2023年初中数学学习方法中考数学压轴题解题方法-初中数学.pdf

学习好资料 欢迎下载 中考数学压轴题解题方法 长春华翼教育培训学校 张 锐 解答题在中考中占有相当大的比重，主要由综合性问题构成，就题型而言，包括计算题、证明题和应用题等它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性一般地，解题设计要因题定法，无论是整体考虑还是局部联想，确定方法都必须遵循的原则是：熟悉化原则、具体化原则；简单化原则、和谐化原则等.(一)解答综合、压轴题，要把握好以下各个环节：1.审题：这是解题的开始，也是解题的基础.一定要全面审视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计.审题思考中，要把握“三性”，即明确目的性，提高准确性，注意隐含性解题实践表明：条件暗示可知并启发解题手段，结论预告并诱导解题方向，只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息这一步，不要怕慢，其实“慢”中有“快”，解题方向明确，解题手段合理得当，这是“快”的前提和保证否则,欲速则不达.2.寻求合理的解题思路和方法：破除模式化、力求创新是近几年中考数学试题的显著特点，解答题体现得尤为突出，因此，切忌套用机械的模式寻求解题思路和方法，而应从各个不同的侧面、不同的角度，识别题目的条件和结论，认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，谨慎地确定解题的思路和方法当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃（二）题型解析 类型 1 直线型几何综合题 这类题常见考查形式为推理与计算.对于推理，基本思路为分析与综合，即从需要证明的结论出发逆推，寻找使其成立的条件，同时从已知条件出发来推导一些结论，再设法将它们联系起来.对于计算，基本思路是利用几何元素（比如边、角）之间的数量关系结合方程思想来处理.例 1（2007四川内江）如图 1，在ABC中，5AB，3BC，4AC，动点E（与点 A、C 不重合）在AC边上，EFAB交BC于点F （1）当E C F的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；（2）当E C F的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；（3）试问在AB上是否存在点P，使得EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长 分析：（1）中面积相等可以转化为“ECF与ACB 的 面积比为 1：2”，因为ECFACB，从而要求CE长，只要借助于相似比与面积比的关系即可得解.因为相似三角形对应边成比例，从而第(2)题可利用比例线段来找线段间关系，再根据周长相等来建立方程.第（3）题中假设存在符合条件的三角形，根据相似三角形中对应边成比例可建立方程.解：（1）因为ECF 的面积与四边形 EABF 的面积相等,所以 SECF:SACB1:2，又因为 EFAB，所以ECFACB.所以21)(2CACESSACBECF.因为 CA 4，所以 CE 22.（2）设 CE 的长为 x，因为ECFACB，所以CBCFCACE.所以 CF=x43.根据周长相等可得：图 1 CEFAB学习好资料 欢迎下载 EFxxxEFx)433(5)4(43.解得724x.（3）EFP 为等腰直角三角形，有两种情况：如图 2，假设PEF90，EPEF.由 AB5，BC3，AC4，得C90，所以 RtACB 斜边 AB 上高 CD512.设 EPEFx，由ECFACB，得 CDEPCDABEF，即5125125xx.解得3760 x，即 EF3760.当EFP 90，EFFP时，同理可得 EF3760.如图 3，假设EPF90，PEPF 时，点 P 到 EF 的距离为EF21.设 EFx，由ECFACB，得 CDEFCDABEF21，即51225125xx.解得49120 x，即 EF49120.综上所述，在 AB上存在点 P，使EFP 为等腰直角三角形，此时 EF3760或 EF49120.特别提示：因为等腰直角三角形中哪条边为斜边没有指明，所以需要就可能的情形进行讨论.跟踪练习 1 （2007山东烟台）如图 4，等腰梯形 ABCD 中，AD BC，点 E是线段 AD上的一个动点(E 与 A、D不重合)，G、F、H分别是 BE、BC、CE的中点(1)试探索四边形 EGFH 的形状，并说明理由(2)当点 E运动到什么位置时，四边形 EGFH 是菱形?并加以证明(3)若(2)中的菱形 EGFH 是正方形，请探索线段 EF与线段 BC的关系，并证明你的结论 参考答案：1、（1）四边形 EGFH 是平行四边形.