2023年北师大版数学八年级上册第一单元测试卷(最新版).pdf

学习必备 欢迎下载 北师大版数学八年级上册第一单元测试题 一选择题（共 10 小题）1在ABC中，AB=AC=5，BC=6，D 为 BC中点，则 AD的长为（）A3 B4 C5 D6 2ABC中，A，B，C的对边分别记为 a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（）AA+B=C BA：B：C=1：2：3 Ca2=c2b2 Da：b：c=3：4：6 3等腰三角形的腰长为 10，底长为 12，则其底边上的高为（）A13 B8 C25 D64 4RtABC中，斜边 BC=2，则 AB2+AC2+BC2的值为（）A8 B4 C6 D无法计算 5如图，已知两正方形的面积分别是 25 和 169，则字母 B所代表的正方形的面积是（）A12 B13 C144 D194 6已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A30cm B80cm C90cm D120cm 7ABC中，边 AB=15，AC=13，高 AD=12，则ABC的周长是（）A42 B32 C42 或 32 D不能确定 8下列说法正确的是（）A已知 a、b、c 是三角形的三边长，则 a2+b2=c2 B在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C在 RtABC中，C=90，a、b、c 分别是A，B，C的对边，则 a2+b2=c2 学习必备 欢迎下载 D在 RtABC中，B=90，a、b、c 分别是A，B，C的对边，则 a2+b2=c2 9已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B与点 D 重合，折痕为 EF，则ABE的面积为（）A3cm2 B4cm2 C6cm2 D12cm2 10三角形的三边长 a，b，c 满足 2ab=（a+b）2c2，则此三角形是（）A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D等边三角形 二选择题（共 10 小题）11直角三角形斜边长是 5，一直角边的长是 3，则此直角三角形的面积为 12在 RtABC中，ACB=90，AB=5cm，BC=3cm，CDAB于 D，CD=13在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为 1 丈（1 丈=10 尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面 请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是 x 尺，根据题意，可列方程为 14 如图，有一个长为 50cm，宽为 30cm，高为 40cm 的长方体木箱，一根长 70cm的木棍 放入（填“能”或“不能”）15长方体的长、宽、高分别为 8cm，4cm，5cm一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A爬到点 B则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm 16 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为 100cm，15cm 和 10cm，A和 B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到 B点去吃可口的食操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 物，则它所走的最短路线长度为 17如图，已知 CD=6m，AD=8m，ADC=90，BC=24m，AB=26m图中阴影部分的面积=18 如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 S1=9，S2=4，S3=8，S4=10，则 S=19 边长为 7，24，25 的ABC内有一点 P 到三边距离相等，则这个距离为 20一个三角形的三边的比是 3：4：5，它的周长是 36，则它的面积是 三选择题（共 9 小题）21如图，已知四边形 ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积 22如图，已知 AC=4，BC=3，BD=12，AD=13，ACB=90，试求阴影部分的面积 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 23如图，已知ABC中，CDAB于 D，AC=20，BC=15，DB=9，求 AB的长 24已知：如图，在四边形 ABCD中，B=90，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求DAB的度数 25我们把满足方程 x2+y2=z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数（1）请你再写出两组勾股数：（、），（、）；（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果 n 表示大于 1 的整数，x=2n，y=n21，z=n2+1，那么以 x，y，z 为三边的三角形为直径三角形（即 x，y，z 为勾股数），请你加以证明 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 26“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70km/h 如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A处的正前方 30m 的 C处，过了 2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）27如图，一架 2.5 米长的梯子 AB斜靠在竖直的墙 AC上，这时梯子底部 B到墙底端的距离为 0.7 米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部 A沿墙下移 0.4 米到 A1处，问梯子底部 B将外移多少米？