2023年北师版九年级下册第三章圆知识点总结归纳及习题.pdf

学习必备 精品知识点 九年级下册第三章 圆【知识梳理】一、圆的认识 1.圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点 O叫做圆心；线段 OA叫做半径；以点 O为圆心的圆，记作O，读作“圆 O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2、与圆相关的概念 弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以 CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧 CD”或“弧 CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.学习必备 精品知识点 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.3、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则 点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。二.圆的对称性:1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。2、圆是中心对称图形，对称中心为圆心 3、定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。三.圆周角和圆心角的关系:1.1 的弧的概念:把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1的圆心角,相应的整个圆也被等分成 360 份,每一份同样的弧叫 1弧.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成 AOB=,这是错误的.3.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.4.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；推论 3：圆内接四边形的对角互补。圆周角的三种情况：读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 四.确定圆的条件:1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2.经过三点作圆要分两种情况:(1)经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.五.直线与圆的位置关系 1.直线和圆相交、相切相离 设O的半径为 r，圆心 O到直线的距离为 d；dr 直线 L和O相交.两个公共点 d=r 直线 L和O相切.惟一公共点，惟一的公共点做切点.dr 直线 L和O相离.没有公共点 外接圆 rdd=rdr读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 相离 相切 相交 2.切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.3.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线;过切点;过圆心.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两切线长相等 即：PA、PB是的两条切线 PAPB PO平分BPA 4.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线:连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.六.圆和圆的位置关系.1.外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)外离（图 1）无交点 dRr；外切（图 2）有一个交点 dRr；相交（图 3）有两个交点 RrdRr ；(Rr)内切（图 4）有一个交点 dRr；(Rr)内含（图 5）无交点 dRr；(Rr)图1rRd图3rRd图2rRd图4rRd图5rRd内切圆 PBAO读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 2.相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.3.相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.七.弧长及扇形的面积 1.圆周长公式:圆周长 C=2R(R 表示圆的半径)2.弧长公式:弧长180Rnl(R 表示圆的半径,n 表示弧所对的圆心角的度数)3.扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4.弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5.圆的面积公式：圆的面积2RS(R 表示圆的半径)6.扇形的面积公式:扇形的面积3602RnS扇形=lR21(R 表示圆的半径,n 表示弧所对的圆心角的度数，l表示弧长)弓形的面积公式:(1)当弓形所含的弧是劣弧时,三角形扇形弓形SSS(2)当弓形所含的弧是优弧时,三角形扇形弓形SSS(3)当弓形所含的弧是半圆时,扇形弓形SRS221 八.圆锥的有关概念:1.圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成 的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.2.圆锥的侧面展开图与侧面积计算:OCACAOA读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为 r,侧面母线长(扇形半径)是 l,底面圆周长(扇形弧长)为 c,那么它的侧面积是:rlrlclS22121侧 )(2lrrrrlSSS底面侧表 圆锥的体积：213Vr h 圆柱：（1）圆柱侧面展开图 2SSS侧表底=222rhr （2）圆柱的体积：2Vr h*九.