2023年完整全等三角形知识点归纳总结全面汇总归纳及对应练习题.pdf

1 全等三角形专题讲解（一）知识储备 1、全等三角形的概念：（1）能够重合的两个图形叫做全等形。（2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。（3）全等三角形的表示：如图，ABC和DEF是全等三角形，记作ABC DEF，符号“”表示全等，读作“全等于”。注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。【例 1】如图，ABC DEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；A=D，B=E，C=F。3、全等三角形的判定定理：S.A.S“边角边”公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。【例 2】A.S.A“角边角”公理：两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。【例 3】A.A.S“角角边”公理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。【例 4】S.S.S“边边边”公理：三边对应相等的两个三角形全等。【例 5】H.L “斜边直角边“公理 2 斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。【例 6】（二）双基回眸 1、下列说法中，正确的个数是（）全等三角形的周长相等 全等三角形的对应角相等 全等三角形的面积相等 面积相等的两个三角形全等 A 4 B3 C 2 D1 2、如果ABC DEF，则 AB的对应边是 _，AC的对应边是 _，C的对应角是 _，DEF的对应角是 _ 3、如图，ABCBAD，A和 B、C和 D是对应顶点，如果AB5，BD6，AD 4，那么 BC等于（）A 6 B 5 C 4 D 无法确定 4、如图，ABC ADE，若B80，C30，DAC 35，则EAC的度数 为（）A 40 B35 C30 D25 5、能确定ABC DEF的条件是（）A AB DE，BC EF，AE B AB DE，BC EF，CE C AE，AB EF，BD D AD，AB DE，BE 6、如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC全等的图形是（）A 甲和乙 B 乙和丙 C只有乙 D 只有丙 3（三）例题经典 例 1：如图，ABC DCB （1）若D74DBC 38，则A_，ABC _；（2）对应边 AC ，AB=；（3）如果AOB DOC，则 AO=_，BO=_，A=_ ，ABC=例 2：如图，AB、CD相交于 O点，AO CO，OD OB 求证：DB 例 3：如图，PM PN，M N求证：AM BN 例 4：如图，ACBD 求证：OA OB，OC OD 例 5：如图，RPQ中，RP RQ，M为 PQ的中点 求证：RM平分PRQ 4 例 6：如图，AB BD，CD BD，AD BC 求证：（1）AB DC：（2）AD BC 例 7：阅读下题及一位同学的解答过程，回答问题：如图，AB和 CD相交于点 O，且 OA OB，AC。那么AOD 与COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由。答：AOD COB 证明：在AOD 和COB中，),(),(),(对顶角相等已知已知COBAODOBOACA AOD COB（ASA）问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？例 8：如图，在MPN 中，H是高 MQ 和 NR的交点，且MQ NQ 求证：HN PM.例 6 图 例 7 图 5 例 9：如图，AD=AE，1=2，点 D、E在 BC上，BD=CE。求证：ABD ACE 例 10：如图，已知 AD CB，AD=CB，AE=BF，求证：（1）AFD BEC （2）DF CE.拓展变式 例 1：如图,AOB是一个任意角，在边 OA、OB上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M,N重合，过角尺顶点 C的射线 OC便是AOB的平分线，为什么?例 2：要测量河两岸相对的两点 A、B的距离，可以在 AB的垂线 BF上取两点 C、D，使 CD=BC，再定出 BF的垂线 DE，使 A、C、E在一条直线上，这时测得的 DE的长就是 AB的长。写出已知和求证，并且进行证明。例 9 图 6 实战演练 一、填空题 1、如图，ABE和ADC 是ABC分别沿着 AB，AC翻折 180形成的若1232853，则的度数为_ 2、已知：如图，AB AC，BD AC于 D，CE AB于 E.