28为迎接南博会，要在会场周围的一块四边形空地上种植草坪进行绿化，经测量B=90，AB=7米，BC=24米，CD=15米，AD=20米，求这块四边形草坪 ABCD的面积 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 29如图，圆柱形无盖玻璃容器，高 18cm，底面周长为 60cm，在外侧距下底1cm 的点 C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口 1cm 的 F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度 30如图，ABC为直角，BC长为 3，AB长为 4，AF长为 12，正方形的面积为169，求三角形 AFC的面积 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 20XX年 01 月 17 日 dxzxshuxue 的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一选择题（共 10 小题）1（2016 淮安二模）在ABC中，AB=AC=5，BC=6，D 为 BC中点，则 AD的长为（）A3 B4 C5 D6【分析】先判断出 ADBC，再用勾股定理求解即可【解答】解：AB=AC，点 D 是 BC中点，ADBC，ADB=90，点 D 是 BC中点，BD=BC=3，在 RtADB中，AB=5，AD=4，故选 B【点评】此题是勾股定理题目，主要考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，解本题的是判断出ADB=90 2（2016 集美区模拟）ABC中，A，B，C的对边分别记为 a，b，c，由下列条件不能判定 ABC为直角三角形的是（）AA+B=C BA：B：C=1：2：3 Ca2=c2b2 Da：b：c=3：4：6【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载【解答】解：A、A+B=C，又A+B+C=180，则C=90，是直角三角形；B、A：B：C=1：2：3，又A+B+C=180，则C=90，是直角三角形；C、由 a2=c2b2，得 a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+4262，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形 故选 D【点评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断 3（2016 春 石家庄期末）等腰三角形的腰长为 10，底长为 12，则其底边上的高为（）A13 B8 C25 D64【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为 x，根据勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8 故选 B 【点评】本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度 4（2016 春 沧州期末）RtABC中，斜边 BC=2，则 AB2+AC2+BC2的值为（）A8 B4 C6 D无法计算【分析】利用勾股定理将 AB2+AC2转化为 BC2，再求值【解答】解：RtABC中，BC为斜边，AB2+AC2=BC2，AB2+AC2+BC2=2BC2=222=8 故选 A 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载【点评】本题考查了勾股定理正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键 5（2016 春 平南县期末）如图，已知两正方形的面积分别是 25 和 169，则字母B所代表的正方形的面积是（）A12 B13 C144 D194【分析】结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母 B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差【解答】解：字母 B所代表的正方形的面积=16925=144 故选 C【点评】熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积 6（2016 春 赵县期末）已知一直角三角形的木板，三边的平方和为 1800cm2，则斜边长为（）A30cm B80cm C90cm D120cm【分析】先求出斜边的平方，进而可得出结论【解答】解：设直角三角形的斜边长为 x，三边的平方和为 1800cm2，x2=900cm2，解得 x=30cm 故选 A【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 7（2016 春 谷城县期末）ABC 中，边 AB=15，AC=13，高 AD=12，则ABC的周长是（）A42 B32 C42 或 32 D不能确定 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当ABC为锐角三角形时，在 RtABD和 RtACD中，运用勾股定理可将BD和 CD的长求出，两者相加即为 BC的长，从而可将ABC的周长求出；（2）当ABC为钝角三角形时，在 RtABD和 RtACD中，运用勾股定理可将BD和 CD的长求出，两者相减即为 BC的长，从而可将ABC的周长求出【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当ABC为锐角三角形时，在 RtABD中，BD=9，在 RtACD中，CD=5 BC=5+9=14 ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当ABC为钝角三角形时，在 RtABD中，BD=9，在 RtACD中，CD=5，BC=95=4 ABC的周长为：15+13+4=32 当ABC为锐角三角形时，ABC的周长为 42；当ABC为钝角三角形时，ABC的周长为 32 综上所述，ABC的周长是 42 或 32 故选：C 【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 8（2016 春 饶平县期末）下列说法正确的是（）A已知 a、b、c 是三角形的三边长，则 a2+b2=c2 B在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C在 RtABC中，C=90，a、b、c 分别是A，B，C的对边，则 a2+b2=c2 D在 RtABC中，B=90，a、b、c 分别是A，B，C的对边，则 a2+b2=c2【分析】根据勾股定理进行判断即可【解答】解：A、若该三角形不是直接三角形，则等式 a2+b2=c2不成立，故本选项错误；B、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，故本选项错误；C、在 RtABC中，C=90，a、b、c 分别是A，B，C的对边，则 a2+b2=c2，故本选项正确；D、在 RtABC中，B=90，a、b、c 分别是A，B，C的对边，则 c2+a2=b2，故本选项错误；故选：C【点评】本题考查了勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 9（2016 春 阿荣旗期末）已知，如图长方形 ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B与点 D 重合，折痕为 EF，则ABE的面积为（）A3cm2 B4cm2 C6cm2 D12cm2【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角ABE中，利用勾股定理就可以求解【解答】解：将此长方形折叠，使点 B与点 D 重合，BE=ED AD=9cm=AE+DE=AE+BE 