2023年函数的周期性与对称性.pdf

精品资料 欢迎下载 函数的周期性与对称性 1、函数的周期性 若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。f(x a)f(x a)f(xa)f(x)f(x a)1/f(x)f(x a)1/f(x)2、函数的对称性与周期性 性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|a b|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|a b|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 xb 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且 T4|a b|3.函数)(xfy 图象本身的对称性（自身对称）若()()f xaf xb，则()f x具有周期性；若()()f axf bx，则()f x具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、)()(xbfxaf)(xfy 图象关于直线22)()(baxbxax对称 推论 1：)()(xafxaf)(xfy 的图象关于直线ax 对称 推论 2、)2()(xafxf )(xfy 的图象关于直线ax 对称 推论 3、)2()(xafxf )(xfy 的图象关于直线ax 对称 2、cxbfxaf2)()()(xfy 的图象关于点),2(cba 对称 推论 1、bxafxaf2)()()(xfy 的图象关于点),(ba对称 推论 2、bxafxf2)2()()(xfy 的图象关于点),(ba对称 推论 3、bxafxf2)2()()(xfy 的图象关于点),(ba对称 例题分析：1设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10 x时，xxf)(，则)5.47(f等于 ()（A）0.5 （B）5.0 （C）1.5 （D）5.1 2、（山东）已知定义在R上的奇函数)(xf满足(2)()f xf x，则(6)f的值为（）A1 B0 C1 D2 3设)(xf是定义在R上的奇函数，(1)2,(1)(6),ff xf x 求(10).f 4函数)(xf对于任意实数x满足条件1(2)()f xf x，若(1)5f，则(5)f f_ 精品资料 欢迎下载 5已知)(xf是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线1x 对称。（1）求(0)f的值；（2）证明)(xf是周期函数；（3）若()(01)f xxx，求xR时，函数)(xf的解析式，并画出满足条件的函数)(xf至少一个周期的图象。6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x)当 x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式 巩固练习：1函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x0,2时，f(x)x1，则不等式 xf(x)0 在1,3上的解集为()A(1,3)B(1,1)C(1,0)(1,3)D(1,0)(0,1)2设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1)f(x1)，已知当 x0,1时，f(x)121x，则：2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时，f(x)12x3.其中所有正确命题的序号是_ 3设定义在 R 上的奇函数 yf(x)，满足对任意 tR，都有 f(t)f(1t)，且 x0，12时，f(x)x2，则 f(3)f32的值等于()A12 B13C14 D15 4若偶函数 yf(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数，且满足 f(x)(x1)(xa)(3x3)，则 f(6)等于_ 5、（1）_)1()(2121)(xfxfaaaxfxx）对称：，关于点（;（2）_)()(1012214)(1xfxfxxfxx）对称：，关于（3）若),2()(xafxf设个不同的实数根，则有nxf0)(_21nxxx.6设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x.(1)求 f(3)的值；(2)当4x4 时，求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积 为周期函数且性质若函数同时关于点与点中心对称则函数必为周期函数表示对称性图象关于直线对称推论的图象关于直线对称推论的图象关于知定义在上的奇函数是时则满足则的值为设是定义在上的奇函数求函数精品资料 欢迎下载 7 设)(xf是定义在),(上以 2 为周期的周期函数，且)(xf是偶函数，在区间3,2上，.4)3(2)(2xxf求2,1x时，)(xf的解析式.8.设函数)(xf对任意实数x满足)2()2(xfxf，)7(xf,0)0()7(fxf且判断函数)(xf图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.9.已知函数()yf x是定义在R上的周期函数，周期5T，函数()yf x(11)x 是奇函数.