2023年初二平行四边形的性质和判定知识点总结归纳整理.pdf

名师总结 优秀知识点 初二平行四边形的性质和判定专题 1平行四边形的定义(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形的定义有两层意思：是四边形；两组对边分别平行这两个条件缺一不可(2)表示方法：平行四边形用符号“”表示平行四边形 ABCD 记作“ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”(3)平行四边形的基本元素：边、角、对角线 平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法 由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形【例 1】对于平行四边形 ABCD，AC 与 BD 相交于点 O，下列说法正确的是()A平行四边形 ABCD 表示为“ACDB”B平行四边形 ABCD 表示为“ABCD”CADBC，ABCD D对角线为 AC，BO 解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，故选 C.答案：C 2平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等例如：如图所示，在ABCD 中，ABCD，ADBC.由上述性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等如图 2，直线l1l2.AB，CD 是夹在直线 l1，l2间的平行线段，则四边形 ABCD 是平行四边形，故ABCD.(2)平行四边形的对角相等，邻角互补例如：如图所示，在ABCD 中，ABCCDA，BADBCD.ABCBAD180，ABCBCD 180，BCD CDA180，BADCDA180.(3)平行四边形的对角线互相平分例如：如图所示，在ABCD 中，OAOC，OBOD.名师总结 优秀知识点 图(4)经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分平行四边形的面积例如：如图所示，在ABCD 中，EF 经过对角线的交点 O，与 AD和 BC 分别交于点 E，F，则 OEOF，且 S四边形ABFES四边形EFCD.【例 2】ABCD 的周长为 30 cm，它的对角线 AC 和 BD 交于 O，且AOB 的周长比BOC 的周长大 5 cm，求 AB，AD 的长 分析：依题意画出图形，如图，AOB 的周长比BOC 的周长大 5 cm，即 AOABBO(BOOCBC)5(cm)因为 OAOC，OB 为公共边，所以 ABBC5(cm)由 ABBC30215(cm)可求 AB，BC，再由平行四边形的对边相等得 AD 的长 解：AOB 的周长比BOC 的周长大 5 cm，AOABBO(BOOCBC)5(cm)四边形 ABCD 是平行四边形，AOOC，ABBC5(cm)ABCD 的周长为 30 cm，ABBC15(cm)ABBC5，ABBC15，得 AB10，BC5.AB10 cm，ADBC5 cm.3平行四边形的判定(1)方法一：(定义判定法)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础关于边、角、对角线方面还有以下判定定理(2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图，连接 BD，由 ADBC，ABCD，可证明ABDCDB，所以CDB ABD，CBDADB，从而得到ABCD，ADBC.由定义得到四边形ABCD 为平行四边形 表示平行四边形记作读作平行四边形平行四边形的基本元素边角对角线么这个四边形就是平行四边形例对于平行四边形与相交于点下列说法正平行四边形的对边平行且相等例如如图所示在中由上述性质可得夹在两名师总结 优秀知识点 其推理形式为：ABDC，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形(3)方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 如图，由A=C，B=D，A+B+C+D=360，可得B+C=180，A+B=180.从而得到 ABDC，ADBC.由定义得到四边形 ABCD 为平行四边形，其推理形式为：A=C，B=D，四边形 ABCD 是平行四边形(4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形 其推理形式为：如图，OA=OC，OB=OD，四边形 ABCD 是平行四边形(5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 其推理形式为：如图，ADBC，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形(1)判定方法可作为“画平行四边形”的依据；(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形【例 3】已知，如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，ABCD，AOCO.四边形 ABCD 是平行四边形，请说明理由 解：因为 ABCD，所以BACDCA.