2023年复变函数期末考试卷(最新版)大全东北师大.pdf

精品资料 欢迎下载 一、填空题（每小题 2 分）1、复数i 212 的指数形式是 2、函数w=z1将ZS上的曲线 1122yx变成WS(ivuw)上 的曲线是 3、若01ze,则z 4、ii1=5、积分 idzz2222=6、积分1sin21zdzzzi 7、幂级数 01nnnzi的收敛半径 R=8、0z是函数zez111的 奇点 9、1Re21zeszz 10、将点,i,0分别变成 0,i,的分式线性变换w 二、单选题（每小题 2 分）1、设为任意实数，则1=（）A 无意义 B等于 1 C是复数其实部等于 1 D是复数其模等于 1 2、下列命题正确的是（）A ii2 B 零的辐角是零 C 仅存在一个数 z,使得zz1 D izzi1 3、下列命题正确的是（）A函数 zzf在z平面上处处连续 B 如果 af 存在,那么 zf 在a解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果 v 是 u 的共轭调和函数,则 u 也是 v 的共轭调和函数 4、根式31的值之一是（）A i2321 B 223i C 223i D i2321 5、下列函数在0z的去心邻域内可展成洛朗级数的是（）A z1sin1 B z1cos C zctge1 D Lnz 6、下列积分之值不等于 0 的是()A 123zzdz B 121zzdz C1242zzzdz D 1coszzdz 7、函数 zzfarctan在0z处的泰勒展式为（）A 02121nnnnz（z1）B 01221nnnnz（z1）C 012121nnnnz（z1）D 0221nnnnz（z1）8、幂级数nnnz201)1(在1z内的和函数是（）A 211z B 211z C 112z D 211z 9、设 ai，C：iz=1，则 dziazzC2cos（）A 0 B e2i C 2ie D icosi 10、将单位圆1z共形映射成单位圆外部1w的分式线性变换是（）A)1(1azaazewi B)1(1azaazewi C)1(aazazewi D)1(aazazewi 三、判断题（每小题 2 分）精品资料 欢迎下载 1、（）对任何复数 z,22zz 成立 2、（）若a是 zf和 zg的一个奇点,则a也是 zgzf的奇点 3、（）方程01237 zz的根全在圆环21z内 4、（）z=是函数 zf 251zz的三阶极点 5、（）解析函数的零点是孤立的 四、计算题（每小题 6 分）1、已知)(2222ydxycxibyaxyxzf在zS上解析,求 a,b,c,d的值 2、计算积分22)1(25zdzzzz 3、将函数 11zzzf在1z的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围 4、计算实积分I=0222)4)(1(dxxxx 5、求211)(zzf在指定圆环iz2内的洛朗展式 6、求将上半平面0Imz共形映射成单位圆1w的分式线性变换 zLw，使符合条件 0iL，0 iL 五、证明题（每小题7 分）1、设（1）函数)(zf在区域D内解析（2）在某一点Dz 0有0)(0)(zfn，（,2,1n）证明：)(zf在D内必为常数 2、证明方程015nzze在单位圆1z内有n个根 一填空题（每小题2 分，视答题情况可酌情给1 分，共 20 分）1 ie654，2 21u，3(2k+1)i,(k=0,2,1)，4 kiee242ln(k=0,2,1)5 3i,6 0,7 21,8 可去，9 2e，10 z1 二 单选题（每小题 2 分，共 20 分）1 D 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 A 三 判断题（每小题 2 分，共 10 分）1 2 3 4 5 四 计算题（每小题 6 分，共 36 分）1 解：22byaxyxu,22ydxycxv 3分 yxvu ydxayx22 xyvu dycxbyax22 5 分 解得:1,2cbda 6分 2 解：被积函数在圆周的2z内部只有一阶极点 z=0 及二阶极点 z=1 2分 2)1(25)(Re020zzzzzfs 2225)(Re1211 zzzzzzzfs 分5 22)1(25zdzzzz=2i(-2+2)=0 6分 3 解：11zzzf =nnnzzz1211211111210 4 分 （1z2）6 分 4 解:被积函数为偶函数在上半z 平面有两个 一阶极点i,2i 1 分 是复数其模等于下列命题正确的是零的辐角是零仅存在一个数使得下列是下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是下列积分之值不等于的和的一个奇点则也是的奇点方程的根全在圆环内是函数的三阶极点解析精品资料 欢迎下载 I=dxxxx)4)(1(21222 2 分 =)(Re)(Re2212zsfzfsiiziz 3 分 =izizizzzzizzi22222)2)(1()4)(5 分 =6 6 分 5 解：)(1)(izizzf 1 分 =iziiz211)(12 3 分 =02)()2()1()(1nnnniziiz iz2 6 分 6 解:w=L(i)=kiziz 2分 2)(2izikw 3 分 0)(iLw ik 4 分 iziziw 6 分 五 证明题（每小题7 分，共 14 分）1 证明:设)(:0DkRzzk)(zf在0z解析 由泰勒定理 000)()(!)