又知()yf x在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在2x 时函数取得最小值5.（1）证明：(1)(4)0ff；（2）求(),1,4yf x x的解析式；（3）求()yf x在4,9上的解析式.10.已知)21121()(xxxf，（1）判断)(xf的奇偶性；（2）证明：0)(xf 11、定 义 在 11，上 的 函 数)(xfy 是 减 函 数，且 是 奇 函 数，若0)54()1(2afaaf，求实数a的范围。12（重庆文）已知定义域为R的函数12()2xxbf xa 是奇函数。（）求,a b的值；（）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围。复习题：为周期函数且性质若函数同时关于点与点中心对称则函数必为周期函数表示对称性图象关于直线对称推论的图象关于直线对称推论的图象关于知定义在上的奇函数是时则满足则的值为设是定义在上的奇函数求函数精品资料 欢迎下载 1已知数列na，其前n项和为nS，点(,)nn S在抛物线23122yxx上；各项都为正数的 等比数列nb满足13511,1632b bb.（）求数列na，nb的通项公式；（）记nn nCa b,求数列nC的前n项和nT 2在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且222823ABCbcaS（其中ABCS为ABC的面积）（）求2sincos 22BCA；（）若2b，ABC的面积为 3，求a 3某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为 1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求a，b，c的值；（）在（1）的条件下，将等级系数为 4 的 3 件日用品记为1x，2x，3x，等级系数为 5的 2 件日用品记为1y，2y，现从1x，2x，3x，1y，2y这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率 4.如图，在三棱锥ABCP 中，PA 底面ABC，ACBC，H为PC的中点，2PAAC，1BC.（）求证：AH平面PBC；（）求经过点PABC的球的表面积。5.已知抛物线28(8)xy与y轴交点为M，动点,P Q在抛物线上滑动，且0MP MQ（1）求PQ中点R的轨迹方程W；（2）点,AB C D在W上，,A D关于y轴对称，过点D作切线l，且BC与l平行，点D到,AB AC的距离为12,d d，且122|ddAD，证明：ABC为直角三角形 6.设函数2ln()xf xx.（1）求()f x的极大值；（2）求证：2*12 ln(1)(2)2 1()(21)()ennnnnnnN （3）当方程()0()2af xaRe有唯一解时，方程222()()0axtxtg xtxfxx也有唯一解，求正实数t的值；函数的周期性与对称性 X 1 2 3 4 5 频率 a 02 045 b c A B C P H 为周期函数且性质若函数同时关于点与点中心对称则函数必为周期函数表示对称性图象关于直线对称推论的图象关于直线对称推论的图象关于知定义在上的奇函数是时则满足则的值为设是定义在上的奇函数求函数精品资料 欢迎下载 1、函数的周期性 若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。f(x a)f(x a)f(xa)f(x)f(x a)1/f(x)f(x a)1/f(x)2、函数的对称性与周期性 性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|a b|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|a b|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 xb 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且 T4|a b|3.函数)(xfy 图象本身的对称性（自身对称）若()()f xaf xb，则()f x具有周期性；若()()f axf bx，则()f x具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、)()(xbfxaf)(xfy 图象关于直线22)()(baxbxax对称 推论 1：)()(xafxaf)(xfy 的图象关于直线ax 对称 推论 2、)2()(xafxf )(xfy 的图象关于直线ax 对称 推论 3、)2()(xafxf )(xfy 的图象关于直线ax 对称 2、cxbfxaf2)()()(xfy 的图象关于点),2(cba 对称 推论 1、bxafxaf2)()()(xfy 的图象关于点),(ba对称 推论 2、bxafxf2)2()()(xfy 的图象关于点),(ba对称 推论 3、bxafxf2)2()()(xfy 的图象关于点),(ba对称 例题分析：1设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10 x时，xxf)(，则)5.47(f等于 ()（A）0.5 （B）5.0 （C）1.5 （D）5.1 2、（山东）已知定义在R上的奇函数)(xf满足(2)()f xf x，则(6)f的值为（）A1 B0 C1 D2 3设)(xf是定义在R上的奇函数，(1)2,(1)(6),ff xf x 求(10).f 4函数)(xf对于任意实数x满足条件1(2)()f xf x，若(1)5f，则(5)f f_ 为周期函数且性质若函数同时关于点与点中心对称则函数必为周期函数表示对称性图象关于直线对称推论的图象关于直线对称推论的图象关于知定义在上的奇函数是时则满足则的值为设是定义在上的奇函数求函数精品资料 欢迎下载 5已知)(xf是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线1x 对称。