2023年初一数学绝对值知识点总结归纳与经典例题1.pdf

名师总结 优秀知识点 绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a.（距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.注意：取绝对值也是一种运算，运算符号是“|”，求一个数的绝对值，就是根 据性质去掉绝对值符号.绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0.绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或 0.任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负 号，绝对值是5.【求字母a的绝对值】(0)0(0)(0)a aaaa a (0)(0)a aaa a (0)(0)a aaa a 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|0 如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.例如：若0abc ，则0a，0b，0c 【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即aa，且aa；（2）若ab，则ab或ab；（3）abab；aabb(0)b；（4）222|aaa；（5）|a|-|b|a b|a|+|b|a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离 ab的几何意义：在数轴上，表示数ab对应数轴上两点间的距离 名师总结 优秀知识点【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数 式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|a+b|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的 式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。【绝对值必考题型】例 1：已知|x 2|y 3|0，求 x+y 的值。解：由绝对值的非负性可知 x2 0，y30；即：x=2，y=3；所以 x+y=5 判断必知点：相反数等于它本身的是 0 倒 数等于它本身的是 1 绝对值等于它本身的是 非负数 对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题 1.非负性：若有几个非负数的和为 0，那么这几个非负数均为 0.2.绝对值的非负性；若0abc ，则必有0a，0b，0c 【例题】若3150 xyz ，则xyz 。总结：若干非负数之和为 0，。【巩固】若732 2102mnp ，则23_pnm【巩固】先化简，再求值：abbaababba2)23(223222 其中a、b满足0)42(132aba.（二）绝对值的性质【例 1】若 a0，则 4a+7|a|等于（）A11a B-11a C-3a D3a【例 2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）A1，0 B正数 C非正数 D非负数【例 3】已知|x|=5，|y|=2，且 xy0，则 x-y 的值等于（）A7 或-7 B7 或 3 C3 或-3 D-7 或-3【例 4】若1xx，则 x 是（）A正数 B负数 C非负数 D非正数【例 5】已知：a0，b0，|a|b|1，那么以下判断正确的是（）A1-b-b1+a a B1+a a1-b-b C1+a 1-ba-b D1-b1+a-ba【例 6】已知 ab 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（）A2 B2 或 3 C4 D2 或 4 对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点 cba0-11【例 7】a0，ab 0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）A6 B-4 C-2a+2b+6 D2a-2b-6【例 8】若|x+y|=y-x，则有（）Ay0，x0 By0，x0 Cy0，x0 Dx=0，y0或 y=0，x0【例 9】已知：x0z，xy0，且|y|z|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A是正数 B是负数 C是零 D不能确定符号【例 10】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m|m，则 m 0；（4）若|a|b|，则 ab，其中正确的有（）A（1）（2）（3）B（1）（2）（4）C（1）（3）（4）D（2）（3）（4）【例 11】已知 a，b，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|=_ 【巩固】知 a、b、c、d 都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。【例 12】若 x-2，则|1-|1+x|=_ 若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|=_ 【例 13】计算111111.23220072006 =对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点【例 14】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=_ 【例 15】已知数,a b c的大小关系如图所示，则下列各式：()0bac ；0)(cba；1ccbbaa；0 abc；bcabcba2 其中正确的有 （请填写番号）【巩固】已知：abc0，且 M=abcabc，当 a，b，c 取不同值时，M 有 _ 种不同可能 当 a、b、c 都是正数时，M=_；当 a、b、c 中有一个负数时，则 M=_；当 a、b、c 中有 2 个负数时，则 M=_；当 a、b、c 都是负数时，M=_ 【巩固】已知a b c，是非零整数，且0abc ，求abcabcabcabc的值 （三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号 【例题】阅读下列材料并解决相关问题：ca0b对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点 我们知道0000 x xxxx x，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12xx 时，可令10 x 和20 x，分别求得 12xx，（称1 2，分别为1x 与2x 的零点值），在有理数范围内，零点 值1x 和2x 可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：当1x 时，原式 1221xxx 当12x时，原式123xx 当2x时，原式1221xxx 综上讨论，原式211312212xxxxx （1）求出2x 和4x 的零点值 （2）化简代数式24xx 解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2 和 x=4 （2）当 x-2 时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；当-2x4 时，|x+2|+|x-4|=6；当 x4 时，|x+2|+|x-4|=2x-2 【巩固】化简 1.12xx 2.12mmm 的值 3.523xx 4.(1)12 x；对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点 变式 5.已知23xx的最小值是a，23xx的最大值为b，求ba 的值。