2023年函数的单调性证明.pdf

精品资料 欢迎下载 函数的单调性证明 一解答题（共 40 小题）1证明：函数 f（x）=在（，0）上是减函数 2求证：函数 f（x）=4x+在（0，）上递减，在，+）上递增 3证明 f（x）=在定义域为 0，+）内是增函数 4应用函数单调性定义证明：函数 f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数 精品资料 欢迎下载 5证明函数 f（x）=2x在（，0）上是增函数 6证明：函数 f（x）=x2+3 在 0，+）上的单调性 7证明：函数 y=在（1，+）上是单调增函数 8求证：f（x）=在（，0）上递增，在（0，+）上递增 9用函数单调性的定义证明函数 y=在区间（0，+）上为减函数 数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 10已知函数 f（x）=x+（）用定义证明：f（x）在 2，+）上为增函数；（）若0 对任意 x 4，5 恒成立，求实数 a 的取值范围 11证明：函数 f（x）=在 x（1，+）单调递减 12求证 f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在 1，+上是增函数 13判断并证明 f（x）=在（1，+）上的单调性 14判断并证明函数 f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性 数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 15求函数 f（x）=的单调增区间 16求证：函数 f（x）=1 在区间（，0）上是单调增函数 17求函数的定义域 18求函数的定义域 19根据下列条件分别求出函数 f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x 20若 3f（x）+2f（x）=2x+2，求 f（x）数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 21求下列函数的解析式（1）已知 f（x+1）=x2求 f（x）（2）已知 f（）=x，求 f（x）（3）已知函数 f（x）为一次函数，使 f f（x）=9x+1，求 f（x）（4）已知 3f（x）f（）=x2，求 f（x）22已知函数 y=f（x），满足 2f（x）+f（）=2x，xR且 x0，求 f（x）数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 23已知 3f（x）+2f（）=x（x0），求 f（x）24已知函数 f（x+）=x2+（）2（x0），求函数 f（x）25已知 2f（x）+f（x）=3x1，求 f（x）26若 2f（x）+f（x）=3x+1，则求 f（x）的解析式 27已知 4f（x）5f（）=2x，求 f（x）28已知函数 f（+2）=x2+1，求 f（x）的解析式 数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 29若 f（x）满足 3f（x）+2f（x）=4x，求 f（x）的解析式 30已知 f（x）=ax+b 且 af（x）+b=9x+8，求 f（x）31求下列函数的解析式：（1）已知 f（2x+1）=x2+1，求 f（x）；（2）已知 f（）=，求 f（x）32已知二次函数满足 f（2x+1）=4x26x+5，求 f（x）的解析式 33已知 f（2x）=x2x1，求 f（x）34已知一次函数 f（x）满足 f（f（f（x）=2x3，求函数 f（x）的解析式 数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 35已知 f（x+2）=x23x+5，求 f（x）的解析式 36已知函数 f（x2）=2x23x+4，求函数 f（x）的解析式 37若 3f（x）+2f（x）=2x，求 f（x）38f（+1）=x2+2，求 f（x）的解析式 39若函数 f（）=+1，求函数 f（x）的解析式 40已知 f（x1）=x24x（1）求 f（x）的解析式；（2）解方程 f（x+1）=0 数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 函数的单调性证明 参考答案与试题解析 一解答题（共 40 小题）1证明：函数 f（x）=在（，0）上是减函数【解答】证明：设 x1x20，则：；x1x20；x2x10，x1x20；f（x1）f（x2）；f（x）在（，0）上是减函数 2求证：函数 f（x）=4x+在（0，）上递减，在，+）上递增【解答】证明：设 0 x1x2，则 