只要说明 GF/EH，GF=EH 即可.（2）点 E 是 AD 的中点时，四边形 EGFH 是菱形.利用全等可得 BE=CE，从而得 EG=EH.根据 EGFH 是正方形，可得 EG=EH，BEC=90.因为 G、H 分别是 BE、CE 的中点，所以 EB=EC.因为 F 是 BC 的中点，类型 2 .圆的综合题 常见形式为推理与计算综合，解答的基本思路仍然是分析综合，需要注意的是，因为综合性比较强，解答后面问题时往往需要充分利用前面的结论，这样才会简便.图1DPPFCABE图 2 图 3 图 4 _?2 _ P _ D _ F_ C _ A _ B _ E 题设计的多样性一般地解题设计要因题定法无论是整体考虑还是局部联一定要全审视题目的所有条件和答题要求以求正确全理解题意在整体上题手段结论预告并诱导解题方向只有细致地审题才能从题目本身获得尽学习好资料 欢迎下载 例 2（2007广东茂名）如图 5，点 A、B、C、D 是直径为 AB的O 上四个点，C 是劣弧BD的中点，AC交 BD 于点 E，AE2，EC1（1）求证：DECADC.（2）试探究四边形 ABCD 是否是梯形？若是，请你给予证明 并求出它的面积；若不是，请说明理由 （3）延长 AB 到 H，使 BH OB求证：CH 是O 的切线 分析：（1）只要证DACCDB 即可，（2）要判断是梯形，只要说明 DCAB 即可，注意到已知条件中数量关系较多，考虑从边相等的角度来说明：先求 DC，再说明 OBCD 是菱形（3）要证明“CH 是O的切线”，只要证明OCH=090即可.解：（1）因为 C 是劣弧BD的中点，所以DACCDB 因为DCE=ACD，所以DECADC （2）四边形 ABCD 是梯形.证明：连接OD，由得DCECACDC.因为1.2 13CEACAEEC ，所以3DC 由已知3BCDC.因 为AB是 O的 直 径，所 以90ACB ，所 以22222331 2A BA CC B 所以2 3AB.所以3ODOBBCDC.所以四边形OBCD 是菱形所以DCABDCAB，所以四边形 ABCD 是梯形 过 C 作 CF 垂直 AB 于点 F，连接 OC，则3OBBCOC，所以60OBC 所以 CF=BCsin600=1.5.所以1139 32 332224ABCDSCFABDC梯形（3）证明：连接 OC 交 BD 于点 G，由（2）得四边形 OBCD 是菱形，所以OCBD且OGGC 又已知 OBBH，所以 BH平行且等于 CD.所以四边形 BHCD 是平行四边形.所以BGCH 所以90OCHOGB .所以 CH 是O 的切线 特别提示：在推理时，有时可能需要借助于计算来帮助证明，比如本题中证明 DCAB.跟踪练习 2.（2007 四川绵阳）如图，AB是O 的直径，BAC=60，P 是 OB 上一点，过 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q，过点 C 的切线 CD 交 PQ 于 D，连结 OC（1）求证：CDQ 是等腰三角形；（2）如果CDQCOB，求 BP:PO 的值 参考答案：2（1）由已知得ACB=90，ABC=30，Q=30，BCO=ABC=30 CD 是O 的切线，CO 是半径，CDCO，DCQ=30，DCQ=Q，故CDQ 是等腰三角形（2）设O 的半径为 1，则 AB=2，OC=1，AC=AB2=1，BC=3 GFHEDBOAC 图 5 题设计的多样性一般地解题设计要因题定法无论是整体考虑还是局部联一定要全审视题目的所有条件和答题要求以求正确全理解题意在整体上题手段结论预告并诱导解题方向只有细致地审题才能从题目本身获得尽学习好资料 欢迎下载 CDQCOB，CQ=BC=3于是 AQ=AC+CQ=1+3，进而 AP=AQ2=（1+3）2，BP=ABAP=（33）2，PO=APAO=（31）2，BP:PO=3 类型 3.含统计（或概率）的代数（或几何）综合题 这类题通常为知识串联型试题，因此只要逐个击破即可.例 3（2007江西）在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：ABDC ABEDCE AEDE AD 小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张请结合图形解答下列两个问题：（1）当抽得和时，用，作为条件能判定BEC 是等腰三角形吗？说说你的理由；（2）请你用树形图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有 可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片 上的等式为条件，使BEC不能构成等腰三角形的概率 分析：（1）只要说明 BE=CE 即可，从而考虑证明ABEDCE.（2）如果ABEDCE不一定成立，那么BEC未必是等腰三角形.