（四）ba 表示数轴上表示数a、数b的两点间的距离 【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与2，3 与 5，2与6，4与 3.并回答下列各题：(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：.(2)若数轴上的点 A 表示的数为x，点B 表示的数为1，则 A 与 B 两点间的距离 可以表示为 .(3)结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 .(4)满足341xx的x的取值范围为 .(5)若1232008xxxx 的值为常数，试求x的取值范围 （五）、绝对值的最值问题 例题 1:1）当 x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？2)当 x 取何值时，|x-1|+3 有最小值，这个最小值是多少？3)当 x 取何值时，|x-1|-3 有最小值，这个最小值是多少？4）当 x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题 2：1）当 x 取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？2)当 x 取何值时，-|x-1|+3 有最大值，这个最大值是多少？3)当 x 取何值时，-|x-1|-3 有最大值，这个最大值是多少？4）当 x 取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？若想很好的解决以上 2 个例题，我们需要知道如下知识点：、1）非负数：0 和正数，有最小值是 0 对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点 2）非正数：0 和负数，有最大值是 0 3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|0，则-|a|0 4）x 是任意有理数，m 是常数，则|x+m|0，有最小值是 0，-|x+m|0 有最大值是 0（可以理解为 x 是任意有理数，则 x+a 依然是任意有理数，如|x+3|0，-|x+3|0或者|x-1|0，-|x-1|0）5）x 是任意有理数，m 和 n 是常数，则|x+m|+nn，有最小值是n -|x+m|+nn，有最大值是n(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n0)或者向左（n0)平移了|n|个单位，为如|x-1|0，则|x-1|+33，相当于|x-1|的值整体向右平移了 3 个单位，|x-1|0，有最小值是 0，则|x-1|+3 的最小值是 3）例题 1：1)当 x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？2)当 x 取何值时，|x-1|+3 有最小值，这个最小值是多少？3)当 x 取何值时，|x-1|-3 有最小值，这个最小值是多少？4）当 x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？解：1）当 x-1=0 时，即 x=1 时，|x-1|有最小值是 0 2）当 x-1=0 时，即 x=1 时，|x-1|+3 有最小值是 3 3）当 x-1=0 时，即 x=1 时，|x-1|-3 有最小值是-3 4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当 x-1=0 时，即 x=1 时，|x-1|-3 有最小值是-3 例题 2：1）当 x 取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？2)当 x 取何值时，-|x-1|+3 有最大值，这个最大值是多少？3)当 x 取何值时，-|x-1|-3 有最大值，这个最大值是多少？4）当 x 取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？解：1）当 x-1=0 时，即 x=1 时，-|x-1|有最大值是 0 2）当 x-1=0 时，即 x=1 时，-|x-1|+3 有最大值是 3 3）当 x-1=0 时，即 x=1 时，-|x-1|-3 有最大值是-3 总结：根据 3）、4)、5）可以发现，当绝对值前面是“+”号时，代数式有最小值，有“-”号时，代数式有最大值.对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点 4)3-|x-1|可变形为-|x-1|+3 可知如 2）问一样，即：当 x-1=0 时，即 x=1 时，-|x-1|+3 有最大值是 3 （同学们要学会变通哦）思考：若 x 是任意有理数，a 和 b 是常数，则 1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时 x 值是多少？2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时 x 值是多少？3)-|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时 x 值是多少？例题 3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时 x 的取值范围 分析：我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：可令 x+1=0和 x-2=0，得 x=-1 和 x=2（-1 和 2 都是零点值）在数轴上找到-1 和 2 的位置，发现-1 和 2 将数轴分为 5 个部分 1）当 x-1 时，x+10，x-20，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2）当 x=-1 时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3 3）当-1x0，x-22 时，x+10，x-20，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1 我们发现：当 x3 当-1 x 2 时，|x+1|+|x-2|=3 当 x2 时，|x+1|+|x-2|=2x-13 所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是 3，此时：-1 x 2 解：可令 x+1=0和 x-2=0，得 x=-1 和 x=2（-1 和 2 都是零点值）则当-1 x 2 时，|x+1|+|x-2|的最小值是 3 评：若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求 x 的取值范围？一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x 的取值范围在这 2 个零点值之间，且包含 2 个零点值。例题 4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时 x 的值？