f（x1）f（x2）=（4x1+）（4x2+）=4（x1x2）+=（x1x2）（），又由 0 x1x2，则（x1x2）0，（4x1x29）0，（x1x2）0，则 f（x1）f（x2）0，则函数 f（x）在（0，）上递减，设x3x4，同理可得：f（x3）f（x4）=（x3x4）（），又由x3x4，数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 则（x3x4）0，（4x3x49）0，（x1x2）0，则 f（x3）f（x4）0，则函数 f（x）在，+）上递增 3证明 f（x）=在定义域为 0，+）内是增函数【解答】证明：设 x1，x2 0，+），且 x1x2，则：=；x1，x2 0，+），且 x1x2；f（x1）f（x2）；f（x）在定义域 0，+）上是增函数 4应用函数单调性定义证明：函数 f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数【解答】证明：任取 x1，x2（0，2），且 x1x2，则 f（x1）f（x2）=（=因为 0 x1x22，所以 x1x20，x1x24，所以 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2），所以 f（x）=x+在（0，2）上为减函数 5证明函数 f（x）=2x在（，0）上是增函数【解答】解：设 x1x20，f（x1）f（x2）=2x12x2+=（x1x2）（2+），x1x20，数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 x1x20，2+0，f（x1）f（x2）0，即：f（x1）f（x2），函数 f（x）=2x在（，0）上是增函数 6证明：函数 f（x）=x2+3 在 0，+）上的单调性【解答】解：任取 0 x1x2，则 f（x1）f（x2）=（x1+x2）（x1x2）因为 0 x1x2，所以 x1+x20，x1x20，故原式 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2），所以原函数在 0，+）是单调递增函数 7证明：函数 y=在（1，+）上是单调增函数【解答】解：函数 f（x）=1在在区间（1，+），可以设1x1x2，可得 f（x1）f（x2）=11+=1x1x20，x1+10，1+x20，x1x20，0 f（x1）f（x2），f（x）在区间（，0）上为增函数；8求证：f（x）=在（，0）上递增，在（0，+）上递增 数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载【解答】证明：设 x1x2，则 f（x1）f（x2）=（）=，x1x2，x1x20，若 x1x20，则 x1x20，此时 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2），此时函数单调递增 若 0 x1x2，则 x1x20，此时 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2），此时函数单调递增 即 f（x）=在（，0）上递增，在（0，+）上递增 9用函数单调性的定义证明函数 y=在区间（0，+）上为减函数【解答】解：函数 y=在区间（0，+），可以设 0 x1x2，可得 f（x1）f（x2）=0，f（x1）f（x2），f（x）在区间（，0）上为减函数；10已知函数 f（x）=x+（）用定义证明：f（x）在 2，+）上为增函数；（）若0 对任意 x 4，5 恒成立，求实数 a 的取值范围【解答】（）证明：任取 x1，x2 2，+），且 x1x2，则 f（x1）f（x2）=（x1+）（x2+）=，2x1x2，所以 x1x20，x1x24，f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2），f（x）=x+在 2，+）上为增函数；（）解：0 对任意 x 4，5 恒成立，数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 xa0 对任意 x 4，5 恒成立，ax 对任意 x 4，5 恒成立，a4 11证明：函数 f（x）=在 x（1，+）单调递减【解答】证明：设 x1x21，则：；x1x21；x2x10，x110，x210；即 f（x1）f（x2）；f（x）在 x（1，+）单调递减 12求证 f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在 1，+上是增函数【解答】证明：在（0，1）内任取 x1，x2，令 x1x2，则 f（x1）f（x2）=（）（）=（x1x2）+=（x1x2）（1），x1，x2（0，1），x1x2，x1x20，10，f（x1）f（x2）0，f（x）=x+在（0，1）上是减函数 