2023年初中数学找规律方法及练习.pdf
优秀学习资料 欢迎下载 初中数学考试中，在 10 题或 15 题中出现数列的找规律题 初中考试中，通常考的是两种数列，一种是一次函数的，就是增加的幅度相同，也可以说是等差数列（一次函数的形式）；增幅不同的，一般是二次函数的形式 1.等差数列：即增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第 n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中 a 为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b 为第一位数到第 n 位的总增幅。然后再简化代数式 a+(n-1)b。例：4、10、16、22、28，求第 n 位数。分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加 6，增幅相都是 6，所以，第 n 位数是：4+(n-1)66n2 2.二次函数的形式：即增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为 3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第 n 位的数也有一种通用求法。基本思路是：1、求出数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅；2、求出第 1 位到第第 n 位的总增幅；3、数列的第 1 位数加上总增幅即是第 n 位数。举例说明：2、5、10、17，求第 n 位数。分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅是：3+2(n-2)=2n-1，总增幅为：3+（2n-1）(n-1)2（n+1）(n-1)n2-1 所以，第 n 位数是：2+n2-1=n2+1 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。（三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17 增幅为 1、2、4、8.（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律写出的第 100 个数是 。优秀学习资料 欢迎下载 解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第 100 个数。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，。序列号：1，2，3，4，5，。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减 1。因此，第 n 项是 n2-1，第 100 项是 1002-1。（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与 n2、n3,或 2n、3n,或 2n、3n有关。例如：1，9，25，49，（），（），的第 n 为（2n-1）2（三）看例题：A：2、9、28、65.增幅是 7、19、37.，增幅的增幅是 12、18 答案与 3 有关且.即：n3+1 B：2、4、8、16.增幅是 2、4、8.答案与 2 的乘方有关即：2n （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例：2、5、10、17、26，同时减去 2 后得到新数列：0、3、8、15、24，序列号：1、2、3、4、5 分析观察可得，新数列的第 n 项为：n2-1，所以题中数列的第 n 项为：（n2-1）+2n2+1 （五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例：4，16，36，64，？，144，196，？（第一百个数）同除以 4 后可得新数列：1、4、9、16，很显然是位置数的平方。（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为 1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。三、基本步骤 1、先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。幅相等此实为等差数列对每个数和它的前一个数进行比较如增幅相等则所以第位数是二次函数的形式即增幅不相等但是增幅以同等幅度增加即第位到第第位的总增幅数列的第位数加上总增幅即是第位数举例说明求优秀学习资料 欢迎下载 2、如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律 3、如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律 4、最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题 规律发现专题训练 1用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖 4 块；那么第(n)个图案中有白色地砖 块。2.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图，在一个边长为 1 的正方形纸版上，依次贴上面积为21，41，81，n21的矩形彩色纸片（n 为大于 1 的整数）。请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算n21814121=。3.有一列数：第一个数为 x1=1，第二个数为 x2=3，第三个数开始依次记为 x3，x4，xn；从第二个数开始，每个数是它相邻两个数和的一半。（如：x2=231xx）(1)求第三、第四、第五个数，并写出计算过程；(2)根据（1）的结果，推测 x8=；(3)探索这一列数的规律，猜想第 k 个数 xk=.（k 是大于 2 的整数）4.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）.继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到 7 条折痕，那么对折四次可以得到_ 条折痕.如果对折n次，可以得到 条折痕.5.观察下面一列有规律的数,486,355,244,153,82,31，根据这个规律可知第 n 个数是 （n 是正整数）6.古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第 24 个三角形数与第 22 个三角形数的差为 。第 3 题 幅相等此实为等差数列对每个数和它的前一个数进行比较如增幅相等则所以第位数是二次函数的形式即增幅不相等但是增幅以同等幅度增加即第位到第第位的总增幅数列的第位数加上总增幅即是第位数举例说明求优秀学习资料 欢迎下载 7.按照一定顺序排列的一列数叫数列,一般用a1，a2，a3，an表示一个数列，可简记为an.