再根据概率定义即可得解.解：（1）能理由：由ABDC，ABEDCE，AEBDEC，得ABEDCEBECE.BEC 是等腰三角形（2）树形图：先抽取的纸片序号 所有可能出现的结果（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）.抽取的两张纸片上的等式有 12 种等可能性结果，其中不能构成等腰三角形的有 4 种（），（），（），（），所以使BEC不能构成等腰三角形的概率为13 特别提示：不能得到“ABEDCE”有两种情形，一是“边边角”不能得全等，二是只能得到相似.跟踪练习 3.（2007 辽宁沈阳）如图所给的 A、B、C 三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设 A、B、C 三个几何体的主视图分别是 A1、B1、C1；左视图分别是 A2、B2、C2；俯视图分别是 A3、B3、C3（1）请你分别写出 A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3图形的名称；（2）小刚先将这 9 个视图分别画在大小、形状完全相同的 9 张卡片上，并将画有 A1、A2、A3的三张卡片放在甲口袋中，画有 B1、B2、B3的三张卡片放在乙口袋中，画有 C1、C2、C3的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片 通过补全下面的树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；开始 123456O后抽取的纸片序号 A D E B C 题设计的多样性一般地解题设计要因题定法无论是整体考虑还是局部联一定要全审视题目的所有条件和答题要求以求正确全理解题意在整体上题手段结论预告并诱导解题方向只有细致地审题才能从题目本身获得尽学习好资料 欢迎下载 小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜这个游戏对双方公平吗？为什么？解：（1）（2）树状图：参考答案：3（1）由已知可得 A1、A2是矩形，A3是圆；B1、B2、B3都是矩形；C1是三角形，C2、C3是矩形 （2）补全树状图如下：由树状图可知，共有 27 种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有 12 种，三张卡片上的图形名称都相同的概率是122749 游戏对双方不公平由可知，P（小刚获胜）49。三张卡片上的图形名称完全不同的概率是19，即P（小亮获胜）19，这个游戏对双方不公平 类型 4.图形中的函数(方程）这类题通常需要利用方程与函数的思想来处理，具体的说，往往通过线段成比例或者面积公式等来建立关系式，再通过解方程或者利用函数性质来得到解决.例 4（2007山西临汾）如图，已知正方形ABCD与正方形EFGH的边长分别是4 2和2 2，它们的中心12OO，都在直线l上，ADl，EG在直线l上，l与DC相交于点M，72 2ME ，当正方形EFGH沿直线 l以每秒 1 个单位的速度向左平移时，正方形ABCD也绕1O以每秒45顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变（1）在开始运动前，12O O ；A B C D E F G H l O2 O1 M 第 23 题图 题设计的多样性一般地解题设计要因题定法无论是整体考虑还是局部联一定要全审视题目的所有条件和答题要求以求正确全理解题意在整体上题手段结论预告并诱导解题方向只有细致地审题才能从题目本身获得尽学习好资料 欢迎下载（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时 运动 3 秒时，正方形ABCD停止旋转，这时 AE ，12O O ；（3）当正方形ABCD停止旋转后，正方形EFGH继续向左平移的时间为x秒，两正方形重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数表达式 分析:（1）22211 ADMO,2222EHEO,所以92121EOMEMOOO（2）运动 3秒时，224ME,此时 A 点落在EO1上，,41AO所以 AE=EOAOOO2121=0,（3）重叠部分是正方形，只要用 x 表示出其边长即可，注意到不同情况下，边长的表示不一样，从而需要讨论.解：（1）9（2）0，6（3）当正方形ABCD停止运动后，正方形EFGH继续向左平移时，与正方形ABCD重叠部分的形状也是正方形重叠部分的面积y与x之间的函数关系应分四种情况：如图 1，当04x 时，EAx，y与x之间的函数关系式为22xy 如图 2，当 4x8 时，y与x之间的函数关系式为 y=8 如图 3，当 8x12时，12CGx，y与x之间的函数关系式为22121127222xyxx 当12x时，y与x之间的函数关系式为0y 特别提示：（1）本题也是变换型试题，计算与证明时要抓住变换中不变的元素（比如角相等，边相等，图形全等，等）来进行处理，如果直角比较多，还可从相似、三角函数、勾股定理角度来建立数量关系.