()(nnnzznzfzf)(Dkz 2 分 由题设 0)(0)(zfn )()(0zfzf，)(Dkz 4 分 由唯一性定理 )()(0zfzf )(Dz 7 分 2 证明：令nzzf5)(，1)(zez 2分 (1）zf及 z在1z解析 (2）1z上，55nzzf 1111eeeezzzz5 4分 故在1z上 zzf，由儒歇定理在1z内 nzzfNzzzfN)1,()1,(7 分 一、填空题（每小题 2 分）1、323sin3cos5sin5cosii的指数形式是 2、ii=3、若 0r1，则积分 rzdzz1ln 4、若v是u的共轭调和函数，那么v的共轭调和函数是 5、设0z为函数)(zf=33sin zz 的 m阶零点，则 m=6、设az 为函数 zf的 n 阶极点，那么 zfzfsazRe=7、幂级数 0!nnnz的收敛半径 R=8、0z是函数zz1sin5的 奇点 9、方程01237 zz的根全在圆环 内 10、将点,i,0分别变成 0,i,的分式线性变换w 二、单选题（每小题 2 分）1、若函数 zf在区域 D内解析，则函数 zf在区域 D内（）A在有限个点可导 B存在任意阶导数 C 在无穷多个点可导 D存在有限个点不可导 2、使22zz 成立的复数是（）A 不存在 B 唯一的 C 纯虚数 D实数 3、22)1(coszdzzz（）是复数其模等于下列命题正确的是零的辐角是零仅存在一个数使得下列是下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是下列积分之值不等于的和的一个奇点则也是的奇点方程的根全在圆环内是函数的三阶极点解析精品资料 欢迎下载 A isin1 B isin1 C 2isin1 D 2isin1 4、根式3i的值之一是（）A 223i B 223i C i D i 5、z是zzsin的（）A 可去奇点 B 一阶极点 C 一阶零点 D 本质奇点 6、函数 411zzzzf，在以0z为中心的圆环内的洛朗展式 有 m 个，则 m=()A 1 B 2 C 3 D 4 7、下列函数是解析函数的为（）A xyiyx222 B xyix 2 C )2()1(222xxyiyx D 33iyx 8、在下列函数中，0Re0zfsz的是（）A 21zezfz B zzzzf1sin C zzzzfcossin D zezfz111 9、设 ai，C：iz=1，则 dziazzC2cos（）A 0 B e2i C 2ie D icosi 10、将单位圆1z共形映射成单位圆外部1w的分式线性变换是（）A)1(1azaazewi B)1(1azaazewi C)1(aazazewi D)1(aazazewi 三、判断题（每小题 2 分）1、（）幂级数 0nnz在z1 内一致收敛 2、（）z=是函数2cos1zz的可去奇点 3、（）在柯西积分公式中，如果Da，即 a 在D之外，其它条件 不变，则积分 dzazzfiC210，Dz 4、（）函数 zfzctge1在0z的去心邻域内可展成洛朗级数 5、（）解析函数的零点是孤立的 四、计算题（每小题6 分）1、计算积分Cdzixyx2，C：i1+i的直线段 2、求函数 211zzzzf在所有孤立奇点（包括）处的留数 3、将函数 izizzf11在iz 的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分 Czzdz122,C:1222yyx，5、计算实积分 I=20cosad )1(a 6、求将单位圆1z共形映射成单位圆1w的分式线性变换 zLw 使符合条件021L，11L 五、证明题（每小题7 分）1、设函数 zf在区域D内解析，证明：函数 zf i也在D内解析 2、证明：在0z解析，且满足的nnf21121，nnf2121（2,1n）的函数 zf不存在 一填空题（每小题2 分，视答题情况可酌情给1 分，共20 分）满分 14 得分 满分 10 得分 是复数其模等于下列命题正确的是零的辐角是零仅存在一个数使得下列是下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是下列积分之值不等于的和的一个奇点则也是的奇点方程的根全在圆环内是函数的三阶极点解析精品资料 