2023年函数的零点的精品教案.pdf
函数的零点的教学设计 一、教学内容解析 本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。函数 f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为 0 的实数 x;从方程的角度看,即为相应方程 f（x）=0 的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数 f(x)与 x 轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。二、教学目标解析 1了解函数的零点与方程根的联系，理解函数的零点的定义（能区分零点与点，能了解其中的三维特征，及蕴含的数学思想）2初步掌握函数零点的判定方法（能结合函数图像判断函数零点的存在，即判断方程根的存在性）3通过本节课的活动，使学生理解基本知识中蕴含的数学思想，了解类比研究问题的方法，在函数零点的存在性判定方法的学习过程中，感受探究发现的过程和方法 三、教学问题诊断分析 1由于受已有知识的负迁移影响，学生可能会将“函数的零点”误以为是点，教学时可以在正面强化的基础上，给出合理的解释，不要只强调记忆；2由于学生比较熟悉解方程，所以在讨论方程的根的存在性时，对于简单的、特殊的方程，尤其是一元二次方程，学生可能会先入为主地选择求出方程的根再回答问题，偏离教学的重心，因此在教学过程中要强调根据函数图象分析问题，或者设计一些不能直接求解的方程 3由于函数的零点与方程的根，以及函数图像与x轴的交点有着内在的统一性，在学生还没有真正接受函数的零点的概念之前，很容易将它们搞混淆，所以在得到函数的零点的定义后要立体化的分析它们之间的关系，在全面认识的基础上突出研究重点 4对于函数的零点存在的判定方法，学生可能会很快理解其表面含义，但是这种理解是否经得起考验，要在实践中检验，所以教学时可以设计一些易混问题，通过解决这些问题促进理解 因此本节课的教学难点是：正确理解函数零点的定义，了解函数零点的判定方法的不可逆性 四、教学过程设计（一）复习深化，揭示课题 问题 1 请大家回忆初中研究过的一个问题：一次函数与相应的一元一次方程（组）之间的关系先用自己的语言叙述相关的结论，之后再分析这些结论中蕴含的数学思想有哪些，从中你得到什么启示？（设计意图：通过对学生已有知识经验的分析，将初中阶段的感性经验进一步理性化，为本节课的研究找到固着点）师生活动 1：一起回忆所学知识 “解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的函数值为 0 时，求相应的自变量的值从图像上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值”“每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线 从 数的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少；从形的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标”等等 师生活动 2：分析上述知识中蕴含的数学思想方法 预期的活动结果：1化归的数学思想方法体现在：解一元一次方程（组）的问题可以转化为函数的函数值为 0 时，求相应的自变量的值的问题（或自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少的问题）事实上“函数的函数值为0 时，求相应的自变量的值的问题”就是一个方程求解的问题，因此又可以利用方程解决函数问题因此这种化归是双向的 2数形结合的数学思想方法体现在：解一元一次方程的问题可以转化为确定函数的图像与x轴的交点的横坐标的值的问题（或确定两条直线交点的坐标的问题）3 函数思想 上述结论反映了一个客观存在的关系：整体与局部的关系 一次函数y=ax+b是一个整体，当函数值y取特殊的数值时就得到一个方程，如：ax+b=0（a0），或者ax+b=3（a0），等等但是后一个方程又可以转化为前一个方程，只是相应的函数关系式有所改变因此可以用函数观点统领函数、方程以及不等式，三位一体，方能应用自如，灵活解题 4 三维角度认识问题 上述 3 点体现了要从 3 个角度立体的认识一个现象：方程ax+b=0（a0）的根x0，就是使得函数y=ax+b的值为 0 时的自变量x的值x0，也就是函数y=ax+b（a0）的图像与x轴交点的横坐标x0三者有着内在的统一，但是其外部表现形式又不同，就好像一个人在不同等环境中扮演者不同的身份一样 教师揭示课题：x0扮演着不同的角色，因此为了区分这些角色命名“使得函数y=ax+b（a0）的值为 0 时的自变量x的值x0”中的x0为“一次函数y=ax+b（a0）的零点”本节课就是在此基础上进一步研究“方程的根与函数的零点”的关系问题特别强调：“方程的根”与“函数的零点”不能混为一谈，而且“函数的零点”是实数，而不是点，之所以称之为点，是因为实数与数轴上的点一一对应的缘故（二）类比研究，形成定义 问题 2 类比一元一次方程与一次函数的关系，完成下表，并回答问题：一元二次方程ax2+bx+c=0 的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像有什么关系？其中蕴含了什么数学思想？用自己的语言描述什么是二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点？