与圆有关的辅助线 1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.*十.圆内接四边形 若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理 1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。如图 6，PA，PB分别切O于 A、B PA=PB，PO平分APB 2弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。_ 图 6 _ P_ O _ B_ AB1RrCBAO读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。如图 7，CD切O于 C，则，ACD=B 3和圆有关的比例线段：相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。如图 8，AP PB=CP PD 如图 9，若 CD AB于 P，AB为O直径，则 CP2=AP PB 4切割线定理 切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图 10，PT切O于 T，PA是割线，点 A、B是它与O的交点，则 PT2=PA PB PA、PC是O的两条割线，则 PD PC=PB PA 5两圆连心线的性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。如图 11，O1与O2交于 A、B两点，则连心线 O1O2AB且 AC=BC。6两圆的公切线 两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。如图 12，AB分别切O1与O2于 A、B，连结 O1A，O2B，过 O2作 O2CO1A于 C，公切线长为l，两圆的圆心距为d，半径分别为R，r则外公切线长：22)(rRdL 如图 13，AB分别切O1与O2于 A、B，O2CAB，O2CO1C于 C，O1半径为 R，O2半径为 r，则内公切线长：22)(rRdL _ P _ A _ B _ C _ D _ O _ 图 10 _ B _ D _ C _ O _ A _ T _ P _ O _ B _ D _ P _ A _ C 图 8 _ O _ A _ B 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 ODCBA 3.1 圆的认识 1、（1）下列命题：直径是弦；半径确定了，圆就确定了；半圆是弧，弧不一定是半圆；长度相等的弧是等弧；弦是直径。其中错误的说法有_个。（2）如何在操场上画一个半径是 5m 的圆？说出你的理由。（3）如图，在O 中，直径是_，弦有_，劣弧有_，优弧有_ _ 2、判断：直径是弦，弦是直径（）半圆是弧，弧是半圆（）优弧一定大于劣弧（）半径相等的圆是等圆（）3、O 的半径为 5，圆心 O 的坐标为 O（0，0），点 A的坐标为 A（4，2）则点 A与O 的位置关系是（）A.点 A在O 内 B.点 A在O 上 C.点 A在O 外 D.点 A在O 内或在O 上 4、如图，一根绳子长 4 m，一端拴着一只羊，另一端拴在 _ O _ 2 _ d _ C _ R _ r _ A _ B _ O _ 1 _ 图 13 _ 图 11 _ B _ C _ A _ O _ 2 _ O _ 1 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 墙 BC边 A处的柱子上，请画出羊的活动区域 5、如图，已知在同心圆 O 中，大圆的弦 AB交小圆于 C、D两点求证：AOCBOD 32 圆的对称性（一）1.若O 的直径为 10 厘米，弦 AB的弦心距为 3 厘米，则弦 AB的长为_ 2.已知O 的半径为 8cm，OP=5cm，则在过点 P的所有弦中，最短的弦长为_ 最长的弦长为_ 3.已知O 的半径为 5cm，则垂直平分半径的弦长为_ 4.已知圆的两弦 AB、CD的长分别是 18 和 24，且 ABCD，又两弦之间的距离为 3，则圆的半径长是（）A.12 B.15 C.12或 15 D.21 5.如图，直径为 1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度 AB 为800mm，求水的最大深度 CD 32 圆的对称性（二）1.在O 中，60的圆心角所对的弦长为 5cm，则这个圆的半径为_ A B D C O 800 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。过圆内一点（非圆心），最长弦为直径，最短弦是和这条直径垂直且过该点的弦 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 2.若O 的弦 AB的长为 8cm，O 到 AB的距离为4 3cm，弦 AB所对的圆心角为_ 3.下列结论中正确的是（）A.长度相等的两条弧相等 B.相等的圆心角所对的弧相等 C.圆是轴对称图形 D.平分弦的直径垂直于弦 4.如图，三点 A、B、C在O 上（1）已知：ABC=ACB，求证：AB=AC；（2）已知：AB=AC，求证：ABC=ACB 33 圆周角和圆心角的关系（一）1.如图，点 A、B、C在O 上（1）若AOB=70，则ACB=_；（2）若ACB=40，则AOB=_ 2.如图，O 的直径 AB和弦 CD的延长线相交于点 P，AOC=64，BOD=16，则APC的度数为_ 3.如图，O 的直径 AD=6，BAC=30，则弦 BC的长为（）A.3 B.3 3 C.6 D.2 3 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 （第 1 题）（第 2 题）（第 3 题）4.在同圆或等圆中，同一弦所对的两个圆周角（）A.相等 B.互补 C.互余 D.相等或互补 33 圆周角和圆心角的关系（二）1.如图，O 的弦 AB，CD 相交于点 E，AC所对的圆心角是 100，弧 BD 所对的圆心角是 50则AEC=_ 2.下列命题中，顶点在圆上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；90的圆周角所对的弦是直径；直径所对的角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等正确的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4 个 34 确定圆的条件 1._的三个点确定一个圆 2.