欢迎下载 1 19ie，2 ke22(k=0,)，3 0，4 u，5 9 6 n ，7 ，8 本质，9 21z，10 z1 二 单选题（每小题 2 分，共 20 分）1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 6 C 7 C 8 D 9 A 10 A 三 判断题（每小题 2 分，共 10 分）1 2 3 4 5 四 计算题（每小题 6 分，共 36 分）1 解：C 的参数方程为：z=i+t,01 t dz=dt 3分 Cdzixyx21021dtitt=321i 6分 2 解:1z为 zf一阶极点 1分 1z为 zf二阶极点 2分 411Re11zzzzzfs 3分 411Re121zzzzzfs 5分 0Rezfsz 6 分 3 解：izizzf11=iiziiz211211 2 分 =10211nnnniiziz 5 分 （0iz 0，则 z0是)(zf的_零点.6.函数 ez的周期为_.7.方程083235zzz在单位圆内的零点个数为_.8.设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有_.9.函数|)(zzf的不解析点之集为_.10._)1,1(Res4zz.三.计算题.(40 分)1.求函数)2sin(3z的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz 处的值.3.计算积分：iizzId|，积分路径为（1）单位圆（1|z）的右半圆.4.求 dzzzz22)2(sin.四.证明题.(20 分)1.设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是)(zf在 D 内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题（三）二.填空题.(20分)1.设11)(2zzf，则f(z)的定义域为_.2.函数ez的周期为_.3.若nnninnz)11(12，则nznlim_.4.zz22cossin_.5.1|00)(zznzzdz_.（n为自然数）6.幂级数 0nnnx的收敛半径为_.7.设11)(2zzf，则f(z)的孤立奇点有_.8.设1ze，则_z.9.若0z是)(zf的极点，则_)(lim0zfzz.10._)0,(Resnzze.三.计算题.(40分)1.将函数12()zf zz e在圆环域0z 内展为 Laurent级数.2.试求幂级数nnnznn!的收敛半径.3.算下列积分：Czzzze)9(d22，其中C是1|z.4.求0282269zzzz在|z|1 内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数)(zf在区域D内解析.证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内是复数其模等于下列命题正确的是零的辐角是零仅存在一个数使得下列是下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是下列积分之值不等于的和的一个奇点则也是的奇点方程的根全在圆环内是函数的三阶极点解析精品资料 欢迎下载 为常数.2.设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当Rz|时 nzMzf|)(|，证明)(zf是一个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题（四）二.填空题.(20 分)1.设iz11，则_Im_,Rezz.2.若nnzlim，则nzzznn.lim21_.3.函数 ez的周期为_.4.函数211)(zzf的幂级数展开式为 _ 5.若函数 f(z)在复平面上处处解析，则称它是_.6.若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_.7.设1|:|zC，则_)1(Cdzz.8.zzsin的孤立奇点为_.9.若0z是)(zf的极点，则_)(lim0zfzz.10.)0,(Resnzze_.三.计算题.(40 分)1.解方程013z.2.设1)(2zezfz，求).),(Rezfs 3.)(9(2|2zdzizzz.4.函数()f z zez111有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四.证明题.(20 分)1.证明：若函数)(zf在上半平面解析，则函数)(zf在下半平面解析.2.证明0364 zz方程在2|1z内仅有 3 个根.复变函数考试试题（五）二.