欲证明 BD CE，需证明_，理由为_ 3、已知：如图，AE DF，AD，欲证ACE DBF，需要添加条件_,证明全等的理由是_；或添加条件_，证明全等的理由是_；也可以添加条件_，证明全等的理由是_ 4、如图，根据 SAS，如果 AB AC，即可判定ABD ACE.5、如图，BD垂直平分线段 AC，AE BC，垂足为 E，交 BD于 P点，PE3cm，则 P点到直线 AB的距离是_.6、如图，在等腰 RtABC中，C90，AC BC，AD平分BAC交 BC于 D，DE AB于 D，若 AB 10，则BDE的周长等于.7、如图，ABC DEB，AB DE，EABC，则C的对应角为 ，BD的对应边为 .8、如图，AD AE，12，BD CE，则有ABD ，理由是 .第 4 题 E D C B A 第 5 题 E C D P A B 第 6 题 E D C B A 第 2 题 第 3 题 第 1 题 7 9、如图，AD BC，DE AB，DF AC，D、E、F是垂足，BD CD，那么图中的全等三角形有_对.二、选择题 1、AD是ABC的角平分线，作 DE AB于 E，DF AC于 F，下列结论错误的是（）DE DF BAE AF CBD CD DADE ADF 2、下列语句中，正确的有（）（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、下列说法中，正确的是（）A.相等的角是直角 B.不相交的两条线段平行 C.两直线平行，同位角互补 D.经过两点有且只有一条直线 4、如图，若ABE ACF，且 AB 5，AE 2，则 EC的长为（）A.2 B.3 C.5 D.2.5 5、如图，12，BC EF，欲证ABC DEF，则还须补充的一个条件是（）A.ABDE B.ACE DFB C.BF EC D.ABC DEF 6、如图，ABC是不等边三角形，DE BC，以 D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与ABC全等，这样的三角形最多可画出（）E D A B C 1 2 第8题 B A E D C 第 7 题第 9 题 AF(8)CEBD第 4 题 F E C B A 第 5 题 8 A.2 个 B.4个 C.6个 D.8 个 7、如图，ABC中，AD BC，D为 BC中点，则以下结论不正确的是（）A.ABD ACD B.BC C.AD是BAC的平分线 D.ABC是等边三角形 8、如图，12，CD，AC、BD交于 E点，下列结论中正确的有（）DAE CBE CE DE DEA CBE EAB是等腰三角形 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个 9、如图，在ABC中，AB AC，AC的垂直平分线交 AB于点 D，交 AC于点 E，AB 10，BCD的周长为 18，则 BC的长为（）A.8 B.6 C.4 D.2 三、解答题 1、如图，已知线段 a、b，求作：RtABC，使ACB 90，BC a，AC b（不写作法，保留作图痕迹）.2、如图，BP、CP是ABC的外角平分线，则点 P必在BAC的平分线上，你能说出其中的道理吗？ABCD第 7 题 第 6 题 B 第 8 题 2(12)CBA1EDA b a A P B C 9 3、如图，已知12，34，EC AD，求证：AB BE.4、如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条 GF与 GE，E、F分别是 AD、BC的中点.（1）G点一定是 AB的中点吗？说明理由；（2）钉这两块木条的作用是什么？5、如图，已知点 A、E、F、D在同一条直线上，AE DF，BFAD，CE AD，垂足分别为 F、E，BFCE，试说明 AB与 CD的位置关系.6、阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是ABC中 BC边上一点，EB EC，ABE ACE，试说明BAE与CAE相等的理由.理由：在AEB和AEC中，GFEDCBA ABCDE1234 AFCEBD 10 AEAEACEABEECEB 所以AEB AEC(第一步)所以BAE CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.7、如图（1），在四边形ABCD 中，AD BC，ABC DCB，AB DC，AE DF.（1）试说明BF CE的理由.（2）当E、F相向运动，形成如图（2）时，BF和 CE还相等吗？请说明你的结论和理由.8、已知：如图，AB AC，DB DC，（1）若E、F、G、H分别是各边的中点，求证：EH FG.（2）若连结AD、BC交于点P，问AD、BC有何关系？证明你的结论.9、如图，在 AFD 和BEC中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个论断：（A）ADCB，（B）AECF，（C）BD，（D）AD BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，遍一道数学题，并写出解答过程.ADBCEFA（E）D（F）BC图（2）图（1）A B C D E F