2023年北师版八上数学第二章精品讲义.pdf

学习必备 欢迎下载 第二章 实数 1.认识无理数（第 1 课时）一、学生起点分析 通过前一章勾股定理的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：腰长为 1 的等腰直角三角形的底边长不是有理数，两条直角边分别为 1，2 的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数”奠定了必要性 二、教学任务分析 数不够用了 是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章 实数 的第一节 本节内容安排了 2 个课时完成，第 1 课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第 2 课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数本课是第 1 课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数 本节课的教学目标是：通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；能判断三角形的某边长是否为无理数；学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神；能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；三、教学过程设计 第一环节：质疑 内容：【想一想】一个整数的平方一定是整数吗？一个分数的平方一定是分数吗？目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理 效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用 第二环节：课题引入 内容：1【算一算】已知一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？2【剪剪拼拼】把边长为 1 的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题 第三环节：获取新知 内容：【议一议】【释一释】【忆一忆】【找一找】【议一议】：已知22a，请问：a可能是整数吗？a可能是分数吗？学习必备 欢迎下载 【释一释】：释 1满足22a 的a为什么不是整数？释 2满足22a 的a为什么不是分数？【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础 【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段 目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存在，从而激发学习新知的兴趣 效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性 第四环节：应用与巩固 内容：【画一画 1】【画一画 2】【仿一仿】【赛一赛】【画一画 1】：在右 1 的正方形网格中，画出两条线段：1长度是有理数的线段 2 长度不是有理数的线段 【画一画 2】：在右 2 的正方形网格中画出四个三角形 （右 1）2三边长都是有理数 2只有两边长是有理数 3只有一边长是有理数 4 三边长都不是有理数 【仿一仿】：例：在数轴上表示满足220 xx的x 解：（右 2）仿：在数轴上表示满足250 xx的x 【赛一赛】：右 3 是由五个单位正方形组成的纸片，请你把 它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！（右 3）目的：进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上 效果：加深了对“新知”的理解，巩固了本课所学知识 的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 第五环节：课堂小结 内容：1 通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？2客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化 效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结 第六环节：布置作业 习题 2.1 1.认识无理数（第 2 课时）一、学生起点分析 学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力.二、教学任务分析 数不够用了是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章实数的第一节，第一课时让学生感受数的发展，感知生活中确实存在着不同于有理数的数.本课时为第二课时，内容是建立无理数的基本概念，借助计算器，感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义.为此，本节课的教学目标是:1借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.三、教学过程设计 第一环节：新课引入 内容:想一想：1.有理数是如何分类的？整数（如1，0，2，3，)的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 有理数 分数(如31，52，119，0.5，)2.除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数?如圆周率，0.020020002 上节课又了解到一些数，如22a，25b中的a，b不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”.第二个环节：活动与探究 1.探索无理数的小数表示 内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为 2 的正方形的边长a和面积为 5 的正方形的边长b进行估计.请看图，判断下面 3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于 2?说说你的理由.边长a 面积 s 1a2 1s4 1.4a1.5 1.96s2.25 1.41a1.42 1.9881s2.0164 1.414a1.415 1.999396s2.002225 1.4142a1.4143 1.99996164s2.00024449 归纳总结:a是介于 1 和 2 之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为 5 的正方形的边长b的值.目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a=1.41421356，的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 b=2.2360679，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础.2.探索有理数的小数表示，明确无理数的概念 内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像 0.585885888588885，1.41421356，2.2360679 等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率=3.14 159265也是一个无限不循环小数，故是无理数).目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念.第三个环节：知识分类整理 内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.第四个环节：知识运用与巩固 内容：认识一个数是无理数还是有理数.例 1 填空:0.351，4.96，32，3.14159，6，5.2323332，3，1234567891011(由相继的正整数组成).有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数 数 整数 分数 的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 例 2 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数;（）(2)无限小数都是无理数;（）(3)无理数都是无限小数;（）(4)有理数是有限数.（）例 3 以下各正方形的边长是无理数的是（）(A）面积为 25 的正方形；(B）面积为254的正方形；(C）面积为 8 的正方形；(D）面积为 1.44 的正方形.例 4 一个直角三角形两条直角边的长分别是 3 和 5，则斜边a是有理数吗?解:由勾股定理得:22235a ，即2=34a.