2023年基本不等式柯西不等式知识点总结归纳复习.pdf

名师总结 优秀知识点 基本不等式及应用 一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 3了解证明不等式的基本方法综合法 二、基本不等式 基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件 abab2 a0，b0 ab 三、常用的几个重要不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)ab(ab2)2(a，bR)(3)a2b22(ab2)2(a，bR)(4)baab2(a，b 同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是 ab.四、算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 四个“平均数”的大小关系；a，bR+：当且仅当ab时取等号.五、利用基本不等式求最值：设 x，y 都是正数(1)如果积 xy 是定值 P，那么当 xy 时和 xy 有最小值 2 P.(2)如果和 xy 是定值 S，那么当 xy 时积 xy 有最大值14S2.强调：1、“积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.正：两项必须都是正数；2222abab2ababab名师总结 优秀知识点 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性）想一想:错在哪里？3、已知两正数 x，y 满足 xy1，则 z(x 1x)(y 1y)的最小值为_ 解一：因为对 a0，恒有 a1a2，从而 z(x 1x)(y 1y)4，所以 z 的最小值是 4.解二：z2x2y22xyxy(2xyxy)222xyxy22(21)，所以 z 的最小值是 2(21)【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的 【正确解答】z(x 1x)(y 1y)xy1xyyxxyxy1xyxy22xyxy2xyxy2，令 t xy，则 0txy(xy2)214，由 f(t)t 2t在(0，14 上单调递减，故当 t 14时，f(t)t 2t有最小值334，所以当 xy12时 z 有最小值254.误区警示：已知函数，求函数的最小值和此时x的取值xxxf1)(11:()22112.fxxxxxxxx解当 且 仅 当即时 函 数取 到 最 小 值3已知函数，求函数的最小值)2(2)(xxxxf33()22223326fxxxxxxxxx解：当 且 仅 当即时，函 数的 最 小 值 是。23x 大 家 把代 入 看 一 看，会 有什 么 发 现？用 什 么 方 法 求 该 函 数 的最 小 值？重要不等式同号且不为零上述四个不等式等号成立的条件都是四算术平等号五利用基本不等式求最值设都是正数如果积是定值那么当时和有最都是正数名师总结优秀知识点定求两项和的最小值它们的积应为定值求名师总结 优秀知识点(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数 y12x3x(x0)有最大值 12 6而不是有最小值 12 6.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错 课堂纠错补练：若 00，b0，ab1，求证：1a1b4.练习：已知 a、b、c 为正实数，且 abc1，求证：(1a1)(1b1)(1c1)8.重要不等式同号且不为零上述四个不等式等号成立的条件都是四算术平等号五利用基本不等式求最值设都是正数如果积是定值那么当时和有最都是正数名师总结优秀知识点定求两项和的最小值它们的积应为定值求名师总结 优秀知识点 考点 2 利用基本不等式求最值 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法 例 4：(1)设 0 x2，求函数)2(2xxy的最大值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1)0 x0，(2)x0，求 f(x)12x3x 的最小值；（3）已知:x0,y0.且 2x+5y=20,求 xy 的最大值.4）已知y4a2a，求y的取值范围 (5)已知 x0，y0，且 xy1，求3x4y的最小值 练习：求下列各题的最值(1)已知 x0，y0，lgx lgy 1，求 z2x5y的最小值；重要不等式同号且不为零上述四个不等式等号成立的条件都是四算术平等号五利用基本不等式求最值设都是正数如果积是定值那么当时和有最都是正数名师总结优秀知识点定求两项和的最小值它们的积应为定值求名师总结 优秀知识点 (2)x0，求 f(x)12x3x 的最大值；(3)x0，且 aR)，当且仅当 a1 时“”成立(2)baab2(a0，b0，a，bR)，当且仅当 ab 时“”成立 柯西不等式 一、二维形式的柯西不等式 .),()()(22222等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba 二、二维形式的柯西不等式的变式 bdacdcba2222)1(.),(等号成立时当且仅当bcadRdcba 重要不等式同号且不为零上述四个不等式等号成立的条件都是四算术平等号五利用基本不等式求最值设都是正数如果积是定值那么当时和有最都是正数名师总结优秀知识点定求两项和的最小值它们的积应为定值求名师总结 优秀知识点 bdacdcba2222)2(.),(等号成立时当且仅当bcadRdcba.),0,()()()(3(2等号成立，时当且仅当bcaddcbabdacdcba 三、二维形式的柯西不等式的向量形式 .),(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当kk 借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对 a2+b2+c2，并不是不等式的形状，但变成(1/3)*(12+12+12)*(a2+b2+c2)就可以用柯西不等式了。例题【5】.设 x，y，z R，且满足 x2 y2 z2 5，则 x 2y 3z 之最大值为 解(x 2y 3z)2 (x2 y2 z2)(12 22 32)514 70 x 2y 3z 最大值为70 【6】设 x，y，z R，若 x2 y2 z2 4，则 x 2y 2z 之最小值为 时，(x，y，z)解(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)12 (2)2 22 4 9 36 x 2y 2z 最小值为 6，公式法求(x，y，z)此时322)2(26221222zyx 32x，34y，34z 练习【8】、设25 ,222zyxzyxR，试求zyx22 的最大值与最小值。【9】、设622 ,zyxzyxR，试求222zyx之最小值。重要不等式同号且不为零上述四个不等式等号成立的条件都是四算术平等号五利用基本不等式求最值设都是正数如果积是定值那么当时和有最都是正数名师总结优秀知识点定求两项和的最小值它们的积应为定值求