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 BE=9 AE，根据勾股定理可知 AB2+AE2=BE2 解得 AE=4 ABE的面积为 342=6故选 C【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 10（2016 春 定州市期中）三角形的三边长 a，b，c 满足 2ab=（a+b）2c2，则此三角形是（）A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D等边三角形【分析】对原式进行化简，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状【解答】解：原式可化为 a2+b2=c2，此三角形是直角三角形 故选：C【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形 ABC 的三边满足a2+b2=c2，则三角形 ABC是直角三角形 二选择题（共 10 小题）11（2016 甘孜州）直角三角形斜边长是 5，一直角边的长是 3，则此直角三角形的面积为 6 【分析】根据直角三角形的斜边与一条直角边，可利用勾股定理求出另一条直角边的长度，再根据三角形的面积公式求出面积即可【解答】解：直角三角形斜边长是 5，一直角边的长是 3，另一直角边长为=4 该直角三角形的面积 S=34=6 故答案为：6【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的面积公式，解题的关键是根据勾股定理求出另一条直角边的长度本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 根据勾股定理找出直角三角形的三边关系是关键 12（2016 黔东南州一模）在 RtABC中，ACB=90，AB=5cm，BC=3cm，CDAB于 D，CD=cm 【分析】先根据勾股定理求出直角边 AC的长度，再利用三角形的面积即可求出CD的长【解答】解：在 RtABC中，ACB=90，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm SABC=ACCB=ABCD，43=5CD，CD=cm 故答案为cm 【点评】此题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 利用直角三角形面积的两种不同表示方法是解题的关键 13（2016 平谷区一模）在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为 1 丈（1 丈=10 尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是 x 尺，根据题意，可列方程为 x2+52=（x+1）2 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 【分析】首先设水池的深度为 x 尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程 x2+52=（x+1）2，再解即可【解答】解：设水池的深度为 x 尺，由题意得：x2+52=（x+1）2，解得：x=12，则 x+1=13，答：水深 12 尺，芦苇长 13 尺，故答案为：x2+52=（x+1）2【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用 14（2016 黔东南州一模）如图，有一个长为 50cm，宽为 30cm，高为 40cm 的长方体木箱，一根长 70cm 的木棍 能 放入（填“能”或“不能”）【分析】在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较【解答】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是 xcm，根据题意，得 x2=502+402+302=5000，702=4900，因为 49005000，所以能放进去 故答案是：能 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 【点评】本题考查了勾股定理的应用 解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度 15（2016 富阳市模拟）长方体的长、宽、高分别为 8cm，4cm，5cm一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm 【分析】蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径【解答】解：如图所示，路径一：AB=13；路径二：AB=；路径三：AB=；13，操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 cm 为最短路径【点评】此题关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度 16（2016 罗平县校级模拟）如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为 100cm，15cm 和 10cm，A和 B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到 B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 125cm 【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算 AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度【解答】解：展开图为：则 AC=100cm，BC=153+103=75cm，在 RtABC中，AB=125cm 所以蚂蚁所走的最短路线长度为 125cm 故答案为：125cm【点评】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键 17（2016 秋 宜宾期末）如图，已知 CD=6m，AD=8m，ADC=90，BC=24m，AB=26m图中阴影部分的面积=96m2 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 【分析】先根据勾股定理求出 AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出ACB为直角三角形，再根据 S阴影=ACBCADCD即可得出结论【解答】解：在 RtADC中，CD=6m，AD=8m，ADC=90，BC=24m，AB=26m，AC2=AD2+CD2=82+62=100，AC=10m，（取正值）在ABC中，AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676 AC2+BC2=AB2，ACB为直角三角形，ACB=90 S阴影=ACBCADCD=102486=96（m2）故答案是：96m2【点评】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出 AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出ACB为直角三角形 18（2016 春 建昌县期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 S1=9，S2=4，S3=8，S4=10，则 S=31 【分析】利用勾股定理，根据图形得到 S1+S2+S3+S4=S，求出即可【解答】解：所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 S=S1+S2+S3+S4=9+4+8+10=31，故答案为：31【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键 19（2016 春 通川区期末）边长为 7，24，25 的ABC内有一点 P 到三边距离相等，则这个距离为 3 【分析】首先根据三边长确定三角形是直角三角形，再根据题意画出图形，连接AP，BP，CP，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长【解答】解：72+242=252，ABC是直角三角形，根据题意画图，如图所示：连接 AP，BP，CP 设 PE=PF=PG=x，SABC=ABCB=84，SABC=ABx+ACx+BCx=（AB+BC+AC）x=56x=28x，则 28x=84，x=3 故答案为：3 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形的面积 注意构造辅助线，则直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算，即两条直角边乘积的一半；二是等于三个小三角形的面积和，即（AB+AC+BC）x，然后即可计算 x 的值 20（2016 春 云梦县期末）一个三角形的三边的比是 3：4：5，它的周长是 36，则它的面积是 54 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：设三角形的三边是 3x：4x：5x，（3x）2+（4x）2=（5x）2，此三角形是直角三角形，它的周长是 36，3x+4x+5x=36，3x=9，4x=12，三角形的面积=912=54，故答案为：54【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键 三选择题（共 9 小题）21（2016 春 沧州期末）如图，已知四边形 ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积【分析】连接 AC，在直角三角形 ABC中，由 AB及 BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由 AD及 CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形 ACD为直角三角形，根据四边形 ABCD的面积=直角三角形 ABC的面积+直角三角形 ACD的面积，即可求出四边形的面积【解答】解：连接 AC，如图所示：B=90，ABC为直角三角形，操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 又AB=3，BC=4，根据勾股定理得：AC=5，又CD=12，AD=13，AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，CD2+AC2=AD2，ACD为直角三角形，ACD=90，则 S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=34+512=36 故四边形 ABCD的面积是 36【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键 22（2016 春 滨州期末）如图，已知 AC=4，BC=3，BD=12，AD=13，ACB=90，试求阴影部分的面积 【分析】先利用勾股定理求出 AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出ABD是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积【解答】解：连接 AB，ACB=90，AB=5，AD=13，BD=12，AB2+BD2=AD2，ABD为直角三角形，阴影部分的面积=ABBDACBC=306=24 答：阴影部分的面积是 24 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 【点评】此题考查了勾股定理勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形 ABD为直角三角形 23（2016 春 启东市期末）如图，已知ABC中，CDAB于 D，AC=20，BC=15，DB=9，求 AB的长 【分析】在 RtBCD中，根据勾股定理求出 CD的长，在 RtACD中根据勾股定理求出 AD的长，故可得出 AB的长【解答】解：CDAB于 D，AC=20，BC=15，DB=9，在 RtBCD中，CD2=CB2DB2=15292=144；在 RtACD中，AD2=AC2CD2=202144=256，AD=16，AB=AD+DB=16+9=25【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 24（2016 春 西城区期末）已知：如图，在四边形 ABCD中，B=90，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求DAB的度数 【分析】由于B=90，AB=BC=2，利用勾股定理可求 AC，并可求BAC=45，而CD=3，DA=1，易得 AC2+DA2=CD2，可证ACD是直角三角形，于是有CAD=90，操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 从而易求BAD【解答】解：B=90，AB=BC=2，AC=2，BAC=45，又CD=3，DA=1，AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，AC2+DA2=CD2，ACD是直角三角形，CAD=90，DAB=45+90=135 故DAB的度数为 135 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理解题的关键是连接 AC，并证明ACD是直角三角形 25（2016 春 柳州期末）我们把满足方程 x2+y2=z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数（1）请你再写出两组勾股数：（6、8、10），（9、12、15）；（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果 n 表示大于 1 的整数，x=2n，y=n21，z=n2+1，那么以 x，y，z 为三边的三角形为直径三角形（即 