2023年初中数学九年级下册第二十六章《二次函数》知识点总结归纳全面汇总归纳及1.pdf

学习必备 欢迎下载 新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章二次函数知识点总结及精品试题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数2axy 的性质（1）抛物线2axy 的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数2axy 的图像与a的符号关系.当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a.3.二次函数 cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0 x.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.学习必备 欢迎下载 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线cbxaxy2中，cba,的作用 （1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线 abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：0c，抛物线经过原点;0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 0 x（y轴）（0,0）kaxy2 0 x（y轴）(0,k)2hxay hx (h,0)khxay2 hx (h,k)cbxaxy2 abx2(abacab4422，)11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.12.直线与抛物线的交点 （1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点函数由特殊到一般可分为以下几形式抛物线的三要素开口方向对称轴顶置几个不同的二次函数如果二次项系数相同那么抛物线的开口方向开口学习必备 欢迎下载 （2）与y轴平行的直线hx 与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).（3）抛物线与x轴的交点 二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.（5）一次函数 0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组 cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为 0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故 acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121 第二部分 典型习题.抛物线 yx22x2 的顶点坐标是 （D ）A.（2，2）B.（1，2）C.（1，3）D.（1，3）.已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（C）ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 第,题图 第 4 题图 符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点函数由特殊到一般可分为以下几形式抛物线的三要素开口方向对称轴顶置几个不同的二次函数如果二次项系数相同那么抛物线的开口方向开口学习必备 欢迎下载.二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如图，已知中，BC=8，BC上的高，D为 BC上一点，交 AB于点 E，交 AC于点 F（EF不过 A、B），设 E到 BC的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（）2482,484EFxEFxyxx .抛物线322xxy与 x 轴分别交于 A、B两点，则 AB的长为 4 6.已知二次函数11)(2k2xkxy与 x 轴交点的横坐标为1x、2x（21xx），则对于下列结论：当 x2 时，y1；当2xx时，y0；方程011)(22xkkx有两个不相等的实数根1x、2x；11x，12x；2211 4kxxk，其中所有正确的结论是 （只需填写序号）7.已知直线 02bbxy与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为cxbxy102.（1）若该抛物线过点 B，且它的顶点 P在直线bxy 2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点 B作直线 BC AB交 x 轴交于点 C，若抛物线的对称轴恰好过 C点，试确定直线bxy 2的解析式.解：（1）102xy或642xxy 将0)b（，代入，得cb.顶点坐标为21016100(,)24bbb，由题意得21016100224bbbb ，解得1210,6bb .（2）22 xy 8.有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为y，且y是 x 的二次函数，已知输入值为2,0,1时,相应的输出值分别为 5,3,4（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为cbxaxy2,则43005)2()2(22cbacbacba,即1423babac,解得321cba 符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点函数由特殊到一般可分为以下几形式抛物线的三要素开口方向对称轴顶置几个不同的二次函数如果二次项系数相同那么抛物线的开口方向开口学习必备 欢迎下载 第 9 题 故所求的解析式为:322xxy.（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y为正数时，输入值x的取值范围是1x或3x 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同 他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到 22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式 解：第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的 体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要 12 小时 第三天 12 时这头骆驼的体温是 39 22102421612xxxy 10.