因为 34 不是完全平方数，所以a不是有理数.强调:1.无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数qp形式（q 0，p，q 为整数且互质），而无理数则不能.练一练：1.课本P23 随堂练习.2.已知：在数43，5，1.42，3.1416，32，0，24，2n(1)，1.424224222 中，（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“”连接.目的：通过例题的讲解、练习，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类.效果：通过学生练习，更加明确了有理数、无理数的概念，及它们之间的区别与联系，激发学生学有理数集合 无理数集合 3 5 a 的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 习兴趣，巩固了对概念的理解.第五个环节：课堂小结 内容：本节课你有哪些收获?1无理数的定义.2你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？3请把已学过的数怎样分类？目的：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成知识体系，培养学生良好的学习习惯，提高其归纳总结能力.效果：师生共同总结补充，形成完整的知识体系.第六个环节：布置作业 2.平方根（第 1 课时）一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生刚学完勾股定理，通过本章第一节的学习，已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能 学生活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力 二、教学任务分析 本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第二章 实数 的第二节 平方根 本的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 节内容计 2 个课时，本节课是第 1 课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性，因此确定本节的教学目标如下：了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质 在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识 让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲 三、教学过程设计 本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置 本节课教学流程为：第一环节：问题情境 方法一：问题导入 内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数比如上一节课我们做过的：由两个边长为 1 的小正方形，通过剪一剪，拼22a，a一拼，得到一个边长为a的大的正方形，那么有 ，2 是有理数，而a是无理数在前面我 们 学 过 若ax 2，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习 方法二：问题导入 内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：2x ，2y ，2z ，2w 目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性 问题情境 初步探究 反馈练习 学习小结 作业布置 深入探究 的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 效果：能表示22x，32y，42z，52w；能求得2z，但不能求得x，y，w的值 说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性相对而言，建议选用方法二 第二环节：初步探究 内容 1：情境引出新概念 22x，32y，42z，52w，已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性 效果：学生可以估算出x，y是 1 到 2 之间的数，w是 2 到 3 之间的数但无法表示x，y，w，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算开方 说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？”内容 2：在上面思考的基础上，明晰概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax 2，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”特别地，我们规定 0 的算术平方根是 0，即00 目的：对算术平方根概念的认识 效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的 内容 3：简单运用 巩固概念 例 1 求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)6449；(4)14 目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如 14 的算术平方根是14 效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，负数没有算术平方根 答案：解：(1)因为900302，所以900的算术平方根是30，即30900；(2)因为112，所以1的算术平方根是1，即11；的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载(3)因为6449)87(2，所以 6449的算术平方根是87，即876449；(4)14的算术平方根是14 内容 4：回解课堂引入问题 22x，32y，52w，那么2x，3y，5w 第三环节：深入探究 内容 1：例 2 自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为29.4 th 有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？目的：用算术平方根的知识解决实际问题 效果：学生多能利用等式的性质将29.4 th 进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解 解：将6.19h代入公式29.4 th，得42t，所以正数24 t(秒)即铁球到达地面需要 2 秒 说明：强调实际问题t是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的 内容 2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点 目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，a的算术平方根a也是一个非负数，负数没有算术平方根这也是算术平方根的性质双重非负性 效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根 第四环节：反馈练习 一、填空题：1若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；29的算术平方根是 ；32)32(的算术平方根是 ；4若22 m，则2)2(m 二、求下列各数的算术平方根：的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 36，144121，15，0.64，410，225，0)65(三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷若绳子的长度为 5.5 米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是 4.5 米，则帐篷支撑竿的高是多少米？二、6；1211；答案：一、17；23；332；416；15；0.8；210；15；1 三、解：由题意得 AC5.5 米，BC4.5米，ABC 90，在RtABC中，由勾股定理得105.45.52222BCACAB(米)所以帐篷支撑竿的高是10米 目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评 第五环节：学习小结 内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的 通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：(1)算术平方根的概念，式子a中的双重非负性：一是a0，二是a0(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0 的算术平方根是 0；负数没有算术平方根(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根 目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质 第六环节：作业布置 习题 2.3 .