锐角三角形的外心位于三角形的_，直角三角形的外心在_，钝角三角形的外心位于三角形 的_ 3.等腰直角三角形外接圆半径为 3，则这个三角形三边的长为_ 4.直角三角形两条直角边长为 6 和 8，则外接圆面积为_ 5.下列四个命题中，直径是弦；经过三点可以作圆；三角形的外心到各顶点的距离都相等；钝角三角形的外心在三角形的外部.正确的有 （）A.个 B.2个 C.3个 D.4 个 6.如图，以O 的半径 OA为直径作D，O 的弦 AB与D 相交于点 C，已知 AB=20，求 AC的长 推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 35 直线和圆的位置关系（一）1.在 RtABC中，C=Rt，AB=5cm，BC=3cm，以 A 为圆心，4cm 为半径作圆，则：（1）直线 BC与A的 位置关系是_；（2）直线 AC与A的位置关系是_（3）以 C为圆心，半径为_的 圆与直线 AB相切 2.半径等于 3 的P与 x 轴相切，且 OP与 x 轴正半轴的夹角为 30，则点 P的坐标为_ 3.如果直线 l 与O 有公共点，那么直线 l与O 的位置关系是 （）A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 35 直线和圆的位置关系（二）1.如图，O 是 RtABC的内切圆，D、E、F分别是切点，ACB=90，BOC=115，则A=_，ABC=_ 2.如图，I是 RtABC的内切圆，D、E、F分别是切点，ACB=90，AB=5cm，BC=4cm，则I的半径 IE的长为_ 3.如图，直线 l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路距离相等，则可选择的地址有 （）A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 （第 1 题）F A D E C B O l1 l3 l2 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 4.如图，已知 AB是O 的直径，BC是O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD求证：DC是O 的切线 36 圆和圆的位置关系 1.奥运五环图中，红环与绿环的位置关系是_，红环与黑环的位置关系是_ 2.已知两圆的半径分别是 2，3，圆心距是 d，若两圆有公共点，则下列结论正确的是（）A.d1 B.d5 C.1d5 D.1d5 3.半径分别为 1 和 2 的两个圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为 3 的圆的个数有（）A.1个 B.3 个 C.5个 D.6 个 4两圆相切，圆心距为 9 cm，已知其中一圆半径为 5 cm，另一圆半径为_.5两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为 6，则两圆围成的环形面积为_。6.如图，O1和O 内切于点 A，AB为O 的直径，点 O1在 OA上，O 的弦 BC切O1于点 D，两圆的半径 R=4，r=3（1）求 BD的长（2）求 CD的长 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 3.7 切线长定理：1如图，I是ABC的内切圆，切点分别为点 D、E、F，若DEF=52o，则A的度为_ 1 题图 2 题图 3 题图 2如图，一圆内切于四边形 ABCD，且 AB=16，CD=10，则四边形 ABCD的周长为_ 3如图，已知O 是ABC的内切圆，BAC=50o，则BOC为_度 4.如图，AE、AD、BC分别切O 于点 E、D、F，若 AD=20，求ABC的周长 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两切线长相等 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 5已知：如图，O 内切于ABC，BOC=105，ACB=90，AB=20cm求 BC、AC的长 6已知：如图，ABC三边 BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆 O 的半径长为 r求ABC的面积 S 3.8 圆内接正多边形 1、（1）都在同一个圆上的正多边形叫做 ，这个圆叫做该正多边形的 。(2)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 ，外接圆的半径叫做正多边形的 ，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ，正 n 边形的中心角是 ，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 。读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 2、正六边形的边心距为 2，则该正六边形的边长是 。3、中心角为 30 度的圆内接正 n 边形的 n 为 。6、如图，正五边形 ABCDE 内接于O，点 F在劣弧 AB上，求CFD的大小 39 弧长及扇形的面积 1.如图，当半径为 30cm 的转动轮转过 120 的角时，传送带上的物体 A平移的距离为_cm 弧长公式:弧长180Rnl 3602RnS扇形=lR21 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 2.水平放置的一个水管的截面半径为 10 厘米，其中有水部分的水面宽10 3厘米求截面上有水部分的面积 3.如图，AB是半O 的直径，C、D是半圆的三等分点，半圆的半径为 R（1）CD与 AB平行吗？为什么？（2）求阴影部分的面积 4.如图，O1和O2外切于点 C，并且分别与O 内切于 A、B，若O 的半径为 3，O1和O2的半径都为 1求阴影部分的面积和周界长 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 38 圆锥的侧面积 1.粮仓的顶部是一个底面直径为 4m，母线长为 3m 的圆锥，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为 （）A.6m2 B.6m2 C.12m2 D.12m2 2.