2023年坐标系与参数方程知识点总结归纳全面汇总归纳及同步练习附超详细解析答案.pdf

学习必备 欢迎下载 坐标系与参数方程 知识点 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)xxyy 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标 设 M是平面内一点,极点O与点 M的距离|OM|叫做点 M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点 M的极角,记为.有序数对(,)叫做点 M的极坐标,记作(,)M.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:学习必备 欢迎下载 (2)互化 公式:设M是 坐标平 面内任意一 点,它的直 角坐标是(,)x y,极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)互化公式 cossinxy 222tan(0)xyyxx 在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 (02)r 圆心为(,0)r,半径为r的圆 2 cos()22r 圆心为(,)2r,半径为r的圆 2 sin(0)r 过极点,倾斜角为的直线 (1)()()RR 或(2)(0)(0)和 示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 过点(,0)a,与极轴垂直的直线 cos()22a 过点(,)2a,与极轴平行的直线 sin(0)a 注:由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一,即(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极 坐 标 方 程 即 可.例 如 对 于 极 坐 标 方 程,点(,)4 4M可 以 表 示 为5(,2)(,2),4 44 444 或或(-)等多种形式,其中,只有(,)4 4 的极坐标满足方程.二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y都是某个变数t的函数()()xf tyg t,并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点(,)M x y都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y中的一个与参数t的关系,例如()xf t,把它代入普通方程,求示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 出另一个变数与参数的关系()yg t,那么()()xf tyg t就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数 如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设(,)M x y，则cos()sinxryr为参数。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。圆心为(,)a b，半径为r的圆的普通方程是222()()xaybr，它的参数方程为：cos()sinxarybr 为参数。4椭圆的参数方程 以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为22221(0),xyabab 其参数方程为cos()sinxayb为参数，其中参数称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是22221(0),yxabab 其参数方程为cos(),sinxbya为参数其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0，2）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02 时，相应地也有02，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程 以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),xyabab其参示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 数方程为sec()tanxayb为参数，其中30,2),.22且 焦 点 在y轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是22221(0,0),yxabab其 参 数 方 程 为cot(0,2).cscxbeya 为参数，其中且以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程 以 坐 标 原 点 为 顶 点，开 口 向 右 的 抛 物 线22(0)ypx p的 参 数 方 程 为22().2xpttypt 为参数 7直线的参数方程 经过点000(,)Mxy，倾斜角为()2的直线l的普通方程是00tan(),yyxx而过000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点(,)M x y为终点的有向线段0M M的数量，当点M在0M上方时，t0；当点M在0M下方时，t0；当点M与0M重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以0M为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。