2023年大一上-微积分-知识点总结归纳重点.pdf

名师总结 优秀知识点 大一（上）微积分 知识点 第一章 函数 一、AB=,则 A、B是分离的。二、设有集合 A、B，属于 A而不属于 B 的所有元素构成的集合，称为 A与 B的差。A-B=x|xA且 xB（属于前者，不属于后者）三、集合运算律：交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致；摩根律：交的补等于补的并。四、笛卡尔乘积：设有集合 A和 B，对xA,yB，所有二元有序数组（x,y）构成的集合。五、相同函数的要求：定义域相同对应法则相同 六、求反函数：反解互换 七、关于函数的奇偶性，要注意：1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数；2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(fDx，)()(xfxf成立，则)(xf为偶函数；若对所有的)(fDx，)()(xfxf成立，则)(xf为奇函数；若)()(xfxf或)()(xfxf不能对所有的)(fDx成立，则)(xf既不是奇函数也不是偶函数；3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。第二章 极限与连续 一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。三、无穷小量的几个性质：1、limf(x)=0，则 2、若limf(x)=)(limxg=0，则0)()(lim xgxf 3、若limf(x)=)(limxg=0，则lim)(xf)(xg0 名师总结 优秀知识点 4、若 g(x)有界（|g(x)|M），且limf(x)=0，则limf(x)g(x）=0 四、无穷小量与无穷大量的关系：若 y 是无穷大量，则y1是无穷小量；若 y（y0)是无穷小量，则y1是无穷大量。五、无穷小量的阶数比较（假设0)(lim)(limxgxf)：若0)()(limxgxf 称 f(x)是较 g（x)高阶的无穷小量；若)()(limxgxf 称 f(x)是较 g（x)低阶的无穷小量；若)0(g(x)f(x)limCC 称 f(x)是较 g（x)同阶的无穷小量；若1)()(limxgxf 称 f(x)是较 g（x)等价的无穷小量，记为)()(xgxf。六、极限的运算法则：lim)(yx=yxlimlim xlimy=xlimylim Climy=yC lim nxlim=)(lim xn xnlim1=)(lim1xn yxyxlimlimlim0limy 并四笛卡尔乘积设有集合和对所有二元有序数组构成的集合五相同函数点不对称则函数无奇偶性可言那么函数既不是奇函数也不是偶函数判断质两偶函数之和是偶函数两奇函数之和是奇函数一奇一偶函数之和是非名师总结 优秀知识点 七、求极限的几种技巧：当极限过程是x时，除以最高次项；当带有根号时，进行有理化；当遇到分式的加、减运算时，进行通分；当极限过程是x时，分子最高次项的指数低于分母最高次项的指数时，结果为 0；分子最高次项的指数高于分母最高次项的指数时，结果为；分子、分母最高次项的指数相等时，结果为最高次项的系数比。八、两个重要极限：)0(1sinlim xxx )0(1tanlim xxx)()11lim(xexx )0()1lim(1xexx 九、等价无穷小量（乘积的时候才可以换）：)0(sinxxx )0(tanxxx)0(arcsinxxx )0(arctanxxx)0(2cos12xxx )0(11xnxxn)0()1ln(xxx )0(1xxex 十、证明在某一点ox处连续：需证明)()(limooxxxfxf 十一、出现函数的间断点的情况：在点ox处）（xf没有定义；)(limoxxxf不存在；虽然)(oxf有定义，且)(limoxxxf存在，但)()(limooxfxxxf 并四笛卡尔乘积设有集合和对所有二元有序数组构成的集合五相同函数点不对称则函数无奇偶性可言那么函数既不是奇函数也不是偶函数判断质两偶函数之和是偶函数两奇函数之和是奇函数一奇一偶函数之和是非名师总结 优秀知识点 十二、间断点分类：1、第一类间断点：如果函数）（xf在点oxx 处的左、右极限都存在，但不全等于)oxf（，就称点oxx 为）（xf的第一类间断点。可去间断点（属于第一类间断点）：函数间断点的左、右极限存在并相等，只是不等于该点的函数值，那么我们可以重新定义函数在间断点的值，使得所形成的函数，在该点连续。跳跃间断点（属于第一类间断点）：函数间断点的左、右极限存在但不相等。2、第二类间断点：如果函数）（xf在点oxx 处的左、右极限至少有一个不存在，就称点oxx 为）（xf的第二类间断点。无穷间断点（属于第二类间断点）：只要左右极限有一个为。振荡间断点 十三、介值定理：如果函数）（xf在闭区间 ba,上连续，m和 M分别为）（xf在 ba,上的最小值和最大值，则对介于 m与 M之间的任一实数 c（即Mcm），至少存在一点 ba,，使得 Cf。推论：如果函数）（xf在闭区间 ba,上连续，且 af与 bf异号，则至少存在一点 ba,，使得 0f。并四笛卡尔乘积设有集合和对所有二元有序数组构成的集合五相同函数点不对称则函数无奇偶性可言那么函数既不是奇函数也不是偶函数判断质两偶函数之和是偶函数两奇函数之和是奇函数一奇一偶函数之和是非名师总结 优秀知识点 第三章 导数与微分 1、xy 在0 x处不可导（1xy就在1x处不可导)第五章 不定积分 一、基本积分公式表：1、为常数）（CCdx0 2、)1(11aCaxdxxaa 3、Cxdxxln1 4、)1,0(ln1aaCaadxaxx 5、Cedxexx 6、Cxxdxcossin 7、Cxxdxsincos 8、Cxdxxcotcsc2 9、Cxxdxtansec2 10、Cxxdxarcsin12 11、Cxxdxarctan12 12、Cxxdxcoslntan 13、Cxxdxsinlncot 14、Cxxxdxtanseclnsec 15、Cxxxdxcotcsclncsc 并四笛卡尔乘积设有集合和对所有二元有序数组构成的集合五相同函数点不对称则函数无奇偶性可言那么函数既不是奇函数也不是偶函数判断质两偶函数之和是偶函数两奇函数之和是奇函数一奇一偶函数之和是非名师总结 优秀知识点 16、)0(arctan122aCaxaxadx 17、)0(ln2122aCxaxaaxadx 18、)0(arcsin22aCaxxadx 19、)0(ln2222aCaxxaxdx 20、)0(2arcsin222222aCxaxaxadxxa 二、一般地，如被积函数含有nbax，令nbax=t，可以消去根号，如被积函数含有nx，mx，令kx=t，k 为 m与 n 的最小公倍数，可同时消去两个根号。三、三角代换：被积函数含有22xa，可作代换taxsin或taxcos 被积函数含有22xa，可作代换taxtan或taxcot 被积函数含有22a-x，可作代换taxsec或taxcsc 化被积函数为新变量 t 的三角函数的积分，积分后将新变量 t 还原为原积分变量 x 时，可借助直角三角形的边角关系找出积分结果中新变量 t 的三角函数还原为原积分变量的关系式。并四笛卡尔乘积设有集合和对所有二元有序数组构成的集合五相同函数点不对称则函数无奇偶性可言那么函数既不是奇函数也不是偶函数判断质两偶函数之和是偶函数两奇函数之和是奇函数一奇一偶函数之和是非