用铁皮做一个圆锥形的烟囱帽（图中上部），它的底面直径是 80cm，高是 30cm，不计加工余料，求需用 铁皮的面积 3.如图，在半径为 40 米的圆形广场中央点 O 的上空安装了一个照明光源 S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面（经过圆锥的轴的截面）ASB的顶角为 60，求光源离地面的高度 SO（精确到 0.1 米）rlrlclS22121侧 )(2lrrrrlSSS底面侧表 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 4.如图，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若滚珠轴承的内外半径 分别为 6cm 和 8cm，那么该轴承内最多能放_颗半径为 1cm 的滚珠 5.如图，在正方形纸板上剪下一个扇形和圆，围成一个圆锥模型，设围成的圆锥底 面半径为 r，母线长为 R，则 r 与 R之间的关系为（）A.2Rr B.49Rr C.3Rr D.4Rr 6.如图，A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为 A（1，0），B（3，0），C（0，1）求ABC绕 y 轴旋转一周所得几何体的表面积 7.如图，P与扇形 OAB的半径 OA、OB分别相切于点 C、D，与弧 AB相切于点 E，已知 OA=15cm，AOB=60，求图中阴影部分的面积 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 8.如图，一根木棒（AB）的长为 2 米，斜靠在与地面（OM）垂直的墙壁（ON）上，与地面的倾角为 60，若木棒 A端沿 NO 下滑，B端沿 OM 向右滑行，于是木棒的中点 P也随之运动，已知 A端下滑到 A时，AA=32求中点 P 随之运动的路线有多长 P N M O B A B A P 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 综合练习 一、选择题 1在ABC中，C=90，AB3cm，BC2cm,以点 A为圆心，以 2.5cm 为半径作圆，则点 C和A的位置关系是（）。AC在A 上 C在A 外 CC在A 内 C在A 位置不能确定。2一个点到圆的最大距离为 11cm，最小距离为 5cm,则圆的半径为（）。A16cm 或 6cm 3cm 或 8cm C3cm 8cm 3AB是O 的弦，AOB80则弦 AB所对的圆周角是（）。A40 140或 40 C20 20或 160 4O 是ABC的内心，BOC为 130，则A的度数为（）。A130 60 C70 80 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 5如图 1，O 是ABC的内切圆，切点分别是 D、E、F，已知A=100，C=30，则DFE的度数是（）。A55 60 C65 70 6如图 2，边长为 12 米的正方形池塘的周围是草地，池塘边 A、B、C、D 处各有一棵树，且 AB=BC=CD=3米现用长 4 米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）。A A处 B B处 CC处 DD 处 图 1 图 2 7已知两圆的半径分别是 2 和 4，圆心距是 3，那么这两圆的位置是（）。A内含 内切 C相交 外切 8已知半径为 R和 r 的两个圆相外切。则它的外公切线长为（）。ARr R2+r2 C R+r 2 Rr 9已知圆锥的底面半径为 3，高为 4，则圆锥的侧面积为（）。10 B12 15 20 10如果在一个顶点周围用两个正方形和 n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则 n 的值是（）。A3 B4 C5 D6 11下列语句中不正确的有（）。相等的圆心角所对的弧相等 平分弦的直径垂直于弦 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 长度相等的两条弧是等弧 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 A3 个 2 个 C1 个 4 个 12先作半径为23的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作上述外接圆的外切正六边形，则按以上规律作出的第 8 个外切正六边形的边长为（）。A7)332(8)332(C7)23(8)23(13如图 3，ABC中，C=90，BC=4，AC=3，O 内切于ABC，则阴影部分面积为()A12-12-2 C14-4 6-14如图 4，在ABC 中，BC 4，以点 A为圆心、2 为半径的A与 BC相切于点 D，交 AB于 E，交 AC于 F，点 P 是A上的一点，且EPF 40，则图中阴影部分的面积是（）。A494 B498 C894 D898 15如图 5，圆内接四边形 ABCD的 BA、CD的延长线交于 P，AC、BD交于 E，则图中相似三角形有（）。A2 对 3 对 C4 对 5 对 图 3 图 4 图 5 二、填空题 1两圆相切，圆心距为 9 cm，已知其中一圆半径为 5 cm，另一圆半径为_.2两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为 6，则两圆围成的环形面积为_。3边长为 6 的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为_。读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 4同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为_。5矩形 ABCD中，对角线 AC4，ACB 30，以直线 AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_。6.扇形的圆心角度数 60，面积 6，则扇形的周长为_。7圆的半径为 4cm，弓形弧的度数为 60，则弓形的面积为_。8在半径为 5cm 的圆内有两条平行弦，一条弦长为 6cm，另一条弦长为 8cm，则两条平行弦之间的距离为_。