选修 4-4 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A组 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 综合训练 B组 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 提高训练 C组 示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A组 一、选择题 1若直线的参数方程为12()23xttyt 为参数，则直线的斜率为（）A23 B23 C32 D32 2下列在曲线sin2()cossinxy为参数上的点是（）A1(,2)2 B3 1(,)4 2 C(2,3)D(1,3)3将参数方程222sin()sinxy 为参数化为普通方程为（）A2yx B2yx C2(23)yxx D2(01)yxy 4化极坐标方程2cos0 为直角坐标方程为（）A201yy2x或 B1x C201y2x或x D1y 5点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为（）A(2,)3 B(2,)3 C2(2,)3 D(2,2),()3kkZ 6极坐标方程cos2sin 2表示的曲线为（）A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆 二、填空题 1直线34()45xttyt 为参数的斜率为_。示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 2参数方程()2()ttttxeetyee 为参数的普通方程为_。3已知直线11 3:()24xtltyt 为参数与直线2:245lxy相交于点B，又点(1,2)A，则AB _。4直线122()112xttyt 为参数被圆224xy截得的弦长为_。5直线cossin0 xy的极坐标方程为_。三、解答题 1已知点(,)P x y是圆222xyy上的动点，（1）求2xy的取值范围；（2）若0 xya 恒成立，求实数a的取值范围。2 求直线11:()53xtltyt 为参数和直线2:2 30lxy 的交点P的坐标，及点P 与(1,5)Q的距离。3在椭圆2211612xy上找一点，使这一点到直线2120 xy的距离的最小值。数学选修 4-4 坐标系与参数方程 示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 综合训练 B组 一、选择题 1 直线l的参数方程为()xattybt 为参数，l上的点1P对应的参数是1t，则点1P与(,)P a b之间的距离是（）A1t B12 t C12 t D122t 2参数方程为1()2xttty 为参数表示的曲线是（）A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线 3直线112()33 32xttyt 为参数和圆2216xy交于,A B两点，则AB的中点坐标为（）A(3,3)B(3,3)C(3,3)D(3,3)4圆5cos5 3sin的圆心坐标是（）A4(5,)3 B(5,)3 C(5,)3 D5(5,)3 5与参数方程为()2 1xttyt为参数等价的普通方程为（）A214y2x B21(01)4yx 2x C21(02)4yy 2x D21(01,02)4yxy 2x 6直线2()1xttyt 为参数被圆22(3)(1)25xy所截得的弦长为（）A98 B1404 C82 D934 3 示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 二、填空题 1 曲线的参数方程是211()1xttyt 为参数,t0，则它的普通方程为_。2直线3()14xattyt 为参数过定点_。3点P(x,y)是椭圆222312xy上的一个动点，则2xy的最大值为_。4曲线的极坐标方程为1tancos，则曲线的直角坐标方程为_。5设()ytx t为参数则圆2240 xyy的参数方程为_。三、解答题 1参数方程cos(sincos)()sin(sincos)xy为参数表示什么曲线？2点P在椭圆221169xy上，求点P到直线3424xy的最大距离和最小距离。3已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆422yx相交与两点,A B，求点P到,A B两点的距离之积。示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 数学选修 4-4 坐标系与参数方程.提高训练 C组 一、选择题 1把方程1xy 化为以t参数的参数方程是（）A1212xtyt Bsin1sinxtyt Ccos1cosxtyt Dtan1tanxtyt 2曲线25()1 2xttyt 为参数与坐标轴的交点是（）A21(0,)(,0)52、B11(0,)(,0)52、C(0,4)(8,0)、D5(0,)(8,0)9、3直线12()2xttyt 为参数被圆229xy截得的弦长为（）A125 B1255 C955 D9105 4若点(3,)Pm在以点F为焦点的抛物线24()4xttyt 为参数上，则PF等于（）A2 B3 C4 D5 5极坐标方程cos 20表示的曲线为（）A极点 B极轴 C一条直线 D两条相交直线 6在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为（）Acos2 Bsin2 C4sin()3 D4sin()3 示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 二、填空题 1已知曲线22()2xpttpypt 为参数,为正常数上的两点,M N对应的参数分别为12,tt和，120tt 且，那么MN=_。2直线22()32xttyt 为参数上与点(2,3)A 的距离等于2的点的坐标是_。3圆的参数方程为3sin4cos()4sin3cosxy为参数，则此圆的半径为_。4极坐标方程分别为cos与sin的两个圆的圆心距为_。5直线cossinxtyt与圆42cos2sinxy 相切，则_。三、解答题 1分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos21()sin2ttttxeeyee化为普通方程：（1）为参数，t为常数；（2）t为参数，为常数；2过点10(,0)2P作倾斜角为的直线与曲线22121xy交于点,M N，求PMPN的值及相应的的值。