆点”，不包括端点用“空心圆圈”.知识点六：解一元一次不等式的步骤 1去分母：不等式中有分母的，要通过不等式两边都乘以分母的最小公倍数去分母；2去括号：不等式中有括号的要按照有理数中去括号的法则去括号，在去括号过程中要注意符号的变化（注意分数线有括号的作用）；3移项：将不等式中右边含有未知数的项变号后移到左边，将左边的常数项变号移到右边；4合并同类项：把不等式整理成或的形式；5化系数为 1：把不等式两边都除以，将不等式化为或的形式.这一过程要根据的符号决定不等号的方向是否改变.注意：解一元一次方程是根据等式的性质，将方程逐步化为的形式；而解一元一次不等式，则是根据不等式的性质将不等式逐步化为（或）的形式.知识点七：利用不等式解决实际问题 列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.注意：在以上步骤中，审题是基础，根据不等关系列出不等式是关键，而根据题意找出不等关系又是解题的难点，注意积累利用一元一次不等式解简单的实际问题的经验.知识点八：一元一次不等式组及其解集的意义 1一元一次不等式组的意义：类似于方程组，把几个具有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一元一次不等式组.注意：（1）判断一个不等式组是否为一元一次不等式组，要从以下两个方面考虑：组成不等式组的每个不 等式必须是一元一次不等式；整个不等式组中只含有一个未知数.（2）一元一次不等式组中不等式的个数至少是两个，可以更多.2一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.注意：一元一次不等式组的解集是所有组成它的一元一次不等式的解集的公共部分.知识点九：一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的方法步骤：第一步：分别求出不等式组中各个不等式的解集；义及性质会运用同位角内错角同旁内角的定义判定两直线是否平行掌握对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角中有公共顶点但没有意对顶角形成的前提条件是两条直线相交邻补角是互补的一种特殊情况优秀学习资料 欢迎下载 第二步：利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.注意：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈.知识点十：列一元一次不等式组解应用题 利用一元一次不等式组解应用题，关键是要找出所有的不等关系，依据各个不等关系分别列出相应的不等式，从而组成不等式组，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中再联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数.规律方法指导 学习各个概念时，需经历探索形成的过程，通过观察、归纳、类比、概括等方法，由已知过渡到未知，不应死记硬背.注意把语言转化为不等号，明确各个不等号的意义.在利用不等式性质解题时，关键是分清各步发生怎样的变化，用的哪一条性质，是否改变不等号的方向.用不等式解决应用题，有两处应特别注意：设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，应给出肯定的未知数的设法；在最后写答时，从不等式的解集中确定如“至少”的解.在解决实际问题时，要注意方程与不等式的综合运用，要找准题里的相等关系和不等关系.解不等式组与解方程截然不同，一元一次不等式组中只含有一个未知数，解不等式组是分别解不等式组中的每个不等式，然后利用数轴找出它们的公共部分，得不等式组的解集.解