2023年导数及其应用知识点总结归纳经典习题集.pdf
名师总结 优秀知识点 导数及其应用 1、函数的平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212 注 1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导 函 数 的 概 念:函 数在0 xx 处 的 瞬 时 变 化 率 是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处 的 导 数，记 作或，即=.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4 导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。5、常见的函数导数和积分公式 函数 导函数 不定积分 yc y 0 nyx*nN 1nynx 11nnxx dxn xya0,1aa lnxyaa lnxxaa dxa xye xye xxe dxe logayx0,1,0aax 1lnyxa lnyx 1yx 1lndxxx sinyx cosyx cossinxdxx cosyx sinyx sincosxdxx )(xfy xxfxxfxyxx)()(limlim0000)(xfy 0 x)(xfy 0 x)(0 xf0|xxy)(0 xfxxfxxfxyxx)()(limlim0000名师总结 优秀知识点 6、常见的导数和定积分运算公式:若 f x，g x均可导（可积），则有：和差的导数运算()()()()f xg xfxg x 积的导数运算()()()()()()f xg xfx g xf x g x 特别地：CfxCfx 商的导数运算 2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x 特别地：21()gxg xgx 复合函数的导数 xuxyyu 微积分基本定理 baf x dx （其 中 Fxf x）和差的积分运算 特别地：积分的区间可加性 7.用导数求函数单调区间的步骤:求函数 f(x)的导数()fx令()fx0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间.令()fx0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。8.求可导函数 f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2)求函数 f(x)的导数()fx(3)求方程()fx=0 的根(4)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值 9.利用导数求函数的最值的步骤:求)(xf在 ba,上的最大值与最小值的步骤如下：求)(xf在 ba,上的极值；将)(xf的各极值与(),()f af b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；1212()()()()bbbaaaf xf x dxf x dxf x dx()()()bbaakf x dxkf x dx k为常数()()()()bcbaacf x dxf x dxf x dxacb 其中处的导数记作或即函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率函数的导运算公式若均可导可积则有和差的导数运算积的导数运算特别地商的导是递增区间令解不等式得的范围就是递减区间注求单调区间之前一定要名师总结 优秀知识点 10求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限 （“以直代曲”的思想）11.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 1 abdxba1 性质 5 若 baxxf,0)(，则0)(badxxf 推广：1212()()()()()()bbbbmmaaaaf xfxfx dxf x dxfx dxfx 推广:121()()()()kbccbaaccf x dxf x dxf x dxf x dx 12定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.(l）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x 轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积 13物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。课后练习题：1.已知函数 f(x)=ax2c,且(1)f=2,则 a 的值为 （）A.1 B.2 C.1 D.0 2.已知函数()f x在1x 处的导数为 3，则()f x的解析式可能为 （）A(x-1)3+3(x-1)B2(x-1)2 C2(x-1)Dx-1 3.已 知 函 数()f x在1x 处 的 导 数 为 1，则 0(1)(1)3limxfxfxx=()A3 B23 C 13 D32 处的导数记作或即函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率函数的导运算公式若均可导可积则有和差的导数运算积的导数运算特别地商的导是递增区间令解不等式得的范围就是递减区间注求单调区间之前一定要名师总结 优秀知识点 4.函数 y=(2x1)3在 x=0 处的导数是 （）A.0 B.1 C.3 D.6 5函数)0,4(2cos在点xy 处的切线方程是 （）A024yx B024yx C024yx D024yx 6.曲线3cos(0)2yxx 与坐标轴围成的面积是 （）A.4 B.52 C.3 D.2 7一质点做直线运动,由始点起经过 ts 后的距离为 s=41t4-4t3+16t2,则速度为零的时刻是 （）A.4s末 B.8s 末 C.0s与 8s 末 D.0s,4s,8s 末 8.8 函数313yxx 有 （）A.极小值-1，极大值 1 B.极小值-2，极大值 3 C.极小值-1，极大值 3 D.极小值-2，极大值 2 9.已知自由下落物体的速度为 V=gt，则物体从 t=0 到 t0所走过的路程为（）A 2012gt B20gt C 2013gt D2014gt 10如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长 6cm，则力所做的功为 （）A0.28J B0.12J C0.26J D0.18J 二、填空题(共 5 小题，每小题 5 分,共 25 分)11函数32yxxx的单调区间为_。12设函数32()2fxxaxx,(1)f=9,则a _.13.物体的运动方程是 s=31t32t25,则物体在 t=3 时的瞬时速度为_.14.有一长为 16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.15220(3)10,xk dxk则 ,831xdx_.三、解答题 16计算下列定积分。处的导数记作或即函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率函数的导运算公式若均可导可积则有和差的导数运算积的导数运算特别地商的导是递增区间令解不等式得的范围就是递减区间注求单调区间之前一定要名师总结 优秀知识点（1）34|2|xdx （2）1211edxx 17.求221()ln1xf xx的单调递增区间。18.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到 100 人的团体，每人 收费 1000 元。如果团体的人数超过 100 人，那么每超过 1 人，每人平均收费降低 5 元，但团体人数不能超过 180 人，如何组团可使旅行社的收费最多?(不到100 人不组团)19 物体 A以速度231vt在一直线上运动，在此直线上与物体 A出发的同时，物体 B在物体 A的正前方 5m处以10vt的速度与 A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体 A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）参考答案：处的导数记作或即函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率函数的导运算公式若均可导可积则有和差的导数运算积的导数运算特别地商的导是递增区间令解不等式得的范围就是递减区间注求单调区间之前一定要名师总结 优秀知识点 一 选择题：1-5：AABDD 6-10：CDCAD 二 11.递增区间为：（-，13），（1，+）递减区间为（13，1）（注：递增区间不能写成：（-，13）（1，+）12.6 13.3 14.16 15.1，454 三 16.解：(1)34|2|xdx=234222xdxxdx（）（）=2241(2)|2xx+2321(2)|2xx=292 (2)原式=12ln(1)|ex=lnln1e=1 17.解：由函数的定义域可知，210 x 即11x 又222211()lnln(1)ln(1)12xf xxxx 所以2222122()()2 1111xxxxfxxxxx 令()0fx，得1x 或01x 综上所述，()f x的单调递增区间为（0，1）18解：设参加旅游的人数为 x，旅游团收费为 y 则依题意有 ()f x=1000 x-5（x-100）x （100 x180）令()1500100fxx 得 x=150 又(100)100000f，(150)112500f，(180)108000f 处的导数记作或即函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率函数的导运算公式若均可导可积则有和差的导数运算积的导数运算特别地商的导是递增区间令解不等式得的范围就是递减区间注求单调区间之前一定要名师总结 优秀知识点 所以当参加人数为 150 人时，旅游团的收费最高，可达 112500 元。19.设 A 追上 B 时,所用的时间为0t依题意有 B5ASS 即00200(31)105tttdxtdx 3200055ttt 22000(1)5(1)t tt 0t=5(s)所以 AS=2055t=130 (m)处的导数记作或即函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率函数的导运算公式若均可导可积则有和差的导数运算积的导数运算特别地商的导是递增区间令解不等式得的范围就是递减区间注求单调区间之前一定要