（1）求(0)f的值；（2）证明)(xf是周期函数；（3）若()(01)f xxx，求xR时，函数)(xf的解析式，并画出满足条件的函数)(xf至少一个周期的图象。6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x)当 x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式 解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为 4 的周期函数(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即 f(x)x26x8，x2,4 巩固练习：1函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x0,2时，f(x)x1，则不等式 xf(x)0 在1,3上的解集为()A(1,3)B(1,1)C(1,0)(1,3)D(1,0)(0,1)解析：选 C f(x)的图像如图 当 x(1,0)时，由 xf(x)0 得 x(1,0)；当 x(0,1)时，由 xf(x)0 得 x(1,3)故 x(1,0)(1,3)2设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1)f(x1)，已知当 x0,1时，f(x)121x，则：2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时，f(x)12x3.其中所有正确命题的序号是_ 解析：由已知条件：f(x2)f(x)，则 yf(x)是以 2 为周期的周期函数，正确；当1x0 时 0 x1，f(x)f(x)121x，为周期函数且性质若函数同时关于点与点中心对称则函数必为周期函数表示对称性图象关于直线对称推论的图象关于直线对称推论的图象关于知定义在上的奇函数是时则满足则的值为设是定义在上的奇函数求函数精品资料 欢迎下载 函数 yf(x)的图像如图所示：当 3x4 时，1x40，f(x)f(x4)12x3，因此正确，不正确答案：3设定义在 R 上的奇函数 yf(x)，满足对任意 tR，都有 f(t)f(1t)，且 x0，12时，f(x)x2，则 f(3)f32的值等于()A12 B13C14 D15 解析：选 C 由 f(t)f(1t)得 f(1t)f(t)f(t)，所以 f(2t)f(1t)f(t)，所以 f(x)的周期为 2.又 f(1)f(11)f(0)0，所以 f(3)f32f(1)f12012214.4若偶函数 yf(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数，且满足 f(x)(x1)(xa)(3x3)，则 f(6)等于_ 解析：yf(x)为偶函数，且 f(x)(x1)(xa)(3x3)，f(x)x2(1a)xa,1a0.a1.f(x)(x1)(x1)(3x3)f(6)f(66)f(0)1.5、（1）1)1()(2121)(xfxfaaaxfxx）对称：，关于点（;（2）2)()(1012214)(1xfxfxxfxx）对称：，关于（3）若),2()(xafxf设个不同的实数根，则有nxf0)(naxaxxaxxaxxxxnnn)2()2()2(22221121.),212(111axxaxkn时，必有当 6设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x.(1)求 f(3)的值；(2)当4x4 时，求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积 解：(1)由 f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f(3)f(34)f(1)1.为周期函数且性质若函数同时关于点与点中心对称则函数必为周期函数表示对称性图象关于直线对称推论的图象关于直线对称推论的图象关于知定义在上的奇函数是时则满足则的值为设是定义在上的奇函数求函数精品资料 欢迎下载(2)由 f(x)是奇函数与 f(x2)f(x)，得 f(x1)2f(x1)f(x1)，即 f(1x)f(1x)故知函数 yf(x)的图像关于直线 x1 对称 又 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的图像关于原点成中心对称，则1x0 时，f(x)x，则 f(x)的图像如图所示 当4x4 时，设 f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4SOAB41221 4.7 设)(xf是定义在),(上以 2 为周期的周期函数，且)(xf是偶函数，在区间3,2上，.4)3(2)(2xxf求2,1x时，)(xf的解析式.解：当2,3 x，即3,2x，4)3(24)3(2)()(22xxxfxf 又)(xf是以 2 为周期的周期函数，于是当2,1x，即243x时，).21(4)1(243)4(2)()4()(22xxxxfxfxf有).21(4)1(2)(2xxxf 8.