平方根（第 2 课时）一、学生起点分析 学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”就认识了一种运算“乘方”，并能熟练计算任何一的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 个数的平方知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0 的平方是 0 在八年级上册第二章实数的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根那么这一课时进一步学习平方根本节也为后面学习“立方根”做基础 二、教学任务分析 平方根是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章实数的第二节本节安排了两个课时完成第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导探索类比发现”中发展学习数学的能力为此，本节课的教学目标是 了解平方根、开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力 教学重点是 了解平方根、开平方的概念 了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根 了解平方根与算术平方根的区别与联系 教学难点是 平方根与算术平方根的区别和联系 负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算 三、教学过程设计:本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节 第一环节 复习旧知 引入新知；第二环节 形成概念，辨析概念；第三环节 例题和巩固练习；第四环节 课堂小结；第五环节 思维拓展；第六环节 布置作业 第一环节 复习旧知 引入新知 内容:方法一 复习引入 1什么叫算术平方根?3 的平方等于 9，那么 9 的算术平方根就是 3 52的平方等于 254 ，那么254 的算术平方根就是_52_ 展厅的地面为正方形，其面积 49 平方米，则边长_ 7_ 米 2到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？乘方有没有逆运算?的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 平方与算术平方根之间的关系？已知折叠着的正方形 ABCD 面积为 1，则边长为_1_将它扩展，若面积变为原来的 2 倍，那么它的边长为_2_；若面积变为原来的 3 倍，则边长为_3_；若面积变为原来的n倍，则边长为_n_ 方法二 复习引入 问题 平方等于 9，254，49 的数还有吗？目的:这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识熟悉它们的互化关系并把上节课的思考题制作成 Flash 情景引入，增加动画效果 效果 借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣 说明 数学知识源于生活，并服务于我们的生活这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望 第二环节:新课学习 内容（一）探究新知 填空 32=(9)(3)2=(9)()2=9 02=0 (12)2=(14)214 (不存在)2=4 (12)2=(14)（二）形成概念(1)一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根而把正的平方根叫做a的算术平方根 表达式为:若x2=a，那么x叫做a的平方根 记作 a 例如:(4)2=16，则+4 和4 都是 16 的平方根；即 16 的平方根是4；4 是 16 的算术平方根（三）探索平方与开平方的关系:给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系（四）概念辨析 平方根与算术平方根的联系与区别 联系 1包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种 的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 2只有非负数才有平方根和算术平方根 3 0 的平方根是 0，算术平方根也是 0 区别 1 个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根 2表示法不同：平方根表示为 a ，而算术平方根表示为a 目的 形成“平方根”的概念在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念“平方根”与“算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系 效果 由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概 念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠 说明 平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方 对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握 第三环节 例题和新知巩固（一）例题示范 求下列各数的平方根:(1)64；(2)49121；(3)0.0004；(4)225；(5)11 解（1）2648，648的平方根是，648 即；（2）24949771211211111,的平方根为，49712111 即；（3）20.0004,0.00040.020.02的平方根是，0.00040.02 即；（4）22,252525252的平方根是，22525 即；（5）1111的平方根是 目的 这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达能熟 练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数 效果 通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正 确的符号化语言（二）思考提升 1 25的平方根是 ，81的算术平方根是_，49的平方根是_；2 264 ，25 ，64 ，0.04=_；的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 32a=，20aa当时，（三）巩固练习 1 下列说法正确的是 381是的平方根；25 的平方根是 5；36 的平方根是6；平方根等于 0 的数是 0；64 的平方根是 8 2下列说法不正确的是()(A)0 的平方根是 0 (B)22的平方根是2 (C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 3已知一个自然数的算术平方根是 a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）(A)a+1 (B)1a (C)2a+1 (D)21a 4x为何值，2x有意义？