在 1，+）内任取 x1，x2，令 x1x2，则 f（x1）f（x2）=（）（）数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载=（x1x2）+=（x1x2）（1），x1，x2 1，+），x1x2，x1x20，10，f（x1）f（x2）0，f（x）=x+在 1，+上是增函数 13判断并证明 f（x）=在（1，+）上的单调性【解答】解：f（x）=在（1，+）上的单调递减 证明如下：在（1，+）上任取 x1，x2，令 x1x2，f（x1）f（x2）=，x1，x2（1+），x1x2，x2x10，x1+10，x2+10，f（x1）f（x2）0，f（x）=在（1，+）上的单调递减 14判断并证明函数 f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性【解答】解：任意取 x1，x2（0，2）且 0 x1x22 f（x1）f（x2）=x1+x2=（x1x2）+=（x1x2），0 x1x22 x1x20，0 x1x24，即 x1x240，f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2）数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 所以 f（x）在（0，2）上是单调减函数 15求函数 f（x）=的单调增区间【解答】解：根据反比例函数的性质可知，f（x）=1的单调递增区间为（，0），（0，+）故答案为：（，0），（0，+）16求证：函数 f（x）=1 在区间（，0）上是单调增函数【解答】证明：设 x1x20，则：；x1x20；x1x20，x1x20；f（x1）f（x2）；f（x）在区间（，0）上是单调增函数 17求函数的定义域【解答】解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为 2x3 和 3x5 18求函数的定义域 数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载【解答】解：由 故函数定义域为x|x 19根据下列条件分别求出函数 f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x【解答】解：（1）f（x+）=x2+=（x+）22，即 f（x）=x22，（x2 或 x2）（2）f（x）+2f（）=3x，f（）+2f（x）=，消去 f（）得 f（x）=x 20若 3f（x）+2f（x）=2x+2，求 f（x）【解答】解：3f（x）+2f（x）=2x+2，用x 代替 x，得：3f（x）+2f（x）=2x+2；32 得：5f（x）=（6x+6）（4x+4）=10 x+2，f（x）=2x+21求下列函数的解析式（1）已知 f（x+1）=x2求 f（x）（2）已知 f（）=x，求 f（x）（3）已知函数 f（x）为一次函数，使 f f（x）=9x+1，求 f（x）（4）已知 3f（x）f（）=x2，求 f（x）【解答】解：（1）已知 f（x+1）=x2，令 x+1=t，可得 x=t1，f（t）=（t数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 1）2，f（x）=（x1）2（2）已知 f（）=x，令=t，求得 x=，f（t）=，f（x）=（3）已知函数 f（x）为一次函数，设 f（x）=kx+b，k0，f f（x）=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，k=3，b=，或 k=3，b=，求 f（x）=3x+，或 f（x）=3x（4）已知 3f（x）f（）=x2，用代替 x，可得 3f（）f（x）=，由求得 f（x）=x2+22已知函数 y=f（x），满足 2f（x）+f（）=2x，xR且 x0，求 f（x）【解答】解：2f（x）+f（）=2x 令 x=，则 2f（）+f（x）=，2得：3f（x）=4x，f（x）=x 23已知 3f（x）+2f（）=x（x0），求 f（x）【解答】解：3f（x）+2f（）=x，等号两边同时以 代 x，得：3f（）+2f（x）=，由32，解得 5f（x）=3x，函数 f（x）的解析式：f（x）=x（x0）24已知函数 f（x+）=x2+（）2（x0），求函数 f（x）数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载【解答】解：x0 时，x+2=2，且函数 f（x+）=x2+（）2=2；设 t=x+，（t2）；f（t）=t22；即函数 f（x）=x22（其中 