已知抛物线4)334(2xaaxy与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C是否存在实数 a，使得 ABC为直角三角形若存在，请求出 a 的值；若不 存在，请说明理由 解：依题意，得点 C的坐标为（0，4）设点 A、B的坐标分别为（1x，0），（2x，0），由04)334(2xaax，解得 31x，ax342 点 A、B的坐标分别为（-3，0），（a34，0）|334|aAB，522OCAOAC，22OCBOBC224|34|a 符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点函数由特殊到一般可分为以下几形式抛物线的三要素开口方向对称轴顶置几个不同的二次函数如果二次项系数相同那么抛物线的开口方向开口学习必备 欢迎下载 9891693432916|334|2222aaaaaAB，252AC，1691622aBC 当222BCACAB时，ACB 90 由222BCACAB，得)16916(259891622aaa 解得 41a 当41a时，点 B的坐标为（316，0），96 2 52AB，252AC，94002BC 于是222BCACAB 当41a时，ABC为直角三角形 当222BCABAC时，ABC 90 由222BCABAC，得)16916()98916(2522aaa 解得 94a 当94a时，3943434a，点 B（-3，0）与点 A重合，不合题意 当222ABACBC时，BAC 90 由222ABACBC，得)98916(251691622aaa 解得 94a不合题意 综合、，当41a时，ABC为直角三角形 11.已知抛物线 yx2mxm 2.（1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B分别在原点的两侧，并且 AB 5，试求 m的值；（2）设 C为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N，并且 MNC 的面积等于 27，试求 m的值.解:(1)（x1，0）,B(x2，0).则 x1，x2是方程 x2mxm 20 的两根.x1 x2 m,x1 x2=m 2 0 即 m 2;又 AB x1 x2121245x xx x2（+）,m24m 3=0 .符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点函数由特殊到一般可分为以下几形式抛物线的三要素开口方向对称轴顶置几个不同的二次函数如果二次项系数相同那么抛物线的开口方向开口学习必备 欢迎下载 解得：m=1或 m=3(舍去),m的值为 1.（2）M(a，b)，则 N(a，b).M、N是抛物线上的两点,222,2.amambamamb 得：2a22m 40.a2m 2.当 m 2 时，才存在满足条件中的两点 M、N.2am .这时 M、N到 y 轴的距离均为2m,又点 C坐标为（0，2m）,而 SM N C=27,212（2m）2m=27 .解得 m=7.12.已知：抛物线taxaxy42与 x 轴的一个交点为 A（1，0）（1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B的坐标；（2）D是抛物线与 y 轴的交点，C是抛物线上的一点，且以 AB为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 52 的点，如果点 E 在（2）中的抛物线上，且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使APE的周长最小?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为 x2 抛物线与 x 轴的一个交点为 A（1，0），由抛物线的对称性，可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B的坐标为（3，0）（2）抛物线taxaxy42与 x 轴的一个交点为 A（1，0），0)1(4)1(2taa t 3a aaxaxy342 D（0，3a）梯形 ABCD 中，AB CD，且点 C在抛物线aaxaxy342 上，C（4，3a）AB 2，CD 4 梯形 ABCD 的面积为 9，9)(21ODCDAB 93)42(21a N M C x y O 符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点函数由特殊到一般可分为以下几形式抛物线的三要素开口方向对称轴顶置几个不同的二次函数如果二次项系数相同那么抛物线的开口方向开口学习必备 欢迎下载 a 1 所求抛物线的解析式为342xxy或342axxy （3）设点 E坐标为（0 x，0y）.依题意，00 x，00y，且2500 xy 0025xy 设点 E在抛物线342xxy上，340200 xxy 解方程组34,25020000 xxyxy 得；，15600yx，452100yx 点 E与点 A在对称轴 x2 的同侧，点 E坐标为（21，45）设在抛物线的对称轴 x2 上存在一点 P，使APE的周长最小 AE 长为定值，要使APE的周长最小，只须 PA PE最小 点 A关于对称轴 x2 的对称点是 B（3，0），由几何知识可知，P是直线 BE与对称轴 x2 的交点 设过点 E、B的直线的解析式为nmxy，.03,4521nmnm 解得.23,21nm 直线 BE的解析式为2321xy 把 x2 代入上式，得21y 点 P坐标为（2，21）设点 E在抛物线342xxy上，340200 xxy 解方程组.34,25020000 xxyxy 消去0y，得03x23x020 0.此方程无实数根 综上，在抛物线的对称轴上存在点 P（2，21），使APE的周长最小 解法二：符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点函数由特殊到一般可分为以下几形式抛物线的三要素开口方向对称轴顶置几个不同的二次函数如果二次项系数相同那么抛物线的开口方向开口学习必备 欢迎下载 （1）抛物线taxaxy42与 x 轴的一个交点为 A（1，0），0)1(4)1(2taa t 3a aaxaxy342 令 y 0，即0342aaxax解得 11x，32x 抛物线与 x 轴的另一个交点 B的坐标为（3，0）（2）由aaxaxy342，得 D（0，3a）梯形 ABCD 中，AB CD，且点 C在抛物线 aaxaxy342上，C（4，3a）AB 2，CD 4 梯形 ABCD 的面积为 9，9)(21ODCDAB解得 OD 3 33 a a 1 所求抛物线的解析式为342xxy或342xxy （3）同解法一得，P是直线 BE与对称轴 x2 的交点 如图，过点 E作 EQ x 轴于点 Q设对称轴与 x 轴的交点为 F 由 PFEQ，可得EQPFBQBF 45251PF 21PF 点 P坐标为（2，21）以下同解法一 13.