2023年勾股定理经典例题含超详细解析答案.pdf
优秀资料 欢迎下载！勾股定理经典例题 类型一：勾股定理的直接用法 1、在 RtABC 中，C=90 (1)已知 a=6，c=10，求 b，(2)已知 a=40，b=9，求 c；(3)已知 c=25，b=15，求 a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。举一反三 【变式】:如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,则 AB 的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，.求：BC 的长.1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（）A、450a 元 B、225a 元 C、150a 元 D、300a 元 举一反三【变式 1】如图，已知：，于 P.求证：.【变式 2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。150 20m 30m 优秀资料 欢迎下载！类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了到达 B点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的地 C 点。（1）求 A、C 两点之间的距离。（2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?（二）用勾股定理求最短问题 4、如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程 应用如图已知在中求的长某市在旧城改造中计划在市内一块如图所示的优秀资料欢迎下载类型三勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间地的什么方向举一反三变式一辆装满货物的卡车其外形高米宽米要开进优秀资料 欢迎下载！类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、的线段。作法：如图所示 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3 和 1。作法：如图所示在数轴上找到 A 点，使 OA=3，作 ACOA 且截取 AC=1，以 OC 为半径，以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）7、如果ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC 的形状。举一反三【变式 1】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积。应用如图已知在中求的长某市在旧城改造中计划在市内一块如图所示的优秀资料欢迎下载类型三勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间地的什么方向举一反三变式一辆装满货物的卡车其外形高米宽米要开进优秀资料 欢迎下载！【变式 2】已知:ABC 的三边分别为 m2n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数,且 mn),判断ABC 是否为直角三角形.【变式 3】如图正方形 ABCD，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且 BF=AB。请问 FE 与 DE 是否垂直?请说明。【答案】答：DEEF。证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接 DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2+DE2,FEDE。练习 一、判断直角三角形问题：1、.满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是 A.b2=c2a2 B.abc=345 C.C=AB D.ABC=121315 2、若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是 A.42 B.52 C.7 D.52或 7 3、如果ABC的三边分别为m21，2 m，m2+1(m1)那么 A.ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1 B.ABC是直角三角形，且斜边长 2 为m C.ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定 D.ABC不是直角三角形 4、已知 RtABC中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC的面积是（）A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 5、下面几组数:7,8,9;12,9,15;m2+n2,m2 n2,2mn(m,n 均为正整数,mn);2a,12a,22a.其中能组成直角三角形的三边长的是()A.;B.;C.;D.6、三角形的三边长为abcba2)(22,则这个三角形是()A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.7、已知0)10(862zyx,则由此zyx,为三边的三角形是 三角形.9、已知a，b，c为ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状.应用如图已知在中求的长某市在旧城改造中计划在市内一块如图所示的优秀资料欢迎下载类型三勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间地的什么方向举一反三变式一辆装满货物的卡车其外形高米宽米要开进优秀资料 欢迎下载！10、若ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断ABC的形状.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3a2b+ab2ac2+bc2b3=0 11、已知，ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线 AD=15cm，试说明ABC是等腰三角形。经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。举一反三【变式 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为a。【变式 2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【变式 3】若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直应用如图已知在中求的长某市在旧城改造中计划在市内一块如图所示的优秀资料欢迎下载类型三勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间地的什么方向举一反三变式一辆装满货物的卡车其外形高米宽米要开进优秀资料 欢迎下载！角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN 30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设 2 步为 1m），却踩伤了花草。【答案】4 【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD 的面积是多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线）。类型三：数学思想方法 方程的思想方法 4、如图所示，已知ABC 中，C=90，A=60，求、的值。思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。应用如图已知在中求的长某市在旧城改造中计划在市内一块如图所示的优秀资料欢迎下载类型三勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间地的什么方向举一反三变式一辆装满货物的卡车其外形高米宽米要开进优秀资料 欢迎下载！CBADE 解：在 RtABC 中，A=60，B=90-A=30，则，由勾股定理，得。因为，所以，。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的长。解：因为ADE 与AFE 关于 AE 对称，所以 AD=AF，DE=EF。因为四边形 ABCD 是矩形，所以B=C=90，在 RtABF 中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，所以。所以。设，则。在 RtECF 中，即，解得。即 EF 的长为 5cm。三、折叠问题 1、已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B与点 D重合，折痕为 EF，则ABE的面积为（）A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2 2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边 AB上,且与 AE重合,你能求出 CD的长吗？3、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边 AD使点 D落在 BC边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10 cm，求 EC的长 A B E F D C 第 11 题图 ABCDEF应用如图已知在中求的长某市在旧城改造中计划在市内一块如图所示的优秀资料欢迎下载类型三勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间地的什么方向举一反三变式一辆装满货物的卡车其外形高米宽米要开进