如果你觉得解决前面的问题困难，可以给式中的a、b、c赋值，之后在解决相同的问题（设计意图：类比研究，丰富学生的感性经验，增进对一次函数与一元一次方程关系中得到的结论的理解，提供抽象概括的素材）1 一元二次方程ax2+bx+c=0 的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像的关系：（1）解一元二次方程可以转化为：当某个二次函数的函数值为 0 时，求相应的自变量的值从图像上看，这相当于已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)，确定它与x轴的交点的横坐标的值（获得这种结果是受到一次函数与相应的一元一次方程（组）之间的关系的表述方法的影响）（2）当方程有根时：方程ax2+bx+c=0（a0）的根x0，就是函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与x轴交点的横坐标x0，就是使得函数y=ax2+bx+c(a0)的值为 0时的自变量x的值x0（即函数y=ax2+bx+c(a0)的零点为x0）当方程没有根时，相应的函数的图像与x轴没有交点，不存在使得函数y=ax2+bx+c(a0)的值为 0 的自变量x的值（获得这种结论是受问题 1 中得到的预期活动结果的第4 条的影响）（3）当 0 时，一元二次方程有两个不等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图像与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），函数有两个零点x1，x2；当=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点（x1，0），函数有一个零点x1；当 0 时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点，函数没有零点 教师评价：每种表述方法都是正确的，从不同角度解决了问题，概括层次也不同，为了进一步推广我们采用第（）种说法 3二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点：“使得二次函数y=ax2+bx+c(a0)的值为 0 时的自变量x的值x0”中的x0就是“二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点”（此处有可能出现将零点与点混淆的现象，教师要再次予以澄清辨明）问题 3 对于一般函数y=f(x)，如何定义它的零点？关于一次、二次函数及其相应的方程的关系对于一般函数y=f(x)及其相应的方程f(x)=0 是否成立？并类比上述结论，从三维角度进行描述 师生活动：（此处由学生先形成定义，可能是不规范不严谨的，教师可予以帮助，使之数学化即可）活动结果 1：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点 活动结果 2：方程f(x)=0 的根x0，就是使得函数y=f(x)的值为 0 时的自变量x的值x0，也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标x0 追问：上述结论逆推成立吗？活动结果：一般函数y=f(x)与其相应的方程f(x)=0 的关系：x0是方程f(x)=0 的实数根（x0，0）是函数y=f(x)的图像与x轴的交点 x0是函数y=f(x)的零点 追问：上述结论中蕴含的数学思想是什么？活动结果：（可类比解决，不再赘述）教师讲解：上述研究了函数与其相应的方程的关系，由于在解决问题中遇到的更广泛的方程是没有特殊的解法的，因此需要把方程的根的问题，转化为函数零点问题，借助函数图象数形结合地解决，因此接下来将研究如何判断一个函数在其某个定义域区间内是否存在零点的问题（三）探究发现，获得判定方法 问题 4 对于给定的每个函数，根据函数图像写出多个区间，使得函数在每个区间内存在一个零点，之后，观察你写的区间，这些区间端点的函数值具有什么特征时，能保证函数在该区间内存在零点？再根据函数的定义，随意画几个函数的图像，验证你得到的结论是否成立?（1）y=3x-2 （2）y=2x2+x-1 (3)y=x2+2x+1 1学生可能发现的符合条件的区间具有的特征：结论 1：如果一个函数f(x)满足f(a)f(b)0，则函数在区间(a，b)上存在零点，而且是至少有一个；（学生可能得到上述两种结论，此时教师不要急于给出定论，给学生时间，让他们举例子验证上述结论，看哪个结论经得住检验）2学生检验，讨论：3概括得到零点存在性的判定方法：如果函数y=f(x)在区间a，b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0 的根 追问 1：如果函数y=f(x)在区间a，b 上的图象是连续不断的一条曲线，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，那么是否一定有f(a)f(b)0 呢？追问 2：函数在符合上述条件的区间内是否只有一个零点？为什么？（通过追问加深对判定方法的理解判定方法中的条件“f(a)f(b)0”时充分不必要的条件，事实上，这两个问题都在前面的问题中涉及到了）（四）初步应用，巩固、理解 例 1：已知函数f(x)=x2x6(1)函数f(x)有零点吗？若有指出零点所在的区间(2)函数f(x)有几个零点?为什么?（可以借助计算机或计算器解决）解：（略）例 2：判断方程 x+2x=6 有几个实根?写出它的根所在的区间?分析：根据判定方法，转化为例 1 求解 （五）小结深华 请回顾本节课所学知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想又有哪些？你还获得了什么？(六)作业（略）