答 因为02x，所以0 x 目的 围绕本节课的重点知识（平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解 效果 学生基本能顺利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达 第四环节 课堂小结 内容 引导学生总结本课时的知识、方法 目的 让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯 效果 在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如 平方根的概念 若2xa，则x叫a的平方根，xa 平方根的个数 正数有 2 个平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根 平方与开方之间的关系；求平方根的方法 求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数 第五环节 提高训练 内容 1.511的小数部分为a，511的小数部分为b，求ab的值 2已知实数a，b满足2496bab 若a，b为ABC的两边，求第三边c的取值范围；若a，b为ABC的两边，第三边c等于 5，求ABC的面积 的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 第六环节 作业布置 习题 2 立方根 一、学生起点分析 学生已经学习了平方根的概念，掌握了求一个非负数的平方根和算术平方根的方法，明确了平方运算与开平方的互逆关系学生在平方根学习活动中体会了类比的思想方法，为立方根的学习提供了一定的经验基础和学习方法立方根的计算有着非常广泛的应用，有关空间形体的计算经常涉及开立方，因此本节知识是后续学习内容的基础 二、教学任务分析 立方根是义务教育教科书北师大版八年级（上）第二章实数第三节本节内容 1 个学时完成主要是通过对立方根与平方根的类比，探索立方根的概念、计算和简单性质因此，除了具体的知识技能以外，关注学生的学习方法培养，渗透数学思想方法也是教师教学过程中的关注点为此本节课的三维教学目标是：了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质；区分立方根与平方根的不同；经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略，培养逆向思维能力和分类讨论的意识学生在经历用类比的方法学习立方根的有关知识过程中，领会类比思想；立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神；三、教学过程设计 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设问题情境；第二环节：复习引入、类比学习；第三环节：初步探究；第四环节：尝试反馈，巩固练习；第五环节：深入探究；第六环节：课时小结；探究与思考；第七环节：作业布置及课外探究 第一环节：创设问题情境 内容：某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的 8 倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体积是原来的 4 倍呢？（球的体积公式为334Rv，R为球的半径）提问：怎样求出半径R？学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案有关体积的运算和面积的的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识 目的：通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知欲望 效果：在思考问题的同时，学生既感受了数学的应用价值，激发了学生的学习热情，又很快将问题归结为如何确定一个数，它的立方等于 4，从而顺利引入新课 第二环节：复习引入、类比学习 内容：提问：（1）什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a0）的平方根?（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0 的平方根是什么？（3）平方和开平方运算有何关系？（4）算术平方根和平方根有何区别与联系？强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0 的平方根是 0（5）为了解决前面情景中的问题，需要引入一个新的运算，你将如何定义这个新运算？1一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）2一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（cube root,也叫做三次方根）如：2 是 8 的立方根，的立方根是273，0 是 0 的立方根 目的：学生通过回顾上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫，同时突出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系 效果：复习引入既复习了平方根的知识，又利于学生用类比学习法学习立方根知识 第三环节：初步探究 内容：1 做一做：怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？（1）001.0 3）（；（2）6427 3）（；（3）0 3）（目的：通过计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方，与求一个数的立方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性，计算中对a的取值分别选为正数、负数、0，这样设计，在此过程中渗透分类讨论的思想方法 2议一议：（1）正数有几个立方根？（2）0 有几个立方根（3）负数呢？的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 意图：提问，是为了指出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系 3 在上面的基础上明晰下列内容，对知识进行梳理（1）每个数a都只有一个立方根，记为“3a”，读作“三次根号a”例如x3=7 时，x是 7 的立方根，即37=x；与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“”符号，但根指数 3 不能省略 （2）正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数 （3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方(extrction of cubic root),其中a叫做被开方数 开立方与立方互为逆运算 效果：学生通过类比学习，初步掌握立方根的概念，能用符号语言表示一个数的立方根 第四环节：尝试反馈，巩固练习 内容：例 1 求下列各数的立方根：（1）27；（2）1258；（3）833 ；（4）216.0；（5）5 解：（1）因为2733）（，所以27的立方根是3，即3273；（2）因为1258523，所以1258的立方根是52，即5212583；（3）因为833827233）（，所以833的立方根是23，即238333；（4）因为216.06.03）（，所以216.0的立方根是6.0，即6.0216.03；（5）5的立方根是35 例 2 求下列各式的值：（1）;83 （2）;064.03 （3）31258；（4）339 解：（1）38=2233；（2）3064.0=4.04.033；（3）31258=525233；（4）339=9 反馈练习 1求下列各数的立方根：.1656464125.03333333 ；的等腰直角三角形的底边长不是有理数两条直角边分别为的直角三角形排了个课时完成第课时让学生感受无理数的存在初步建立无理数的象结析等活动感受无理数的客观存在性和引入的必要性并能判断一个数是不学习必备 欢迎下载 2通过上面的计算结果，你发现了什么规律？目的：例 1 着眼于弄清立方根的概念，因此这里不仅用立方的方法求立方根，而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法，学生在熟练以后可以简化写法例 2 则巩固立方根的计算，引导学生思考立方根的性质 效果：学生通过练习掌握立方根的概念和计算，通过对计算结果的分析得出立方根的性质，若学生不能发现规律，教师可以再给出几个例子，如：.8283273228333333333）（；引导学生观察被开方数、根指数及运算结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排学生分小组讨论，通过交流，展示学生发现的规律；若学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结论 第五环节：深入探究 想一想：（1）3a表示a的立方根，那么33a等于什么？33a呢？（2）3a与3a有何关系？目的：明晰33a=a，33a=a 说明：若学生通过上面的计算得出了立方根的性质，可以直接展示学生的成果；若没有得出结果，可以引导学生分析，如果3x=a,那么x就是a的立方根，即x=3a,所以3x=33a=a,同样，根据定义，3a是的a三次方，所以3a的立方根就是a,即aa 33，3a=3a 第六环节 课时小结 内容 1：提问通过本节课的学习你学到了哪些知识？归纳、总结学生的回答，得出下列内容：1了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的立方根 2在学习中应注意以下 5 点：（1）符号3a中根指数“3”不能省略；（2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；（3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；负数没有平方根，但却有一个立方根；（4）灵活运用公式：(3a)3=a,aa 33，3a=3a；（5）立方与开立方也互为逆运算我们可以用立方运算