表示平行四边形记作读作平行四边形平行四边形的基本元素边角对角线么这个四边形就是平行四边形例对于平行四边形与相交于点下列说法正平行四边形的对边平行且相等例如如图所示在中由上述性质可得夹在两名师总结 优秀知识点 又因为 AOCO，AOBCOD，所以ABOCDO.所以 BODO.所以四边形 ABCD 是平行四边形 4三角形的中位线(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线(2)性质：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半(1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系；(2)三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段【例 4】如图所示，在ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，若ABC的周长为 10 cm，则DEF 的周长是_cm.解析：由三角形的中位线性质得，DF12BC，EF12AB，DE12AC，所以DEF 的周长12105(cm)答案：5 5两条平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间的距离 如图所示，ab，点 A在直线a 上，过 A点作 ACb，垂足为 C，则线段 AC 的长是点A到直线 b 的距离，也是两条平行线 a，b 之间的距离 (1)如图，过直线 a 上点 B 作 BDb，垂足为 D，则线段 BD 的长也是两条平行线 a，b 之间的距离于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距离处处相等(2)两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的位置确定时，它们之间的距离也随之确定，它不随垂线段的位置的改变而改变，是一个定值【例 5】如图所示，如果 l1l2，那么ABC 的面积与DBC 的面积相等吗？由此你还能得出哪些结论？表示平行四边形记作读作平行四边形平行四边形的基本元素边角对角线么这个四边形就是平行四边形例对于平行四边形与相交于点下列说法正平行四边形的对边平行且相等例如如图所示在中由上述性质可得夹在两名师总结 优秀知识点 解：ABC 的面积与DBC 的面积相等 因为 l1l2，所以它们之间的距离是一个定值 所以ABC 与DBC 是同底等高的两个三角形所以 SABCSDBC.结论：l1上任意一点与 B，C 连接，构成三角形的面积都等于ABC 的面积，这样的三角形有无数个 6平行四边形性质的应用 平行四边形性质的应用非常广泛，可以利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等 对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30 角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，是解决此类问题的关键 【例 6】如图，ABCD 的对角线相交于点 O，过 O 作直线 EF，并与线段 AB，CD 的反向延长线交于 E，F，OE 与 OF 是否相等，阐述你的理由 解：OE 与 OF 相等 理由：四边形 ABCD 是平行四边形，BEDF，OBOD，FDOEBO，EF.BOEDOF.OEOF.7平行四边形的判定的应用 熟练掌握判定定理是平行四边形的判定的关键已学了平行四边形的五种判定方法，记忆时要注意技巧，其中三种方法都与边有关：(1)一种关于对边的位置关系(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)；(2)一种关于对边的数量关系(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)；(3)一种关于对边的数量与位置关系(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)平行四边形的判定方法是今后解决平行四边形问题的基础知识，应该熟练掌握 判定平行四边形的一般思路：考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边分别相等；或一组对边平行且相等；考虑对角关系：证明两组对角分别相等；考虑对角线关系：证明两条对角线互相平分【例 7】如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明(写出一种即可)表示平行四边形记作读作平行四边形平行四边形的基本元素边角对角线么这个四边形就是平行四边形例对于平行四边形与相交于点下列说法正平行四边形的对边平行且相等例如如图所示在中由上述性质可得夹在两名师总结 优秀知识点 关系：ADBC，ABCD，AC，BC180.已知：在四边形 ABCD 中，_，_；求证：四边形 ABCD 是平行四边形 分析：选用关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；选用关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；选用关系时，证明一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形；选用关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形 解：已知：，均可，其余均不可以举例如下：已知：在四边形 ABCD 中，ADBC，AC，求证：四边形 ABCD 是平行四边形 证明：ADBC，AB180.AC，CB180.ABCD.