已知二次函数的图象如图所示 （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M的坐标 （2）若点 N为线段 BM上的一点，过点 N作 x 轴的垂线，垂足为点 Q当点 N在线段 BM上运动时（点 N不与点 B，点 M重合），设 NQ的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将OAC补成矩形，使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(xxay，符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点函数由特殊到一般可分为以下几形式抛物线的三要素开口方向对称轴顶置几个不同的二次函数如果二次项系数相同那么抛物线的开口方向开口学习必备 欢迎下载 )2(12a 1a 22xxy 其顶点 M的坐标是4921，（2）设线段 BM所在的直线的解析式为bkxy，点 N的坐标为 N（t，h），.214920bkbk，解得23k，3b 线段 BM所在的直线的解析式为323 xy 323 th，其中221 t tts)3322(212121121432tt s与 t 间的函数关系式是121432ttS，自变量 t 的取值范围是221 t （3）存在符合条件的点 P，且坐标是1P4725，45232，P 设点 P的坐标为 P)(nm，则22mmn 222)1(nmPA，5)2(2222ACnmPC，分以下几种情况讨论：i）若PAC 90，则222ACPAPC .5)1()2(222222nmnmmmn，解得：251m，12m（舍去）点47251，P ii）若PCA 90，则222ACPCPA .5)2()1(222222nmnmmmn，解得：02343mm，（舍去）点45232，P iii）由图象观察得，当点 P在对称轴右侧时，ACPA，所以边 AC的对角APC不可能是直角 （4）以点 O，点 A（或点 O，点 C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边 OA（或边 OC）的对边上，如图 a，此时未知顶点坐标是点 D（1，2），符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点函数由特殊到一般可分为以下几形式抛物线的三要素开口方向对称轴顶置几个不同的二次函数如果二次项系数相同那么抛物线的开口方向开口学习必备 欢迎下载 以点 A，点 C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC的对边上，如图 b，此时未知顶点坐标是 E5251，F5854，图 a 图 b 14.已知二次函数22axy的图象经过点（1，1）求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x 轴的交点的个数 解：根据题意，得 a21.a 1 这个二次函数解析式是22xy 因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，2），所以该函数图象与 x 轴有两个交点 15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 111000 的比例图上，跨度 AB 5 cm，拱高 OC 0.9 cm，线段 DE表示大桥拱内桥长，DE AB，如图（1）在比例图上，以直线 AB为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE与 AB的距离 OM 0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12，计算结果精确到 1 米）解：（1）由于顶点 C在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 1092axy 因为点 A（25，0）（或 B（25，0）在抛物线上，所以109)25(02a，得12518a 因此所求函数解析式为)2525(109125182xxy 符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点函数由特殊到一般可分为以下几形式抛物线的三要素开口方向对称轴顶置几个不同的二次函数如果二次项系数相同那么抛物线的开口方向开口学习必备 欢迎下载 （2）因为点 D、E的纵坐标为209，所以109125182092x，得245x 所以点 D的坐标为（245，209），点 E的坐标为（245，209）所以225)245(245DE 因此卢浦大桥拱内实际桥长为 385227501.011000225（米）16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A、B 是 x 轴正半轴上的两点，点 A 在点 B 的左侧，如图二次函数cbxaxy2（a0）的图象经过点 A、B，与 y 轴相交于点 C （1）a、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段 OC的长度是线段 OA、OB长度的比例中项，试证 a、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果 b4，34AB，求 a、c 的值 解:（1）a、c 同号 或当 a0 时，c0；当 a0 时，c0 （2）证明：设点 A的坐标为（1x，0），点 B的坐标为（2x，0），则210 xx 1xOA，2xOB，cOC 据题意，1x、2x是方程)0(02 acbxax的两个根 acxx21 由题意，得2OCOBOA，即22ccac 所以当线段 OC长是线段 OA、OB长的比例中项时，a、c 互为倒数（3）当4b时，由（2）知，0421aabxx，a 0 解法一：AB OB OA 21221124)(xxxxxx，aaacacaAB32416)(4)4(22 34AB，3432a得21a c 2.解法二：由求根公式，aaaacx322416424164，符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点函数由特殊到一般可分为以下几形式抛物线的三要素开口方向对称轴顶置几个不同的二次函数如果二次项系数相同那么抛物线的开口方向开口学习必备 欢迎下载 ax321，ax322 aaaxxOAOBAB32323212 34AB，3432a，得21a c 2 17.如图，直线333xy分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，E经过原点 O及 A、B两点（1）C是E上一点，连结 BC交 OA于点 D，若COD CBO，求点 A、B、C的坐标；（2）求经过 O、C、A三点的抛物线的解析式：（3）若延长 BC到 P，使 DP 2，连结 AP，试判断直线 PA与E的位置关系，并说明理由 解：（1）连结 EC交 x 轴于点 N（如图）A、B是直线333xy分别与 x 轴、y 轴的交点 A（3，0），B)3,0(又COD CBO CBO ABC C 是的中点 ECOA 232,2321OBENOAON 连结 OE 3 OEEC 23ENECNC C 点的坐标为（23,23）（2）设经过 O、C、A三点的抛物线的解析式为 3xaxy C（23,23）)323(2323a 392a xxy8329322为所求（3）33tan BAO，BAO 30，ABO 50 由（1）知OBD ABD 30602121ABOOBD ODOB tan30 1 DA2 ADC BDO 60，PD AD 2 ADP是等边三角形 DAP 60 BAP BAO DAP 306090即 PA AB 符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点函数由特殊到一般可分为以下几形式抛物线的三要素开口方向对称轴顶置几个不同的二次函数如果二次项系数相同那么抛物线的开口方向开口学习必备 欢迎下载 即直线 PA是E的切线 符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点函数由特殊到一般可分为以下几形式抛物线的三要素开口方向对称轴顶置几个不同的二次函数如果二次项系数相同那么抛物线的开口方向开口