分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程 可令 x+11=0，x-12=0，x+13=0 得 x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12 是本题对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点 零点值）1）当 x-13 时，x+110，x-120，x+130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2）当 x=-13 时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40 3）当-13x-11时，x+110，x-120，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14 4）当 x=-11 时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25 5）当-11x0，x-120，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36 6）当 x=12 时，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48 7）当 x12 时，x+110，x-120，x+130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12 可知：当 x27 当 x=-13 时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=40 当-13x-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14,25-x+14 27 当 x=-11 时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=25 当-11x12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36,25x+3612 时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+1248 观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是 25，此时 x=-11 解：可令 x+11=0，x-12=0，x+13=0 得 x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12 是 本题零点值）将-11,12，-13 从小到大排列为-13-11b Ba=b Ca 时，发现，这两条线段的和随 x 的增大而越来越大；当 x 时，发现，这两条线段的和随 x 的减小而越来越大；当 x 时，发现，无论 x 在这个范围取何值，这两条线段的和是 一个定值 ，且比、情况下的值都小。因此，总结，|x-2|+|x+3|有最小值 ，即等于 到 的距离。6.利用数轴分析|x+7|-|x-1|，这个式子表示的是 x 到-7 的距离与 x 到 1 的距离之差 它表示两条线段相减：当 x 时，发现，无论 x 取何值，这个差值是一个定值 ；当 x 时，发现，无论 x 取何值，这个差值是一个定值 ；当 x 时，随着x增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。因此，总结，式子|x+7|-|x-1|当 x 时，有最大值 ；当 x 时，有最小值 ；7设0cba，0abc，则的值是（）A-3 B1 C3或-1 D-3或 1 8设cba、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且cba，则accbba可能取得的最大值是 cbabacacb对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点 绝对值（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。1 利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x|=(0)(0)x xx x，有|x|c(0)0(0)(0)xcxc cxcxR c 或 2 利用不等式的性质去掉绝对值符号 利用不等式的性质转化|x|c(c0)来解，如|axb|c(c0)可为axbc或axb c；|axb|c可化为cax+bc，再由此求出原不等式的解集。对 于 含 绝 对 值 的 双 向 不 等 式 应 化 为 不 等 式 组 求 解，也 可 利 用 结 论“a|x|baxb或bxa”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。3 利用平方法去掉绝对值符号 对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x|2=2x可在两边脱去绝对值 符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时 还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负 数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方 去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。4 利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法，是指：若数1x，2x，nx分别使含有|x1x|，|x2x|，|xnx|的代数式中相应绝对值为零，称1x，2x，nx为相应绝 对值的零点，零点1x，2x，nx将数轴分为m+1 段，利用绝对值的意义化去 绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式 来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等 对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点 式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这 种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观 化。5 利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对 值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简 单化，此解法适用于|xaxbm 或|xaxbm(m为正常数)类型不等式。对|axbcxdm (或m)，当|a|c|时一般不用。二、如何化简绝对值 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。（一）、根据题设条件 例 1：设 x-1，化简 2-2-x-2的结果是（）。（A）2-x （B）2+x （C）-2+x （D）-2-x 思路分析：由 x-1 可知 x-2-30 可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去 解：2-2-x-2=2-2-(2-x)=2-x=2-(-x)=2+x 应选（B）归纳点评:只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝 对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路（二）、借助数轴 例 2：实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值等于（）（A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a 思路分析:由数轴上容易看出 ba0c,所以 a+bc,c-a0，b-c0，所以原式=2（x-2）-(x+4)=x-8；当-4 x2 时，x-20,x+4 0，所以原式=-2（x-2）-(x+4)=-3x；当 x-4 时，x-20,x+40 时，a=a (性质 1：正数的绝对值是它本身)；当 a=0 时，a=0 (性质 2：0 的绝对值是 0)；当 a0 时，a+b=(a+b)=a+b (性质 1：正数的绝对值是它本身)；当 a+b=0 时，a+b=(a+b)=0 (性质 2：0 的绝对值是 0)；当 a+bb 时，a-b=（a-b）=a-b，b-a=（a-b）=a-b。口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点 4、对于数轴型的一类问题，根据 3 的口诀来化简，更快捷有效。