填空题.（20 分）1.设iz31，则_,arg_,|zzz.2.当_z时，ze为实数.3.设1ze，则_z.4.ze的周期为_.5.设1|:|zC，则_)1(Cdzz.6._)0,1(Reszez.7.若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_。8.函数211)(zzf的幂级数展开式为_.9.zzsin的孤立奇点为_.10.设 C 是以为 a 心，r 为半径的圆周，则_)(1Cndzaz.（n为自然数）是复数其模等于下列命题正确的是零的辐角是零仅存在一个数使得下列是下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是下列积分之值不等于的和的一个奇点则也是的奇点方程的根全在圆环内是函数的三阶极点解析精品资料 欢迎下载 三.计算题.(40 分)1.求复数11zz的实部与虚部.2.计算积分：zzILdRe，在这里 L 表示连接原点到1 i的直线段.3.求积分：I 202cos21aad，其中 0a1.4.应用儒歇定理求方程)(zz，在|z|1 内根的个数，在这里)(z在1|z上解析，并且1|)(|z.四.证明题.(20 分)1.证明函数2|)(zzf除去在0z外，处处不可微.2.设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n，以及两个数 R及 M，使得当Rz|时 nzMzf|)(|，证明:)(zf是一个至多 n 次的多项式或一常数.复变函数考试试题（六）1.一、填空题（20 分）1.若21(1)1nnnzinn，则limnz _.2.设21()1f zz，则()f z的定义域为_.3.函数sin z的周期为_.4.22sincoszz_.5.幂级数0nnnz的收敛半径为_.6.若0z是()f z的m阶零点且1m，则0z是()fz的_零点.7.若函数()f z在整个复平面处处解析，则称它是_.8.函数()f zz的不解析点之集为_.9.方程532380zzz 在单位圆内的零点个数为_.10.公式cossinixexix称为_.二、计算题（30 分）1、2lim6nni.2、设2371()Cf zdz，其中:3Czz，试求(1)fi.3、设2()1zef zz，求Re(),)s f z i.4、求函数36sin zz在0z 内的罗朗展式.5、求复数11zwz的实部与虚部.6、求3ie的值.三、证明题（20 分）1、方程7639610zzz 在单位圆内的根的个数为6.2、若函数()(,)(,)f zu x yiv x y在区域D内解析，(,)v x y等于常数，则()f z在D恒等于常数.3、若0z是()f z的m阶零点，则0z是1()f z的m阶极点.计算下列积分（分）是复数其模等于下列命题正确的是零的辐角是零仅存在一个数使得下列是下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是下列积分之值不等于的和的一个奇点则也是的奇点方程的根全在圆环内是函数的三阶极点解析精品资料 欢迎下载(1)22sin()2zzdzz；(2)2242(3)zzdzzz 计算积分2053cosd（分）求下列幂级数的收敛半径（分）(1)1(1)nnniz；(2)21(!)nnnnzn 设3232()()f zmynx yi xlxy为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值（分）三、证明题 设函数()f z在区域D内解析，()f z在区域D内也解析，证明()f z必为常数（分）试证明0azazb 的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数（分）试卷一至十四参考答案 复变函数考试试题（一）参考答案 二填空题 1.2101inn；2.1；3.2k，()kz；4.zi；5.1 6.整函数；7.；8.1(1)!n；9.0；10.三计算题.1.解 因为01,z 所以01z 111()(1)(2)12(1)2f zzzzz001()22nnnnzz.2.解 因为 22212Re()limlim1cossinzzzzs f zzz,22212Re()limlim1cossinzzzzs f zzz.所以22212(Re()Re()0coszzzdzis f zs f zz.3.解 令2()371,则它在z平面解析,由柯西公式有在3z 内,()()2()cf zdzizz.所以1(1)2()2(136)2(6 13)zifiiziii.4.解 令zabi,则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)zab iabwzzababab .