现有数列an满足一个关系式：an+1=2na-nan+1,(n=1,2,3,n),且a1=2.根据已知条件计算a2,a3,a4的值，然后进行归纳猜想an=_.（用含n的代数式表示）8.观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，将这列数排成下列形式 按照上述规律排下去，那么第 10 行从左边第 9 个数是 .9.观察下列等式 9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 这些等式反映自然数间的某种规律，设 n(n 1)表示自然数，用关于 n 的等式表示这个规律为.10如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色。若每个小长方形的面积都 1，则红色的面积是 。11如下图，从 A地到 C地，可供选择的方案是 走水路、走陆路、走空中.从 A地到 B地有 2 条水 路、2 条陆路，从B地到C地有 3 条陆路可供选择，走空中从A地不经B地直接到C地.则从A地到C地可供选择的方案有()A20 种 B8 种 C 5 种 D13 种 12某校的一间阶梯教室，第 1 排的座位数为 12，从第 2 排开始，每一排都比前一排增加a个座位。（1）请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：第 1 排的座位数 第 2 排的座位数 第 3 排的座位数 第 4 排的座位数 第 n 排的座位数 12 12 a （2）已知第 15 排座位数是第 5 排座位数的 2 倍，求a的值，并计算第 21 排有多少座位？13.探索：一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成 4 部分，三条直线最多可以把平面分成 部分，四条直线最多可以把平面分成 部分，试画图说明；n 条直线最多可以把平面分成几部分？14.先观察321211)3121()2111(13132 9 .16-1514-1312-1110-9-76-54-32-1第 8 题 第 17 题 幅相等此实为等差数列对每个数和它的前一个数进行比较如增幅相等则所以第位数是二次函数的形式即增幅不相等但是增幅以同等幅度增加即第位到第第位的总增幅数列的第位数加上总增幅即是第位数举例说明求优秀学习资料 欢迎下载 431321211)4131()3121()2111(14143 再计算)1(1431321211nn的值 15.观察下列顺序排列的等式：9011 91211 92321 94541，猜想：第 21 个等式应为：16.我们把分子为 1 的分数叫做单位分数.如21，31，41，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如216131，3112141，4120151，（1）根据对上述式子的观察，你会发现5111.请写出，所表示的数；（2）进一步思考，单位分数n1（n是不小于 2 的正整数）11，请写出，所表示的式。17你到过县城的拉面馆吗？拉面馆的师傅，能把一根很粗的面条，先两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细面条，如下面草图所示。请问这样第_次可拉出 256 根面条。19.计算20082007654321的结果是（）A.-2008 B.-1004 C.-1 D.0 20观察右图并寻找规律，x 处填上的数字是 A136 B150 C158 D162 21若“！”是一种数学运算符号，并且 1！=1，2！=2 1=2，3！=3 2 1=6，4！=4 3 2 1，则100!98!的值为 22如图，平面内有公共端点的六条射线 OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线 OA 开始按逆时针依次在射线上写出数字 1、2、3、4、5、6、7，则数字“2008”在（）A射线 OA 上 B射线 OB 上 -26-48-14-88-8-4-2-2 x 111091287654321OFEDCBA幅相等此实为等差数列对每个数和它的前一个数进行比较如增幅相等则所以第位数是二次函数的形式即增幅不相等但是增幅以同等幅度增加即第位到第第位的总增幅数列的第位数加上总增幅即是第位数举例说明求优秀学习资料 欢迎下载 11235.C射线 OD 上 D射线 OF 上 23(1)左下图是有几个大小完全一样的小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,请你画出该几何体的主视图和左视图.(2)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造如下正方形：再分别依次从左到右取 2 个、3 个、4 个、5 个正方形拼成如下长方形并记为、相应长方形的周长如下表所示：仔细观察图形，上表中的x ，y .若按此规律继续作长方形，则序号为的长方形周长是 .24(本题满分 10 分)如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成各题.(1)将下表填写完整；(2)序号 周长 6 10 x y 11231511211321 幅相等此实为等差数列对每个数和它的前一个数进行比较如增幅相等则所以第位数是二次函数的形式即增幅不相等但是增幅以同等幅度增加即第位到第第位的总增幅数列的第位数加上总增幅即是第位数举例说明求优秀学习资料 欢迎下载(2)na（用含n的代数式表示）(3)按照上述方法，能否得到 2009 个正方形?如果能，请求出 n；如果不能，请简述理由.25.观察下列图形的构成规律，根据此规律，第 8 个图形中有 个圆 26.观察下面图形，按规律在两个箭头所指的“田”字格内分别 画上适当图形 27、观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1，43，95，167则 第n个数为 ；规律发现专题训练答案 1.4n+2 2.1 3.(1)5;7;9(2)15(3)2n-1 4.15;?5.n/n(n+2)6.45 7.n+1 8.90 9.?10.5 11.D 12.(1)12+2a;12+3a;12+a(n-1)(2)a=2;54 13.7;11;n/(n+1)+1 14.n/(n+1)第 11 题图 幅相等此实为等差数列对每个数和它的前一个数进行比较如增幅相等则所以第位数是二次函数的形式即增幅不相等但是增幅以同等幅度增加即第位到第第位的总增幅数列的第位数加上总增幅即是第位数举例说明求优秀学习资料 欢迎下载 15.920+21=201 16.(1)6;30(2)n+1;n(n+1)17.8 18.C 19.B 20.D 21.9900 22.C 23.（2）16；26；178 24(1)13;16;(2)3n+1;(3)不能，3n+1=2009 3n=2008 因为 2008 不是 3 的倍数。25.nn 26.？27.(2n-1)/nn 幅相等此实为等差数列对每个数和它的前一个数进行比较如增幅相等则所以第位数是二次函数的形式即增幅不相等但是增幅以同等幅度增加即第位到第第位的总增幅数列的第位数加上总增幅即是第位数举例说明求