设函数)(xf对任意实数x满足)2()2(xfxf，)7(xf,0)0()7(fxf且判断函数)(xf图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.解：由题设知函数)(xf图象关于直线2x和7x对称，又由函数的性质得)(xf是以 10 为周期的函数.在一个周期区间10,0上，,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且xffffff 故)(xf图象与x轴至少有 2 个交点.而区间30,30有 6 个周期，故在闭区间30,30上)(xf图象与x轴至少有 13 个交点.9.已知函数()yf x是定义在R上的周期函数，周期5T，函数()yf x(11)x 是奇函数.又知()yf x在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在2x 时函数取得最小值5.（1）证明：(1)(4)0ff；（2）求(),1,4yf x x的解析式；为周期函数且性质若函数同时关于点与点中心对称则函数必为周期函数表示对称性图象关于直线对称推论的图象关于直线对称推论的图象关于知定义在上的奇函数是时则满足则的值为设是定义在上的奇函数求函数精品资料 欢迎下载（3）求()yf x在4,9上的解析式.解：()f x是 以5为 周 期 的 周 期 函 数，且 在 1,1上 是 奇 函 数，(1)(1)(51)(4)ffff ，(1)(4)0ff.当1,4x时，由题意可设2()(2)5(0)f xa xa，由(1)(4)0ff得22(12)5(42)50aa ，2a，2()2(2)5(14)f xxx.()(11)yf xx 是奇函数，(0)0f，又知()yf x在0,1上是一次函数，可设()(01)f xkxx 而2(1)2(12)53f ，3k ，当01x 时，()3f xx，从而10 x 时，()()3f xfxx ，故11x 时，()3f xx.当46x 时，有151x ，()(5)3(5)315f xf xxx .当69x 时，154x ，22()(5)2(5)252(7)5f xf xxx 2315,46()2(7)5,69xxf xxx .10.已知)21121()(xxxf，（1）判断)(xf的奇偶性；（2）证明：0)(xf 11、定 义 在 11，上 的 函 数)(xfy 是 减 函 数，且 是 奇 函 数，若0)54()1(2afaaf，求实数a的范围。12（重庆文）已知定义域为R的函数12()2xxbf xa 是奇函数。（）求,a b的值；（）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围。为周期函数且性质若函数同时关于点与点中心对称则函数必为周期函数表示对称性图象关于直线对称推论的图象关于直线对称推论的图象关于知定义在上的奇函数是时则满足则的值为设是定义在上的奇函数求函数精品资料 欢迎下载 10(1)偶函数 (2)奇函数 11(1)偶函数 12、3331,2 复习题：2已知数列na，其前n项和为nS，点(,)nn S在抛物线23122yxx上；各项都为正数的 等比数列nb满足13511,1632b bb.（）求数列na，nb的通项公式；（）记nn nCa b,求数列nC的前n项和nT 2在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且222823ABCbcaS（其中ABCS为ABC的面积）（）求2sincos 22BCA；（）若2b，ABC的面积为 3，求a 3某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为 1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求a，b，c的值；（）在（1）的条件下，将等级系数为 4 的 3 件日用品记为1x，2x，3x，等级系数为 5的 2 件日用品记为1y，2y，现从1x，2x，3x，1y，2y这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率 4.如图，在三棱锥ABCP 中，PA 底面ABC，ACBC，H为PC的中点，2PAAC，1BC.（）求证：AH平面PBC；（）求经过点PABC的球的表面积。5.已知抛物线28(8)xy与y轴交点为M，动点,P Q在抛物线上滑动，且0MP MQ（1）求PQ中点R的轨迹方程W；（2）点,AB C D在W上，,A D关于y轴对称，过点D作切线l，且BC与l平行，点D到,AB AC的距离为12,d d，且122|ddAD，证明：ABC为直角三角形 6.设函数2ln()xf xx.（1）求()f x的极大值；（2）求证：2*12 ln(1)(2)2 1()(21)()ennnnnnnN （3）当方程()0()2af xaRe有唯一解时，方程222()()0axtxtg xtxfxx也有唯一解，求正实数t的值；X 1 2 3 4 5 频率 a 02 045 b c A B C P H 为周期函数且性质若函数同时关于点与点中心对称则函数必为周期函数表示对称性图象关于直线对称推论的图象关于直线对称推论的图象关于知定义在上的奇函数是时则满足则的值为设是定义在上的奇函数求函数精品资料 欢迎下载 复习题答案：1、解：（）23122nSnnQ，当1n 时，112aS 22131352(1)(1)12222nnSnnnn 当时，131nnnaSSn 数列na是首项为 2，公差为 3 的等差数列，31nan 又各项都为正数的等比数列nb满足1 3511,432bbb 421111,432bb qb q ，解得111,22bq，1()2nnb ()由题得1(31)()2nncn 21111125().