故 2212(1)Re()11(1)zazab,2212Im()1(1)zbzab.四.证明题.1.证明 设在D内()f zC.令2222(),()f zuivf zuvc 则.两边分别对,x y求偏导数,得 0(1)0(2)xxyyuuvvuuvv 因为函数在D内解析,所以,xyyxuv uv.代入(2)则上述方程组变为 00 xxxxuuvvvuuv.消去xu得,22()0 xuvv.1)若220uv,则()0f z 为常数.2)若0 xv,由方程(1)(2)及.CR方程有0,xu 0yu,0yv.所以12,uc vc.(12,c c为常数).所以12()f zcic 为常数.2.证明()(1)f zzz的支点为0,1z.于是割去线段0Re1z的z平面内变点就不是复数其模等于下列命题正确的是零的辐角是零仅存在一个数使得下列是下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是下列积分之值不等于的和的一个奇点则也是的奇点方程的根全在圆环内是函数的三阶极点解析精品资料 欢迎下载 可能单绕 0 或 1 转一周,故能分出两个单值解析分支.由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z 时,只有z的幅角增加.所以()(1)f zzz的幅角共增加2.由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分支在上岸之幅角为 0,因而此分支在1z 的幅角为2,故2(1)22ifei.复变函数考试试题（二）参考答案 二.填空题 1.1，2，i；2.3(1sin 2)i；3.2101inn；4.1；5.1m.6.2k i，()kz.7.0；8.i；9.R；10.0.三.计算题 1.解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!nnnnnnnzzznn.2.解 令izre.则22(),(0,1)kif zzrek.又因为在正实轴去正实值，所以0k.所以4()if ie.3.单位圆的右半圆周为ize,22 .所以22222iiiizdzdeei.4.解 dzzzz22)2(sin2)(sin2zzi2cos2zzi=0.四.证明题.1.证明(必要性)令12()f zcic,则12()f zcic.(12,c c为实常数).令12(,),(,)u x yc v x yc.则0 xyyxuvuv.即,u v满足.CR,且,xyyxu v uv连续,故()f z在D内解析.(充分性)令()f zuiv,则()f zuiv,因为()f z与()f z在D内解析,所以,xyyxuvuv,且(),()xyyyxxuvvuvv .比较等式两边得 0 xyyxuvuv.从而在D内,u v均为常数,故()f z在D内为常数.2.即要证“任一 n 次方程 101100(0)nnnna za zazaa 有且只有 n个根”.证明 令1011()0nnnnf za za zaza,取10max,1naaRa,当z在:CzR上时,有 111110()()nnnnnnza RaRaaaRa R .()f z.由儒歇定理知在圆 zR 内,方程10110nnnna za zaza 与 00na z 有相 同个数的根.而 00na z 在 zR 内有一个 n 重根 0z.因此n次方程在zR 内有n 个根.复变函数考试试题（三）参考答案 二.填空题.1.,z zizC 且;2.2()k ikz;3.1 ei;4.1;5.2101inn;6.1;7.i;8.(21)zki;9.;10.1(1)!n.三.计算题.1.解 12222011(1)2!nznzz ezzzn .2.解 11!(1)11l i ml i ml i m()l i m(1)(1)!nnnnnnnnnncnnnecnnnn.所以收敛半径为e.3.解 令 22()(9)zef zzz,则 2001Re()99zzzes f zz.故原式022Re()9ziis f z.4.解 令 962()22f zzzz,()8zz.则在:C 1z 上()()f zz与均解析,且()6()8f zz,故由儒歇定理有 是复数其模等于下列命题正确的是零的辐角是零仅存在一个数使得下列是下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是下列积分之值不等于的和的一个奇点则也是的奇点方程的根全在圆环内是函数的三阶极点解析精品资料 欢迎下载 (,)(,)1NfCNfC.即在 1z 内,方程只有一个根.四.证明题.1.证明 证明 设在D内()f zC.令2222(),()f zuivf zuvc 则.两边分别对,x y求偏导数,得 0(1)0(2)xxyyuuvvuuvv 因为函数在D内解析,所以,xyyxuv uv.