2023年初中数学竞赛勾股定理.pdf
学习必备 欢迎下载 初中数学竞赛专题选讲 勾股定理 一、内容提要 1.勾股定理及逆定理：ABC 中 CRta2b2=c2 2.勾股定理及逆定理的应用 作已知线段 a 的2，3，5倍 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 证明线段的平方关系等。3.勾股数的定义：如果三个正整数 a,b,c 满足等式 a2b2=c2，那么这三个正整数 a,b,c 叫做一组勾股数.4.勾股数的推算公式 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家 17891853）任取两个正整数 m 和 n(mn),那么 m2-n2，2mn,m2+n2是一组勾股数。如果 k 是大于 1 的奇数，那么 k,212k,212k是一组勾股数。如果 k 是大于 2 的偶数，那么 k,122 K,122 K是一组勾股数。如果 a,b,c 是勾股数，那么 na,nb,nc(n 是正整数)也是勾股数。5.熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。二、例题 例 1.已知线段 a a 5a 2a 3a 5a 求作线段5a a 分析一：5a25a224aa 2a 5a 是以 2a 和 a 为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：5a2492aa 5a 是以 3a 为斜边，以 2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例 2.四边形 ABCD 中DAB60，BDRt，BC1，CD2 求对角线 AC 的长 解：延长 BC 和 AD 相交于 E，则E30 21DABCE学习必备 欢迎下载 CE2CD4，在 RtABE 中 设 AB 为 x,则 AE2x 根据勾股定理 x2+52=(2x)2,x2=325 在 RtABC 中，AC221x13252132 例 3.已知ABC 中，ABAC，B2A 求证：AB2BC2ABBC 证明：作B 的平分线交 AC 于 D，则AABD，BDC2AC ADBDBC 作 BMAC 于 M，则 CMDM AB2BC2（BM2AM2）（BM2CM2）AM2CM2（AMCM）（AMCM）ACADABBC 例 4.如图已知ABC 中，ADBC，ABCDACBD 求证：ABAC 证明：设 AB，AC，BD，CD 分别为 b,c,m,n 则 c+n=b+m,c-b=m-n ADBC，根据勾股定理，得 AD2c2-m2=b2-n2 c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b)=(m+n)(c-b)(c+b)(c-b)(m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0 c+bm+n,c-b=0 即 c=b ABAC 例 5.已知梯形 ABCD 中，ABCD，ADBC 求证：ACBD 证明：作 DEAC，DFBC，交 BA 或延长线于点 E、F ACDE 和 BCDF 都是平行四边形 DEAC，DFBC，AECDBF 作 DHAB 于 H，根据勾股定理 AH22-DHAD，FH22-DHDF ADBC，ADDF AHFH，EHBH DE22EHDH，BD2BHDH DEBD 即 ACBD BCADMcbnmABCDjABCDEFH式那么这三个正整数叫做一组勾股数勾股数的推算公式罗士琳法则罗士数也是勾股数熟悉勾股数可提高计算速度顺利地定直角三角形简单的勾中求对角线的长解延长和相交于则学习必备欢迎下载在中设为则根据勾学习必备 欢迎下载 例 6.已知：正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 EFGH 内接于 ABCD，AEa，AFb,且 SEFGH32 求：ab的值 （20XX 年希望杯数学邀请赛，初二）解：根据勾股定理 a2+b2=EF2SEFGH32 ;4SAEFSABCDSEFGH 2ab=31 得（a-b）2=31 ab33 三、练习 1.以下列数字为一边，写出一组勾股数：7，8，9，10，11，12，2.根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：252242，52122，22158，2215-25 3.ABC 中，AB25，BC20，CA15，CM 和 CH 分别是中线和高。那么 SABC，CH，MH 4.梯形两底长分别是 3 和 7，两对角线长分别是 6 和 8，则 S梯形 5.已知：ABC 中，AD 是高，BEAB，BECD，CFAC，CFBD 求证：AEAF 6.已知：M 是ABC 内的一点，MDBC，MEAC，MFAB，且 BDBF，CDCE 求证：AEAF 7.在ABC 中，C 是钝角，a2-b2=bc 求证A2B 8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长 10 等腰直角三角形 ABC 斜边上一点 P，求证：AP2BP22CP2 11.已知ABC 中，ARt，M 是 BC 的中点，E，F 分别在 AB，AC MEMF 求证：EF2BE2CF2 ABCDFGHE(5)ABCEFDEABCMDF式那么这三个正整数叫做一组勾股数勾股数的推算公式罗士琳法则罗士数也是勾股数熟悉勾股数可提高计算速度顺利地定直角三角形简单的勾中求对角线的长解延长和相交于则学习必备欢迎下载在中设为则根据勾学习必备 欢迎下载 12.RtABC 中，ABC90，C600，BC2，D 是 AC 的中点，从 D 作 DEAC 与CB 的延长线交于点 E，以 AB、BE 为邻边作矩形 ABEF，连结 DF，则 DF 的长是。（20XX 年希望杯数学邀请赛，初二试题）13.ABC 中，ABAC2，BC 边上有 100 个不同的点 p1，p2，p3，p100,记 mi=APi2+BPiPiC(I=1,2，100)，则 m1+m2+m100=_ (1990 年全国初中数学联赛题)练习题参考答案 3.150，12，35 4.24（作 CEBD 交 AB 延长线 E）5.利用勾股定理证明 AE，AF 的平方都等于 m2+n2+AD2 6.利用勾股定理:AE2，AF2 7.作 CDAB 于 D，bc=a2-b2=BD2-AD2=(BD+AD)(BD-AD)b=BD-AD 8.（用反证法）设 a,b,c 都是奇数，那么 a2,b2,c2也都是奇数，a2b2是偶数,而 c2是奇数，这与 a2b2c2相矛盾，故这种假设不能成立，a,b,c 中至少有一个数是偶数 9.22221cbaabcba 正整数解有13,10,10,1312,.8,.6,.5.5,.6,.8,12cba 答：各边长是 5，12，13 或 6，8，10 11.延长 EM 到 N，使 MNEM，连结 CN，显然MNC MEB，NCBE，NFEF 12.可证 DFDE23，13.400 (mi=4)(11)BACMFE(12)ABCEFDABCDEab式那么这三个正整数叫做一组勾股数勾股数的推算公式罗士琳法则罗士数也是勾股数熟悉勾股数可提高计算速度顺利地定直角三角形简单的勾中求对角线的长解延长和相交于则学习必备欢迎下载在中设为则根据勾