(34)()(31)()2222nnnTnn 231111112()5().(34)()(31)()22222nnnTnn -得 231111111 3()()()(31)()22222nnnTn L 11111()1421 3(31)()1212nnn 15113()(31)()222nnn 3552nnnT 12 分 2、解析：（）由已知得AbcAbcsin21382cos2即0sin4cos3AA 53sinA54cosA 212coscos22cos2cos12cos2sin22AAAAACB 505921524251626 分 （）由（）知53sinA 2,3s in21bAbcSABC,Abcaccos265222又 13545222542a 13a12 分 3、.解：（1）由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1,a+b+c=0.35 1 分 因为抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，所以 b=320=0.15 3 分 为周期函数且性质若函数同时关于点与点中心对称则函数必为周期函数表示对称性图象关于直线对称推论的图象关于直线对称推论的图象关于知定义在上的奇函数是时则满足则的值为设是定义在上的奇函数求函数精品资料 欢迎下载 等级系数为 5 的恰有 2 件，所以 c=220=0.1 4 分 从而 a=0.35-b-c=0.1 所以 a=0.1 b=0.15 c=0.1 6 分（2）从 日 用 品1X,2X,3X,1Y,2Y中 任 取 两 件，所 有 可 能 结 果(1X,2X),(1X,3X),(1X,1Y),(1X,2Y),（2X,3X）,(2X,1Y),(2X,2Y),(3X,1Y),(3X,2Y),(1Y,2Y)共 10 种，9 分 设事件 A表示“从日用品1X,2X,3X,1Y,2Y中任取两件，其等级系数相等”，则 A包含的基本事件为(1X,2X),(1X,3X),(1X,2X),(1Y,2Y)共 4 个，11 分 故所求的概率 P(A)=410=0.4 12 分 4、（）证明：因为 PA 底面ABC，BC 底面ABC，所以 PABC，又因为 ACBC，PAACA，所以 BC平面PAC，又因为 AH平面PAC，所以 BCAH.因为，ACPA H是PC中点，所以 AHPC，又因为 PCBCC，所以 AH平面PBC.6 分（）9S12 分 5、解：（1）显然直线MP的斜率存在且不为 0，设为k，设PQ的中点R(,)x y 直线:8MPykx与28(8)xy联立解得：2(8,88)Pkk 同理：288(,8)Qk k PQ的中点2244(4,48)Rkkkk 2244,448xkkykk 轨迹方程：24xy6 分（2）由24xy 得：2xy，设222012012(,),(,),(,)444xxxD xC xB x则200(,)4xAx 12011(),42BCkxxx 1202xxx 201011(2,(2)4Bxxxx 101()4ACkxx 又011()4ABkxx 则ACABkk 则DACDAB 12dd 又122|ddAD 则045DACDAB ABC为直角三角形13 分 6、解：（1）432 ln12ln().xxxxfxxx 由()0fx 得,xe x(0,)e e(,)e ()fx 0 ()f x 递增 极大值 递减 为周期函数且性质若函数同时关于点与点中心对称则函数必为周期函数表示对称性图象关于直线对称推论的图象关于直线对称推论的图象关于知定义在上的奇函数是时则满足则的值为设是定义在上的奇函数求函数精品资料 欢迎下载 从而()f x在(0,)e单调递增,在(,)e 单调递减.1()().2f xfee极大4 分（2）证明：1()().2f xfee极大 1()2f xe 2l n12xxe 21ln2xxe 22 l nexx 分别令1,2,3,xn 22 l n 11e，22 l n 22e，22 l nenn 22222(ln1ln2ln3ln)123enn (1)(21)2 ln(1)(2)2 16n nnennn 2*12 ln(1)(2)2 1()(21)()ennnnnnnN 9 分（3）由（1）的结论：方程()0()2af xaRe有唯一解 1a 方程222()()0axtxtg xtxfxx有唯一解 即：22 ln20(0)xtxtxx有唯一解 设()G x 22 ln20(0)xtxtxx 22()()G xxtxtx 由()0G x则20 xtxt 设20 xtxt 的两根为12,x x，不妨设12xx 0t 120 xx 221244,22ttttttxx()G x在2(0,)x递减，2(,)x 递增 要使()G x 22 ln20(0)xtxtxx有唯一解，则2()0G x 即：22222 ln20 xtxtx 又2220 xtxt 由得：222 ln0txtxt 即：222ln10 xx 21x，又2x是方程20 xtxt 的根 22412tttx 12t 14 分 为周期函数且性质若函数同时关于点与点中心对称则函数必为周期函数表示对称性图象关于直线对称推论的图象关于直线对称推论的图象关于知定义在上的奇函数是时则满足则的值为设是定义在上的奇函数求函数