x2）25已知 2f（x）+f（x）=3x1，求 f（x）【解答】解：2f（x）+f（x）=3x1，2f（x）+f（x）=3x1，联立消去 f（x），可得 f（x）=3x 26若 2f（x）+f（x）=3x+1，则求 f（x）的解析式【解答】解：2f（x）+f（x）=3x+1，用x 代替 x，得：2f（x）+f（x）=3x+1；2得：3f（x）=（6x+2）（3x+1）=9x+1，f（x）=3x+27已知 4f（x）5f（）=2x，求 f（x）【解答】解：4f（x）5f（）=2x，4f（）5f（x）=，4+5，得：9f（x）=8x+，f（x）=x 数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 28已知函数 f（+2）=x2+1，求 f（x）的解析式【解答】解：令 t=+2，（t2），则，x=（t2）2 由 f（+2）=x2+1，得 f（t）=（t2）4+1 f（x）=（x2）4+1（x2）29若 f（x）满足 3f（x）+2f（x）=4x，求 f（x）的解析式【解答】解：f（x）满足 3f（x）+2f（x）=4x，可得 3f（x）+2f（x）=4x，32 可得：5f（x）=20 x f（x）=4x f（x）的解析式：f（x）=4x 30已知 f（x）=ax+b 且 af（x）+b=9x+8，求 f（x）【解答】解：f（x）=ax+b 且 af（x）+b=9x+8，a（ax+b）+b=9x+8，即 a2x+ab+b=9x+8，即，解得 a=3 或 a=3，若 a=3，则 4b=8，解得 b=2，此时 f（x）=3x+2，若 a=3，则2b=8，解得 b=4，此时 f（x）=3x4 31求下列函数的解析式：（1）已知 f（2x+1）=x2+1，求 f（x）；（2）已知 f（）=，求 f（x）【解答】解：（1）令 2x+1=t，则 x=（t1），f（t）=（t1）2+1，数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 f（x）=（x1）2+1；（2）令 m=（m0），则 x=，f（m）=，f（x）=（x0）32已知二次函数满足 f（2x+1）=4x26x+5，求 f（x）的解析式【解答】解：（1）令 2x+1=t，则 x=；则 f（t）=4（）26+5=t25t+9，故 f（x）=x25x+9 33已知 f（2x）=x2x1，求 f（x）【解答】解：令 t=2x，则 x=t，f（t）=t2 t1，f（x）=x2x1 34已知一次函数 f（x）满足 f（f（f（x）=2x3，求函数 f（x）的解析式【解答】解：设 f（x）=ax+b，f（f（x）=a（ax+b）+b，f（f（f（x）=a a（ax+b）+b+b=2x3，解得：，f（x）=x 数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 35已知 f（x+2）=x23x+5，求 f（x）的解析式【解答】解：f（x+2）=x23x+5，设 x+2=t，则 x=t2，f（t）=（t2）23（t2）+5=t27t+15，f（x）=x27x+15 36已知函数 f（x2）=2x23x+4，求函数 f（x）的解析式【解答】解：令 x2=t，则 x=t+2，代入原函数得 f（t）=2（t+2）23（t+2）+4=2t2+5t+6 则函数 f（x）的解析式为 f（x）=2x2+5x+6 37若 3f（x）+2f（x）=2x，求 f（x）【解答】解：3f（x）+2f（x）=2x，用x 代替 x，得：3f（x）+2f（x）=2x；32 得：5f（x）=6x（4x）=10 x，f（x）=2x 38f（+1）=x2+2，求 f（x）的解析式【解答】解：设+1=t，则 t1，x=（t1）2；f（+1）=x2+2，f（t）=（t1）4+2（t1），f（x）=（x1）4+2（x1），x 1，+）39若函数 f（）=+1，求函数 f（x）的解析式【解答】解：令=t（t1），则=t1，数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函精品资料 欢迎下载 f（t）=2+（t1）2=t22t+3，f（x）=x22x+3（x1）40已知 f（x1）=x24x（1）求 f（x）的解析式；（2）解方程 f（x+1）=0【解答】解：（1）变形可得 f（x1）=（x1）22（x1）3，f（x）的解析式为 f（x）=x22x3；（2）方程 f（x+1）=0 可化为（x+1）22（x+1）3=0，化简可得 x24=0，解得 x=2 或 x=2 数在上的单调性证明函数在上是单调增函数求证在上递增在上递增用函上是减函数在上是增函数判断并证明在上的单调性判断并证明函数在区精品资料欢迎下载求下列函数的解析式已知求已知求已知函数为一次函