2023年复习专题：导数.pdf

学习必备 欢迎下载 导数 一、导数公式（1）、几种常见的导数 C ；()x ()R；()xa =；()xe ；(log)ax =；(ln)x ；(sin)x ；(cos)x （2）、导数运算规则：()k f x ；()()f xg x ；()()f xg x ；()()f xg x ；练习：1、函数sin xyx的导数为_；2、若2()lnf xxx,则()fx 3、若()sincosf xx,则()f 二、函数的单调性(),()f xC f x在区间 A单调递增()0fx在 A恒成立(),()f xC f x在区间 A单调递减()0fx在 A恒成立 作用：可求单调区间解不等式；或判定函数在某区间单调；常识：看到单调，就想到导数大于等于（或小于等于）0 在给定区间恒成立 练习：1、已知13)(23xxaxxf在 R上是减函数，则a的取值范围是 2、设()fx是函数()f x的导函数，()yfx的图象如图（1）所示，则()yf x的图象最有可能为（）学习必备 欢迎下载 3、已知函数()yf x,()yg x的导函数的图象如下图，那么()yf x,()yg x的图象可能是（）4、已知对任意实数x，有()()()()fxf xg xgx ，且0 x 时，()0()0fxg x，则0 x 时（）A()0()0fxg x，B()0()0fxg x，C()0()0fxg x，D()0()0fxg x，5、若1)1(2131)(23xaaxxxf在（1，4）内为减函数，在（6，+）上为增函数，则a的范围是 三、极值和极值点（1）、极值点的判别法-函数草图中的转折点或导数草图中与x轴的交点 函数的草图 导数的草图 注意点：如图，11(,()xf x是边界点不是极值点；22(,()xf x，33(,()xf x是转折点，才是极值点，其中22(,()xf x极大值点，33(,()xf x极小值点，2()f x是极大值，3()f x极小值；-极大值、极小值统称极值-是函数值 由于极值点由横坐标决定，因此，常称2x为极大值点，3x极小值点；所以求极值点-求横坐标（即()0fx 的解）导数的草图需画x轴；x轴上方，导数大于 0，函数单调递增；下方导数小于 0，函数单调递减-画x轴 想到导数大于等于或小于等于在给定区间恒成立练习已知在上是减函数且时则时若在内为减函数在上为增函数则的范围是三极值和极值点极值极大值极小值极大值极小值统称极值是函数值由于极值点由横坐标决定学习必备 欢迎下载 2O1（2）、求函数()yf x的极值的方法：求出()0fx的根ix；利用导数草图判定ix是极大值点还是极小值点；求出极值（3）求最值的方法 求出()0fx的根ix；作出导数草图；作出函数草图；计算比较得到最值 练习：1、已知函数3()128f xxx在区间 3,3上的最大值为M，则M .2()2f xxx 在（，）的值域是 2、已知32()f xxbxcx。如图，()yfx的图象过点（1，0），（2，0），则下列 说法中：不正确的有 32x 时，函数()yf x取到极小值；函数()yf x有两个极值点；6c；1x 时，函数()yf x取到极大值；3、设ab，函数2()()yxaxb的图像可能是（）AobayxBobayx CobayxDobayx 想到导数大于等于或小于等于在给定区间恒成立练习已知在上是减函数且时则时若在内为减函数在上为增函数则的范围是三极值和极值点极值极大值极小值极大值极小值统称极值是函数值由于极值点由横坐标决定学习必备 欢迎下载 4、若函数2()1xaf xx在1x 处取极值，则a 四、切线：曲线()yf x在0 xx处切线的斜率0()kfx，切点00(,()xf x，从而切线方程为 000()()()yf xfxxx-求切线方程-关键在求切点的横坐标 练习：1、设点(,)P x y是3yxx 上一点，则在P点处的斜率取值范围是 2、曲线21xyxex在点（0,1）处的切线方程为 3、已知曲线23ln4xyx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 4、设 P 为曲线 C：223yxx上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为04，则点 P 横坐标的取值范围为 5、在曲线323610yxxx的切线中，则斜率最小的切线方程是 6、若曲线 y=2xaxb在点（0，b）处的切线方程式1xy=0，则a ，b 7、若曲线 2f xaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 解答题 1、已知函数daxbxxxf23)(的图象过点 P（0，2），且在点 M（1，f（1）处的切线方程为076yx.（）求函数)(xfy 的解析式；（）求函数)(xfy 的单调区间.2、已知()f x是二次函数，不等式()0f x 的解集是(0,5),且()f x在区间 1,4上的最大值是 12。（I）求()f x的解析式；（II）是否存在自然数,m使得方程37()0f xx在区间(,1)m m内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。想到导数大于等于或小于等于在给定区间恒成立练习已知在上是减函数且时则时若在内为减函数在上为增函数则的范围是三极值和极值点极值极大值极小值极大值极小值统称极值是函数值由于极值点由横坐标决定学习必备 欢迎下载 3、设函数22()21(0)f xtxt xtxt R，（）求()f x的最小值()h t；（）若()2h ttm 对(0 2)t，恒成立，求实数m的取值范围 4、已知函数32()2f xxmxnx的图象过点（1，6），且函数()()6g xfxx的图象关于 y 轴对称.