四边形 ABCD 是平行四边形 8平行四边形的性质和判定的综合应用 平行四边形的性质和判定的应用主要有以下几种情况：(1)直接运用平行四边形的性质解决某些问题，如求角的度数、线段的长、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系；(2)判定一个四边形为平行四边形，从而得到两角相等、两直线平行等；(3)综合运用：先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题；或先运用平行四边形的性质得到线段平行、角相等等，再判定一个四边形是平行四边形【例 8】如图所示，在ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 上的点，且 AECF，AF与 BE 交于 G，DF 与 CE 交于 H，连接 EF，GH，试问 EF 与 GH 是否互相平分？为什么？解：EF 与 GH 互相平分 理由：在ABCD 中，ADBC，AECF，AECF.DEBF.四边形 AFCE，BEDF 都是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)AFCE，BEDF.四边形 EGFH 是平行四边形(平行四边形的定义)EF 与 GH 互相平分 9三角形的中位线性质的应用 三角形的中位线的性质不仅反映了线段间的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关表示平行四边形记作读作平行四边形平行四边形的基本元素边角对角线么这个四边形就是平行四边形例对于平行四边形与相交于点下列说法正平行四边形的对边平行且相等例如如图所示在中由上述性质可得夹在两名师总结 优秀知识点 系，借助三角形中位线的性质可以进行几何求值(计算角度、求线段的长度)、证明(证明线段相等、证明线段的不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等)、作图，且能解决生活实际问题 应用三角形中位线定理解决问题时，已知条件中往往给出两个中点，若已知条件只给出一个中点，必须要证明另一个点也是中点，才能运用此定理【例 9】在ABC 中，AB12，AC10，BC9，AD 是 BC 边上的高将ABC 按如图所示的方式折叠，使点 A与点 D 重合，折痕为 EF，则DEF 的周长为()A9.5 B10.5 C11 D15.5 解析：EDF 是EAF 折叠而形成的图形，EDFEAF.AEFDEF.AD 是 BC 边上的高，由折叠可知 ADEF，EFCB.AEFB，BDEDEF.BBDE.BEDEAE.E 为 AB 的中点同理点 F 是 AC 的中点 EF 是ABC 的中位线 DEF 的周长为EAF 的周长，即 AEEFAF12(ABBCAC)12(12910)15.5.答案：D 10平行四边形的性质探究题 平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分几方面，因此，由平行四边形可以得到很多相等线段、相等角所以，要学会利用对比的方法正确区分平行四边形的判定定理和性质定理，正确地运用相关的结论解决相关的问题 平行四边形的探究型问题，关键是根据平行四边形的性质和判定，构造出平行四边形【例 10】如图，已知等边ABC 的边长为 a，P 是ABC 内一点，PDAB，PEBC，PFAC，点 D，E，F 分别在 AC，AB，BC 上，试探索 PDPEPF 与 a 的关系 表示平行四边形记作读作平行四边形平行四边形的基本元素边角对角线么这个四边形就是平行四边形例对于平行四边形与相交于点下列说法正平行四边形的对边平行且相等例如如图所示在中由上述性质可得夹在两名师总结 优秀知识点 解：如图，作 DGBC 交 AB于点 G，因为ABC 为等边三角形，所以ABC60.所以AAGDADG60.所以 GDAG.又可得 EPGD，所以 EPAG，DPGE.同理可得 PFEB，所以 PDPEPFa.11平行四边形的判定的探究题 平行四边形是一类特殊的四边形，并且它是学习矩形、菱形、正方形和梯形的基础在有关平行四边形判定的探究型问题中，要会判定一个四边形是平行四边形，运动型问题的关键是把运动的问题转化为静止的问题 运动变化题，这类题的解决技巧是把“运动”的“静止”下来，以静制动，同时注意不同的情况【例 11】如图所示，已知在四边形 ABCD 中，ADBC(ADBC)，BC6 cm，点 P 从A点以1 cm/s 的速度向 D 点出发，同时点 Q 从 C 点以 2 cm/s 的速度向 B 点出发，设运动时间为 t 秒，问 t 为何值时，四边形 ABQP 是平行四边形？解：由题意知，APt，QC2t，则 BQ62t，若四边形 ABQP 为平行四边形，因为 ADBC，只需 APBQ 即可，即 t62t，解得 t2.答：当 t 为 2 秒时，四边形 ABQP 是平行四边形 表示平行四边形记作读作平行四边形平行四边形的基本元素边角对角线么这个四边形就是平行四边形例对于平行四边形与相交于点下列说法正平行四边形的对边平行且相等例如如图所示在中由上述性质可得夹在两