2023年函数的极值与导数精品讲义1.pdf
1.3.2 函数的极值与导数（教案）一、教学目标 1 知识与技能 1结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2 过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。3 情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系 提出问题，激发求知欲 组织学生自主探索，获得函数的极值定义 通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解 四、教学过程 一、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提高学生回答）2观察图 1.3.8 表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数()h t=-4.9t2+6.5t+10 的图象，回答以下问题 （1）当 t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数 h t在t=a 处的导数是多少呢？（2）在点 t=a 附近的图象有什么特点？（3）点 t=a 附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳:函数 h(t)在 a 点处 h/(a)=0,在 t=a 的附近,当 t a时,函数 h t单调递增,h t0;当t a 时,函数 h t单调递减,h t0,即当 t 在 a 的附近从小到大经过 a 时,h t先正后负,且 h t连续变化,于是 h/(a)=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？、探索研讨 1、观察 1.3.9 图所表示的 y=f(x)的图象，回答以下问题：aoht值与导数的关系情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性基本流程回忆函数的单调性与导数的关系与已有知识的联系提出问题激单调性的关系是什么提高学生回答观察图表示高台跳水运动员的高度随（1）函数 y=f(x)在 a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2）函数 y=f(x)在 a.b.点的导数值是多少?（3）在 a.b 点附近,y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义:我们把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极大值。极大值点与极小值点称为极值点,极大值与极小值称为极值.3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点 x0取得极值的充要条件吗？充要条件：f(x0)=0 且点 x0的左右附近的导数值符号要相反 4、引导学生观察图 1.3.11，回答以下问题：（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？（2）极大值一定大于极小值吗？5、随堂练习:1 如图是函数 y=f(x)的函数,试找出函数 y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数值与导数的关系情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性基本流程回忆函数的单调性与导数的关系与已有知识的联系提出问题激单调性的关系是什么提高学生回答观察图表示高台跳水运动员的高度随y=fx的图象?、讲解例题 例4 求函数 31443f xxx的极值 教师分析:求 f/(x),解出 f/(x)=0,找函数极点；由函数单调性确定在极点 x0附近 f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.学生动手做,教师引导 解:31443f xxx fx=x2-4=(x-2)(x+2)令 fx=0,解得 x=2,或 x=-2.下面分两种情况讨论:(1)当 fx0,即 x2,或 x-2 时;(2)当 fx0,即-2x2 时.当 x 变化时,fx,f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)fx+0 _ 0+f(单调递283单调递减 43 单 调x值与导数的关系情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性基本流程回忆函数的单调性与导数的关系与已有知识的联系提出问题激单调性的关系是什么提高学生回答观察图表示高台跳水运动员的高度随x)增 递增 因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)=283;当x=2 时,f(x)有极 小值,且极小值为 f(2)=43 函数 31443f xxx的图象如:归纳：求函数 y=f(x)极值的方法是:1 求 fx,解方程 fx=0,当 fx=0 时:(1)如果在 x0附近的左边 fx0,右边 fx0,那么 f(x0)是极大值.(2)如果在 x0附近的左边 fx0,右边 fx0,那么 f(x0)是极小值、课堂练习 1、求函数 f(x)=3x-x3的极值 2、思考：已知函数 f（x）=ax3+bx2-2x在 x=-2，x=1 处取得极值,求函数 f（x）的解析式及单调区间。、课后思考题：1、若函数 f(x)=x3-3bx+3b 在（0，1）内有极小值，求实数 b 的范围。2、已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1 有极大值和极小值，求实数a的范围。、课堂小结:1、函数极值的定义 2、函数极值求解步骤 3、一个点为函数的极值点的充要条件。、作业 P32 5 教学反思:22 31443f xxx值与导数的关系情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性基本流程回忆函数的单调性与导数的关系与已有知识的联系提出问题激单调性的关系是什么提高学生回答观察图表示高台跳水运动员的高度随本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练.研讨评议:教学内容整体设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获.值与导数的关系情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性基本流程回忆函数的单调性与导数的关系与已有知识的联系提出问题激单调性的关系是什么提高学生回答观察图表示高台跳水运动员的高度随