代入(2)则上述方程组变为 00 xxxxuuvvvuuv.消去xu得,22()0 xuvv.1)220uv,则()0f z 为常数.2)若0 xv,由方程(1)(2)及.CR方程有0,xu 0yu,0yv.所以12,uc vc.(12,c c为常数).所以12()f zcic 为常数.2.证明 取 rR,则对一切正整数 kn 时,()1!()!(0)2nkkkzrkf zk Mrfdzzr.于是由r的任意性知对一切kn均有()(0)0kf.故0()nnnkf zc z,即()f z是一个至多n次多项式或常数.复变函数考试试题（四）参考答案.二.填空题.1.12,12;2.;3.2()k ikz;4.20(1)(1)nnnzz;5.整函数;6.亚纯函数;7.0;8.0z;9.;10.1(1)!n.三.计算题.1.iiziziizkkikzz232135sin35cos1sincos23213sin3cos2,1,032sin32cos1:3213解 2.解 11Re()12zzzees f zz,111Re()12zzzees f zz.故原式1112(Re()Re()()zzis f zs f zi ee.3.解 原式22Re()295zizizis f ziz.4.解 zez111=)1(1zzezez，令0)1(zez，得ikzz2,0，,2,1k 而 zzzzzzzzzzeeezeezze11lim)1(1lim)111(lim000 21lim0zzzzzzeeee 0z为可去奇点 当ikz2时，01),0(zezk 而0212)1(ikzzeeikzzezzz ikz2为一阶极点.四.证明题.1.证明 设()()F zf z,在下半平面内任取一点0z,z是下半平面内异于0z的点,考虑 000000000()()()()()()limlimlimzzzzzzF zF zf zf zf zf zzzzzzz.而0z,z在上半平面内,已知()f z在上半平面解析,因此00()()F zfz,从而()()F zfz在下半平面内解析.2.证明 令()63f zz ,4()zz,则()f z与()z在全平面解析,且在1:2Cz 上,()15()16f zz,故在2z 内11(,)(,)4N fCNC.在2:1Cz 上,()3()1f zz,故在1z 内22(,)(,)1N fCN f C.所以f在12z 内仅有三个零点,即原方程在12z 内仅有三个根.是复数其模等于下列命题正确的是零的辐角是零仅存在一个数使得下列是下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是下列积分之值不等于的和的一个奇点则也是的奇点方程的根全在圆环内是函数的三阶极点解析精品资料 欢迎下载 复变函数考试试题（五）参考答案 一.判断题.1 6 10.二.填空题.1.2,3,13i;2.2(,)ak ikz a为任意实数;3.(21)ki,()kz;4.2,()k i kz;5.0;6.0;7.亚纯函数;8.20(1)(1)nnnzz;9.0;10.2101inn.三.计算题.1.解 令zabi,则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)zab iabwzzababab .故 2212(1)Re()11(1)zazab,2212Im()1(1)zbzab.2.解 连接原点及1 i的直线段的参数方程为 (1)01zi tt ,故11001ReRe(1)(1)(1)2cizdzi ti dtitdt.3.令ize,则dzdiz.当0a 时 212()(1)1 2 cos1()zaazaaa zzaz,故11()(1)zdzIizaaz,且在圆1z 内1()()(1)f zzaaz只以za为一级极点,在1z 上无奇点,故211Re(),(01)11z az as f zaaza,由残数定理有 2122Re(),(01)1z aIis f zaia.4.解 令(),f zz 则(),()f zz在1z 内解析,且在:C1z 上,()1()zf z,所以在1z 内,(,)(,)1N fCN f C,即原方程在 1z 内只有一个根.四.证明题.1.证明 因为22(,),(,)0u x yxyv x y,故2,2,0 xyxyux uy vv.这四个偏导数在z平面上处处连续,但只在0z 处满足.CR条件,故()f z只在除了0z 外处处不可微.2.证明 取 rR,则对一切正整数 kn 时,()1!()!(0)2nkkkzrkf zk Mrfdzzr.于是由r的任意性知对一切kn均有()(0)0kf.故0()nnnkf zc z,即()f z是一个至多n次多项式或常数.复变函数考试试题（六）参考答案 二、填空题：1.1 ei 2.1z 3.2 4.1 5.1 6.1m阶 7.