x，y，z 为勾股数），请你加以证明【分析】（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，可得答案；（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案【解答】解：（1）写出两组勾股数：（6，8，10），（9，12，15）（2）证明：x2+y2=（2n）2+（n21）2=4n2+n42n2+1=n4+2n2+1=（n2+1）2=z2，即 x，y，z 为勾股数 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 故答案为：6，8，10；9，12，15【点评】本题考查了勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数 26（2016 春 自贡期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70km/h 如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A处的正前方 30m 的 C 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求 BC的距离，直角三角形 ABC中，有斜边 AB的长，有直角边 AC的长，那么 BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s 行驶的路程为 BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了【解答】解：在 RtABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）小汽车的速度为 v=20（m/s）=203.6（km/h）=72（km/h）；72（km/h）70（km/h）；这辆小汽车超速行驶 答：这辆小汽车超速了【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决要注意题目中单位的统一 27（2016 春 谷城县期末）如图，一架 2.5 米长的梯子 AB斜靠在竖直的墙 AC上，这时梯子底部 B到墙底端的距离为 0.7 米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部 A沿墙下移 0.4 米到 A1处，问梯子底部 B将外移多少米？操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 【分析】在直角三角形 ABC中，已知 AB，BC根据勾股定理即可求 AC的长度，根据 AC=AA1+CA1即可求得 CA1的长度，在直角三角形A1B2C中，已知 AB=A1B2，CA1即可求得 CB2的长度，根据 BB1=CB1CB即可求得 BB2的长度【解答】解：在直角ABC中，已知 AB=2.5m，BC=0.7m，则 AC=m=2.4m，AC=AA1+CA1 CA1=2m，在直角A1B2C中，AB=A1B1，且 A1B2为斜边，CB2=1.5m，BB2=CB1CB=1.5m0.7m=0.8m，答：梯子底部 B将外移 0.8 米【点评】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求 CB2的长度是解题的关键 28（2016 春 官渡区期末）为迎接南博会，要在会场周围的一块四边形空地上种植草坪进行绿化，经测量B=90，AB=7米，BC=24米，CD=15米，AD=20米，求这块四边形草坪 ABCD的面积 【分析】连接 AC首先根据勾股定理求得 AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得D=90，由题意可知四边形 ABCD的面积等于两个直角三角形的面积问题的操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 解【解答】解：连接 AC，如图所示：在 RtABC中，AC2=AB2+BC2=72+242=625，AC0，AC=25，在CAD中，AD2+CD2=400+225=625=AC2AD2+CD2=AC2 ADC=90，S四边形ABCD=SBAC+SADC=ABBC+ADDC，=247+1520=84+150=234，答：这块四边形草坪 ABCD的面积是 234 米2 【点评】考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单 29（2016 春 澄城县期末）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高 18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底 1cm 的点 C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口 1cm 的 F 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度 【分析】要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，首先要把两个点展开到一个平面内，然后分析展开图形中的数据，根据勾股定理即可求解【解答】解：将曲面沿 AB展开，如图所示，过 C作 CEAB于 E，在 RtCEF中，CEF=90，EF=18 11=16（cm），CE=60=30（cm），操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 由勾股定理，得 CF=34（cm）答：蜘蛛所走的最短路线是 34cm 【点评】由于蜘蛛与苍绳均属于玻璃容器的外侧，因而蜘蛛不能直接到达点 F，需沿侧面爬行为此，可将曲面沿 AB展开，显然蜘蛛所走的最短的路线即为线段 CF，从而可构造直角三角形，用勾股定理求出 CF的长 四解答题（共 1 小题）30（2016 秋 江都区期中）如图，ABC为直角，BC长为 3，AB长为 4，AF长为 12，正方形的面积为 169，求三角形 AFC的面积 【分析】先利用勾股定理求出 AC的平方，再由正方形的面积为 169，得出 FC的平方为 169，利用勾股定理的逆定理得出FAC是直角，再利用三角形的面积公式即可求出三角形 AFC的面积【解答】解：ABC为直角，BC长为 3，AB长为 4，AC2=AB2+BC2=16+9=25，正方形的面积为 169，FC2=169，AF2+AC2=144+25=169=FC2，FAC=90，三角形 AFC的面积=AFAC=125=30【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正方形的面积，三角形的面操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要学习必备 欢迎下载 积，利用勾股定理的逆定理得出FAC是直角是解题的关键 操的奸诈孔明的机智周瑜的狭隘都在各自的语言中得到充分体现罗贯中原因是袁绍不听许攸袭击许昌的建议反而认为许攸是奸细致使许攸投奔退司马懿诸葛亮为了执法严明只得挥泪斩马谡三国演义中东吴屡次讨要