9 如图 6，ABC内接于O，AB=AC，BOC=100，MN 是过 B点而垂直于 OB的直线，则ABM=_，CBN=_；10如图 7，在矩形 ABCD中，已知 AB=8 cm，将矩形绕点 A旋转 90，到达 ABCD的位置，则在转过程 中，边 CD扫过的(阴影部分)面积 S=_。图 6 图 7 三、解答下列各题 1如图，P 是O 外一点，PAB、PCD分别与O 相交于 A、B、C、D。(1)PO 平分BPD；(2)AB=CD；(3)OECD，OFAB；(4)OE=OF。从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明。A B P O E FCD读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 2如图，O1的圆心在O 的圆周上，O 和O1交于 A，B，AC切O 于 A，连结 CB，BD是O 的直径，D40求：A O1B、ACB和CAD的度数。3已知：如图 20，在ABC中，BAC=120，AB=AC，BC=43，以 A为圆心，2 为半径作A，试问：直线 BC与A的关系如何？并证明你的结论。A B C 读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 4如图，ABCD是O 的内接四边形，DPAC，交 BA的延长线于 P，求证：ADDCPABC。5如图ABC中A90，以 AB为直径的O 交 BC于 D，E为 AC边中点，求证：DE是O 的切线。6如图，已知扇形 OACB中，AOB120，弧 AB长为 L4，O和弧 AB、OA、OB分别相切于点 C、D、E，求O 的周长。PABCDO读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 7如图，半径为 2 的正三角形 ABC的中心为 O，过 O 与两个顶点画弧，求这三条弧所围成的阴影部分的面积。8如图，ABC的CRt，BC4，AC3，两个外切的等圆O1，O2各与 AB，AC，BC相切于 F，H，E，G，求两圆的半径。9如图、中，点 E、D分别是正ABC、正四边形 ABCM、正五 边形 ABCMN中以 C点为顶点的相邻两边上的点，且 BE=CD，DB交 AE于 P点。求图中，APD的度数；读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 图 图 图 BMPPEEDDBCBCAANMPEDCA图中，APD的度数为_，图中，APD的度数为_；根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正 n 边形情况若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。一、选择题 1如图，把一个量角器放置在BAC的上面，则BAC的度数是（）（A）30o（B）60o（C）15o（D）20o （第 1 题）（第 2 题）（第 3 题）2如图，实线部分是半径为 9m 的两条等弧组成的游泳池若每条圆弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）（A）12m（B）18m（C）20m（D）24m 3 如图，P(x，y)是以坐标原点为圆心，5 为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有（）（A）4（B）8（C）12（D）16 4用一把带有刻度尺的直角尺，（1）可以画出两条平行的直线 a 和 b，如图；（2）可以画出AOB的OPyx读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 平分线 OP，如图；（3）可以检验工件的凹面是否为半圆，如图；（4）可以量出一个圆的半径，如图这四种说法正确的有（）图 图 图 图 （A）4 个（B）3 个（C）2 个（D）1 个 5如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一幅图案，它是一扇形，其中AOB为 120o，OC 长为 8cm，CA长为 12cm，则阴影部分的面积为（）（A）264 cm（B）2112 cm（C）2114 cm（D）2152 cm （第 5 题）（第 6 题）（第 7 题）6如图，小华从一个圆形场地的 A点出发，沿着与半径 OA夹角为的方向行走，走到场地边缘 B后，再沿与半径 OB夹角为的方向折向行走按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧 AB上，此时AOE 56o，则的度数是（）（A）52o（B）60o（C）72o（D）76o 7小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃片应该是（）（A）第块（B）第块（C）第块（D）第块 8已知圆锥的底面半径为 1cm，母线长为 3cm，则其全面积为（）（A）（B）3（C）4（D）7 二、填空题 9某单位拟建的大门示意图如图所示，上部是一段直径为 10 米的圆弧形，下部是矩形 ABCD，其中 AB读作圆集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点一是圆心即定点二是半径即定长与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任两个端点分圆成两条弧每一条弧叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣学习必备 精品知识点 3.7 米，BC6 米，则弧AD的中点到BC的距离是_米 （第 9 题）（第 10 题）（第 11 题）10如图，一宽为 2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），则该圆的半径为_cm 11如图，1 的正切值等于_ 12一个小熊的头像如图所示图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是其中有一种位置关系没有反映出来请你写出这种位置关系，它是_ （第 12 题）（第 13 题）（第 14 题）13如图，U 型池可以看作一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为 4m 的半圆，其边缘 ABCD20m，点 E在 CD上，CE 2m，一滑板爱好者从 A点滑到 E点，则他滑行的最短距离