()求 m、n 的值及函数 y=f(x)的单调区间；()若 a0，求函数 y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.5、已知函数 f（x）=3213xxaxb的图像在点 P（0,f(0)）处的切线方程为 y=3x-2()求实数 a,b 的值；()设 g（x）=f(x)+1mx是2,上的增函数。（i）求实数 m 的最大值；(ii)当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。6、已知函数1()ln1()af xxaxaRx（I）当1a 时，求曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程；（II）当12a 时，讨论()f x的单调性 7、已知函数0()(2xxaxxf，常数)a R 讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由；若函数)(xf在2)x，上为增函数，求a的取值范围 8、已知函数3()f xxx求曲线()yf x在点()M tf t，处的切线方程；设0a，如果过点()ab，可作曲线()yf x的三条切线，证明：()abf a 9、已知函数42()32(31)4f xaxaxx（I）当16a 时，求()f x的极值;（II）若()f x在 1,1上是增函数，求a的取值范围 想到导数大于等于或小于等于在给定区间恒成立练习已知在上是减函数且时则时若在内为减函数在上为增函数则的范围是三极值和极值点极值极大值极小值极大值极小值统称极值是函数值由于极值点由横坐标决定学习必备 欢迎下载 二阶导数的意义 二阶导数就是对一阶导数再求导一次，意义如下：（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（2）函数的凹凸性。（3）判断极大值极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。一、用二阶导数判断极大值或极小值定理 设)(xf在0 x二阶可导，且0)(,0)(00 xfxf(1)若0)(0 xf，则)(xf在0 x取得极大值；(2)若0)(0 xf，则)(xf在0 x取得极小值 例 试问a为何值时，函数xxaxf3sin31sin)(在3x处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值 解 xxaxf3c o sc o s)(由假设知0)3(f，从而有012a，即2a 又当2a时，xxxf3sin3sin2)(，且 想到导数大于等于或小于等于在给定区间恒成立练习已知在上是减函数且时则时若在内为减函数在上为增函数则的范围是三极值和极值点极值极大值极小值极大值极小值统称极值是函数值由于极值点由横坐标决定学习必备 欢迎下载 03)3(f，所以xxxf3sin31sin2)(在3x处取得极大值，且极大值3)3(f 例 求函数593)(23xxxxf的极大值与极小值 解 )(xf在 4,2上连续，可导令 0)3)(1(3963)(2xxxxxf，得 1x和3x，思考：)(xf在1x取得极大还是极小值？在3x取得极大还是极小值？()66fxx-1代入二阶导数表达式为-12，)(xf在1x取得极大值 3 代入二阶导数表达式 12，在3x取得极小值 三、函数图像凹凸定理 若)(xf在),(ba内二阶可导，则曲线)(xfy 在),(ba内的图像是凹曲线的充要条件是0)(xf，),(bax 曲线)(xfy 在),(ba内的图像是凸曲线的充要条件是0)(xf，),(bax。几何的直观解释：如果如果一个函数 f(x)在某个区间 I 上有()0fx 恒成立，那么在区间 I上 f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。想到导数大于等于或小于等于在给定区间恒成立练习已知在上是减函数且时则时若在内为减函数在上为增函数则的范围是三极值和极值点极值极大值极小值极大值极小值统称极值是函数值由于极值点由横坐标决定学习必备 欢迎下载 o o x x y y .曲线的凸性 对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同如图 11 中的曲线为向下凸，而图 12 中的曲线为向上凸 图 11 图 12 1212()()()22f xf xxxf 定义 4.5.1 设)(xfy 在),(ba内可导，若曲线)(xfy 位于其每点处切线的上方，则称它为在),(ba内下凸(或上凹)；若曲线)(xfy 位于其每点处切线的下方，则称它在),(ba内上凸(或下凹)相应地，也称函数)(xfy 分别为),(ba内的下凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数)从图 11 和图 12 明显看出，下凸曲线的斜率)(tanxf(其中为切线的倾角)随着x的增大而增大，即)(xf 为单增函数；上凸曲线斜率)(xf 随着x的增大而减小，也就是说，)(xf 为单减函数但)(xf 的单调性可由二阶导数)(xf 来判定，因此有下述定理 定理 4.5.1 若)(xf在),(ba内二阶可导，则曲线)(xfy 在),(ba内下凸(凹函数)的充要条件是 0)(xf),(bax 想到导数大于等于或小于等于在给定区间恒成立练习已知在上是减函数且时则时若在内为减函数在上为增函数则的范围是三极值和极值点极值极大值极小值极大值极小值统称极值是函数值由于极值点由横坐标决定