整函数 8.9.0 10.欧拉公式 三、计算题：1.解：因为21151,69366i 故2lim()06nni.2.解：123,i 1()()2Cff zdiz 2371.Cdz 因此 2()2(371)fi 故2()2(371)f zizz 1(1)2(67)2(1 36)2(61 3)ifiiziii.3.解：211()12zzeezzizi Re(),).2ies f z i 4.解：32130(1)()sin,(21)!nnnzzn 36360sin(1).(21)!nnnzzzn 是复数其模等于下列命题正确的是零的辐角是零仅存在一个数使得下列是下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是下列积分之值不等于的和的一个奇点则也是的奇点方程的根全在圆环内是函数的三阶极点解析精品资料 欢迎下载 5解：设zxiy,则222211(1)211(1)zxiyxyyiwzziyxy .22222212Re,Im.(1)(1)xyywwxyxy 6解：31cos()sin()(13).332ieii 四、1.证明：设673()9,()61,f zzzzz 则在1z 上，()9,()1 6 18,f zz 即有()()f zz.根据儒歇定理，()f z与()()f zz在单位圆内有相同个数的零点，而()f z的零点个数为 6，故7639610zzz 在单位圆内的根的个数为 6.2.证明：设(,)v x yabi，则0 xyvv,由于()f zuiv 在内D解析，因此(,)x yD有 0 xyuv,0yxuv.于是(,)u x ycdi 故()()()f zacbd i ，即()f z在内D恒为常数.3.证明：由于0z是()f z的m阶零点，从而可设 0()()()mfzzzgz，其中()g z在0z的某邻域内解析且0()0g z，于是 0111()()()mfzzzgz 由0()0g z可知存在0z的某邻域1D，在1D内恒有()0g z，因此1()g z在内1D解析，故0z为1()f z的m阶极点.复变函数试题 一、填空题（315=45 分）1、一个复数乘以i，它的模 ，它的辐角 。2、函数3zw 把平面上的区域3arg0z映成平面上的区域 。3、nL i 。4、设)2(2222yxybxiyaxyx为 解 析 函 数，则 ，。5、已知)(zf在区域内是解析的，为内任一闭合曲线，则()Cfz dz 。6、10zCe dzz 。其中：1z 7、已知ninen)11(，则nnlim 。8、函数2(5)(1)zzz在0z-1 处的泰勒展式的收敛半径R=。9、z=0 是函数()sinzf zzz的 级极点。10、如果分式线性映射把 z 平面上的点1,1,1,iwii映射成 平面上的点，则该分式线性映射为 。11、iizdze32=。12、ii 。13、方程083z的所有根是 。14、_,)1(R222zzes。15、若函数 f(z)在点 a 解析，且0)(,0)()()()()()1(afafafafafnn，是复数其模等于下列命题正确的是零的辐角是零仅存在一个数使得下列是下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是下列积分之值不等于的和的一个奇点则也是的奇点方程的根全在圆环内是函数的三阶极点解析精品资料 欢迎下载 则_,)()(Reazfzfs。二、判断题（36=18 分）1、0 的辐角是零。（）2、如果()f z在0z可导，那么)(zf在0z解析。（）3、设和都是调和函数，如果是的共轭调和函数，那么也是的共轭调和函数。（）4、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。（）5、函数)1(ztg不能在某个圆环域)0(,0RRz内展开成洛朗级数。（）6、设)(zf在单连通域 B 内处处解析，C 为 B 内任一条正向简单闭曲线，则0)(Im,0)(RedzzfdzzfCC（）三、解答题（共 37 分）1、（9 分）求复数1311izii的共轭复数、模与辐角主值。2、（10 分）把下列函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数。(),(1).011;(2).12(1)(2)zfzzzzz 3、（8 分）证明函数iyxyyixxzf322333)(在 z 平面内解析，并求出导数。4、（10）已知解析函数 f(z)在正实轴上的数值为纯虚数，且虚部为：22),(yxxyxv，求 f(z)。是复数其模等于下列命题正确的是零的辐角是零仅存在一个数使得下列是下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是下列积分之值不等于的和的一个奇点则也是的奇点方程的根全在圆环内是函数的三阶极点解析