示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 新课程高中数学训练题组参考答案 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A组 一、选择题 1D 233122ytkxt 2B 转化为普通方程：21yx，当34x 时，12y 3C 转化为普通方程：2yx，但是2,3,0,1xy 4C 22(cos1)0,0,cos1xyx 或 5C 2(2,2),()3kkZ都是极坐标 6C 2cos4sincos,cos0,4sin,4sin或即 则,2k或224xyy 二、填空题 154 455344ytkxt 2221,(2)416xyx 22()()422222ttttttyxexeeyyxxyyeexe 352 将1 324xtyt 代入245xy得12t，则5(,0)2B，而(1,2)A，得52AB 414 直线为10 xy ，圆心到直线的距离1222d，弦长的一半为222142()22，得弦长为14 52 c o sc o ss i ns i n0,c o s(，取2 三、解答题 1解：（1）设圆的参数方程为cos1 sinxy，22cossin15sin()1xy 示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 51251xy （2）cossin10 xyaa (c o ss i n)12 s i n()1421aa 2解：将153xtyt 代入2 30 xy 得2 3t，得(12 3,1)P，而(1,5)Q，得22(2 3)64 3PQ 3解：设椭圆的参数方程为4cos2 3sinxy，4cos4 3sin125d 4545c o s3 s i n32 c o s()3553 当c o s()13时，m i n4 55d，此时所求点为(2,3)。新课程高中数学训练题组参考答案 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 综合训练 B组 一、选择题 1C 距离为221112ttt 2D 2y 表示一条平行于x轴的直线，而2,2xx 或，所以表示两条射线 3D 2213(1)(3 3)1622tt，得2880tt ，12128,42tttt 中点为11432333 342xxyy 4A 圆心为55 3(,)22 5D 22222,11,1,0,011,0244yyxttxxtty 而得 示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 6C 2222212122xtxtytyt ，把直线21xtyt 代入 22(3)(1)25xy得222(5)(2)25,720tttt 212121 2()441ttttt t，弦长为12282tt 二、填空题 12(2)(1)(1)x xyxx 111,1xttx 而21yt，即221(2)1()(1)1(1)x xyxxx 2(3,1)143yxa，(1)41 20yax对于任何a都成立，则3,1xy 且 322 椭圆为22164xy，设(6 c o s,2 s i n)P，26 cos4sin22sin()22xy 42xy 22221s i nt a n,c o ss i n,c o ss i n,c o sc o s即2xy 52224141txttyt 22()40 xtxtx，当0 x 时，0y；当0 x 时，241txt；而yt x，即2241tyt，得2224141txttyt 三、解答题 1解：显然tanyx，则222222111,coscos1yyxx 2222112 t a nc o ss i nc o ss i n 2c o sc o s221t a nx 示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 即222222222111,(1)12111yyyyxxxxyyyxxxxx 得21yyxxx，即220 xyxy 2解：设(4cos,3sin)P，则12cos12sin245d 即12 2cos()2445d，当cos()14 时，max12(22)5d；当cos()14时，min12(22)5d。3解：（1）直线的参数方程为1cos61sin6xtyt ，即312112xtyt （2）把直线312112xtyt 代入422yx 得22231(1)(1)4,(31)2022tttt 1 22t t ，则点P到,A B两点的距离之积为2 新课程高中数学训练题组参考答案 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 提高训练 C组 一、选择题 1D 1xy，x取非零实数，而 A，B，C 中的x的范围有各自的限制 2B 当0 x 时，25t，而12yt，即15y，得与y轴的交点为1(0,)5；当0y 时，12t，而25xt，即12x，得与x轴的交点为1(,0)2 示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载 3B 21512521155xtxtytyt ，把直线122xtyt 代入 229xy得222(12)(2)9,5840tttt 2212121 281612()4()555ttttt t，弦长为1212555tt 4C 抛物线为24yx，准线为1x ，PF为(3,)Pm到准线1x 的距离，即为4 5D cos 20,cos 20,4k，为两条相交直线 6A 4sin的普通方程为22(2)4xy，cos2的普通方程为2x 圆22(2)4xy与直线2x 显然相切 二、填空题 114p t 显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。即x轴，121222M Np ttpt 2(3,4),或(1,2)222212(2)(2)(2),22tttt 35 由3 s i n4 c o s4 s i n3 c o sxy得2225xy 422 圆心分别为1(,0)2和1(0,)2 56，或56 直线为t a nyx，圆为22(4)4xy，作出图形，相切时，易知倾斜角为6，或56 三、解答题 1解：（1）当0t 时，0,cosyx，即1,0 xy且；当0t 时，c o s,s i n11()()22ttttxyeeee 而221xy，即2222111()()44ttttxyeeee 示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时学习必备 欢迎下载（2）当,kkZ时，0y，1()2ttxee，即1,0 xy且；当,2kkZ时，0 x，1()2ttyee，即0 x；当,2kkZ时，得2cos2sinttttxeeyee，即222cossin222cossinttxyexye 得222222()()cossincossinttxyxyee 即22221cossinxy。2解：设直线为10cos()2sinxttyt为参数，代入曲线并整理得 223(1sin)(10 cos)02tt 则1 22321 sinPMPNt t 所以当2sin1时，即2，PMPN的最小值为34，此时2。示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特殊说明时