（2）对于图形变化中分段函数的问题，可以从图形特征角度来分别讨论，以力求解答完备.跟踪练习 4（2007河北）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点 P从点 B 出发沿折线段 BA-AD-DC 以每秒 5 个单位长的速度向点 C 匀速运动；点 Q 从点 C 出发沿线段 CB方向以每秒 3 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 向上作射线 QKBC，交折线段 CD-DA-AB 于点 E 点 P、Q 同时开始运动，当点 P 与点 C 重合时停止运动，点 Q 也随之停止 设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t0）（1）当点 P 到达终点 C 时，求 t 的值，并指出此时 BQ 的长；（2）当点 P 运动到 AD 上时，t 为何值能使 P QDC？（3）设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S，分别求出点 E 运 动到 CD、DA 上时，S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（4）PQE 能否成为直角三角形？若能，写出 t 的取值范围；若不能，请说明理由 参考答案：4：（1）t=35（秒）时，点 P 到达终点 C BQ 的长为 135105=30 （2）若 PQDC，又 ADBC，则四边形 PQCD 为平行四边形，从而 PD=QC，由 QC=3t，BA+AP=5t，A B C D E F G H l O2 O1 A B C D E F G H l O2 O1 A B C D E F G H l O2 O1 图 1 图 2 图 3 题设计的多样性一般地解题设计要因题定法无论是整体考虑还是局部联一定要全审视题目的所有条件和答题要求以求正确全理解题意在整体上题手段结论预告并诱导解题方向只有细致地审题才能从题目本身获得尽学习好资料 欢迎下载 得 50755t=3t，解得 t=1258当 t=1258时，有 PQDC（3）当点 E 在 CD 上运动时 S=SQCE=12QE QC=6t2；当点E 在DA 上运动时，S=S梯形QCDE=12(EDQC)DH=40330321tt=120 t600 （4）PQE 能成为直角三角形当PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是0t25 且 t 1558或 t=35 跟踪练习 5（2007 江苏扬州）如图，矩形ABCD中，3AD 厘米，ABa厘米（3a）动点MN，同时从B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1厘米秒 过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于PQ，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动设运动时间为t秒（1）若4a 厘米，1t 秒，则PM _厘米；（2）若5a 厘米，求时间t，使P N BP A D，并求出它们的相似比；梯形PQDA（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与的面积相等，求a的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由 参考答案：5、（1）34PM，（2）2t，使PNBPAD，相似比为3:2（3）AMPABN 可得 PM=atat)(，2)(2)(3)(3(tttaatTaatat，化简,得66ata，3a6.（4）梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，()3tatta ，把66ata代入，解得2 3a（舍负值）类型 5.抛物线中的图形 一般而言，这类题多为压轴题，解答基本思路仍然为分析与综合.除了需要灵活运用代数与几何核心知识外，还要注意应用分类、数形结合、转化等基本数学思想方法.