如a-b的一类问题，只要判断出 a 在 b的右边（不论正负），便可得到a-b=（a-b）=a-b，b-a=（a-b）=a-b。5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算 万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与 0 比较，大于 0直接去绝对值号，小于 0 的整体前面加负号。四、去绝对值化简专题练习（1）设 x-1 化简 2-2-x-2的结果是（）。（A）2-x （B）2+x （C）-2+x （D）-2-x （2）实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值 等于（）（A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a （3）已知 x 2，化简 2|x-2|-|x+4|的结果是 x-8 。（4）已知 x-4，化简 2|x-2|-|x+4|的结果是 -x+8 。（5）已知-4 x2，化简 2|x-2|-|x+4|的结果是 -3x 。（6）已知 a、b、c、d 满足 a-1b0c1-a，则有（A ）。（A）a0 （B）a0 （C）a-1 （D）-1a0 （8）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简 结果为（C ）（A）2a+3b-c （B）3b-c （C）b+c （D）c-b （9）有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，a+b，b-2a，|a-b|，|a|-|b|中负数的个数是（B ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点(10)化简|x+4|+2|x-2|=(1)-3x(x2)(11)设x是实数，y=|x-1|+|x+1|下列四个结论中正确的是（D ）。（A）y没有最小值 （B）有有限多个x使y取到最小值 （C）只有一个x使y取得最小值 （D）有无穷多个x使y取得最小值 变式 1.若|m 1|=m 1，则 m_1;若|m 1|m 1，则 m_1;变式 2.已知23xx的最小值是a，23xx的最大值为b，求ba 的值。对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点【绝对值化简题例】绝对值化简公式：例题 1：化简代数式|x-1|解：可令 x-1=0，得 x=1 （1 叫零点值）根据 x=1 在数轴上的位置，发现 x=1 将数轴分为 3 个部分 1）当 x1 时，x-11 时，x-10，则|x-1|=x-1 另解，在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分 1）当 x1 时，x-10，则|x-1|=-(x-1)=-x+1 2）当 x 1 时，x-1 0，则|x-1|=x-1 例题 2：化简代数式|x+1|+|x-2|解：可令 x+1=0和 x-2=0，得 x=-1 和 x=2（-1 和 2 都是零点值）在数轴上找到-1 和 2 的位置，发现-1 和 2 将数轴分为 5 个部分 1）当 x-1 时，x+10，x-20，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2）当 x=-1 时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3 3）当-1x0，x-22 时，x+10，x-20，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1 另解，将零点值归到零点值右侧部分 1）当 x-1 时，x+10，x-20，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2）当-1 x2 时，x+1 0，x-20，x-2 0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1 例题 3：化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|解：可令 x+11=0，x-12=0，x+13=0 得 x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12 是 本题零点值）1）当 x-13 时，x+110，x-120，x+130，对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个名师总结 优秀知识点 则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2）当 x=-13 时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40 3）当-13x-11时，x+110，x-120，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14 4）当 x=-11 时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25 5）当-11x0，x-120，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36 6）当 x=12 时，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48 7）当 x12 时，x+110，x-120，x+130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12 另解，将零点值归到零点值右侧部分 1）当 x-13 时，x+110，x-120，x+130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2）当-13 x-11 时，x+110，x-120，x+13 0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14 3）当-11 x12 时，x+11 0，x-120，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36 4）当 x 12 时，x+110，x-12 0，x+130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12 例题 4：化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|解:令 x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0 则零点值为 x=1,x=2,x=3,x=4(1)当 x1 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10(2)当 1x2 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8(3)当 2x3 时，x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4(4)当 3x4 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2(5)当 x4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10 总结化简此类绝对值时，先求零点值，之后根据零点值将数轴分成的部分进行分布讨论，若有多个零点值时，可以将零点值归到零点值右侧部分进行化简，这样比较省时间 对值是注意取绝对值也是一种运算运算符号是求一个数的绝对值就是根一个有理数都是由两部分组成符号和它的绝对值如符号是负号绝对值是对值的其它重要性质任何一个数的绝对值都不小于这个数也不小于这个