例 5（2007河南）如图，对称轴为直线72x 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；72x B(0,4A(6,E F x yO D Q C P N B M A D Q C P N B M A 题设计的多样性一般地解题设计要因题定法无论是整体考虑还是局部联一定要全审视题目的所有条件和答题要求以求正确全理解题意在整体上题手段结论预告并诱导解题方向只有细致地审题才能从题目本身获得尽学习好资料 欢迎下载（2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形 OEAF 的面积 S 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？是否存在点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 分析：（1）利用待定系数法可以求出抛物线解析式，（2）利用平行四边形 OEAF 的面积公式来建立函数关系式.判断 OEAF 是否为菱形，关键是看能否由已知条件得到邻边相等，即需要将面积关系转化为线段关系，假设存在符合条件的 E，考虑先满足条件“使得 OEAF 为正方形”，再看能否满足另外条件“在抛物线上”.解：（1）由抛物线的对称轴是72x，可设解析式为27()2ya xk把 A、B 两点坐标代入上式，得225,.36ak 故抛物线解析式为22725()326yx，顶点为725(,).26（2）因为点(,)E x y在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326yx，所以 y0,y 表示点 E到 OA的距离因为 OA 是OEAF的对角线，所以25724621222xyyOASSAOE.因为抛物线22725()326yx与 x 轴焦点的横坐标分别为：x1=1，x2=6.又点 E 在第四象限，点 E 的纵坐标小于 0，所以点 E 的横坐标 1x6.2172264()2522OAESSOA yy x的取值范围是 1x6 根据题意，当 S=24 时，即274()25242x 解得123,4.xx故所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，4），E2（4，4）点 E1（3，4）满足 OE=AE，所以OEAF是菱形；点E2（4，4）不满足 OE=AE，所以OEAF不是菱形 当 OAEF，且 OA=EF 时，OEAF是正方形，此时点 E 的坐标只能是（3，3）而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E，使OEAF为正方形 特别提示：需要同时满足几个条件时，不妨先满足其中部分，再看是否满足其它条件.跟踪练习 6（2007 辽宁沈阳）已知抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于A、B两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段OB、OC 的长（OBOC）是方程 x210 x160 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x2（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接 AC、BC，若点 E 是线段 AB上的一个动点（与点 A、点 B 不重合），过点 E 作 EFAC 交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE 的长为 m，CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出 S 的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时BCE 的形状；若不存在，请说明理由 参考答案：题设计的多样性一般地解题设计要因题定法无论是整体考虑还是局部联一定要全审视题目的所有条件和答题要求以求正确全理解题意在整体上题手段结论预告并诱导解题方向只有细致地审题才能从题目本身获得尽学习好资料 欢迎下载 6、（1）点 B（2，0），点 C（0，8），点 A（6，0），（2）抛物线的表达式为 y23x283x8，（3）由EFACBEAB，因为 AC=2268=10，BE=8-m，AB=8.所以 EF405m4.作 FGAB，垂足为 G，则 sinFEG=sinCAB=54108.所以在 RtEGF中，FG EF sin FEG=45405m4=8-m，所 以S BFEBCESS=8821 m-mm8821=12m24m，m 的取值范围是 0m8 （4）存在因为 S12m24m，又 a=210，当 m=ab2=2124=4 时，a4bac42最大S=8.因为 m=4，所以点 E 的坐标为（2，0），BCE 为等腰三角形 题设计的多样性一般地解题设计要因题定法无论是整体考虑还是局部联一定要全审视题目的所有条件和答题要求以求正确全理解题意在整体上题手段结论预告并诱导解题方向只有细致地审题才能从题目本身获得尽