2023年新苏科版九年级数学下册《7章锐角三角函数7.5解直角三角形》精品讲义_30.pdf

“解直角三角形第2 课时”教学设计教学目标：1.知道如何转化非直角三角形（斜三角形）为直角三角形，并能运用解直角三角形的相关知识解决非直角三角形问题；2.渗透数形结合的数学思想，培养出学生良好的学习习惯。学情分析：上节课我们学习了“解直角三角形的第1 课时”，让学生明确在直角三角形中，只要知道“两边”或“一边一角”，就可以通过三角函数、两锐角互余及勾股定理求出所有元素。但很多情况下，我们碰到的不仅仅是直角三角形，还有非直角三角形（斜三角形），如果不设计专门针对这类问题的课，那么学生解决起来肯定会有些困难，因此出于这方面的考虑，设计了第 2 课时。重点难点：重点：如何解斜三角形。难点：如何作高，将斜三角形转化为直角三角形。教学过程：一、情景创设首先抛出一个问题：三角形按角分类会有哪些？点名一个学生回答，在学生回答的同时，在白板上同时板书：三角形分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，其中“锐角三角形”和“钝角三角形”统称为“斜三角形”。上一节课，我们学习了如何解直角三角形，今天，就让我们一起学习一下，如何解剩下来的两类三角形，即“斜三角形”。二、例题展示：例 1.如图，ABC 中，B=30，C=45,按下列要求求值：AB=8,求 AC、BC;BC=8,求 AB、AC.思考：三边有比值关系吗？简析：此例题是属于已知“两角一边”的斜三角形情形，要将其转化为上节课学过的直角三角形问题，题中出现了两个角度，要分别放在两个直角三角形中才能起作用，因此要过A点向 BC 作高，从而转化为“解直角三角形”。学生活动：先让学生自行思考解决，再提问学生回答。设计意图：“三边有比值关系吗？”这个问题，旨在让学生体会到当两个角是定值的时候，这个三角形的形状也就定下来了，即三边比值是确定的，如果再知道任意一条边，那么这个三角形的其余两条边一定可以求出来。变式：如图，ABC 中，B=15，C=45,按下列要求求值：AB=8,求 AC、BC;AC=8,求 AB、BC.简析：学生很容易受上一道例题的影响，过 A 作 BC 上的高，但这里的 15三角函数暂时是未知的（当然可以通过别的途径求出来，不过计算量较大，不是本节课的重点）。我们可以引导学生发现三角形的外角有我们熟悉的特殊角，所以应该过B 点向 AC 作高（在形外）。学生活动：先让学生自行思考解决，再提问学生回答。设计意图：让学生体会到作高不一定在三角形的内部，也有可能在外部，总之目的是把能够求出三角函数的角放在直角三角形内。BCABCA小试牛刀：如图，ABC中，tanB=31,tanC=21,BC=10,求 AB.简析：本题与之前的两题稍有不同，没有给出特殊角，而是非特殊角的三角函数值，其实处理策略还是一样的，要把B 和 C 分别放在两个直角三角形中。学生活动：先让学生自行思考，然后小组讨论，最后再提问学生回答。设计意图：让学生知道有的时候题目并不会给出特殊角，但如果能知道非特殊角的三角函数值，是一样可以解决问题的。反思：已知两角一边的斜三角形，应该如何作高转化为直角三角形呢？答：过非特殊角或未知角顶点作高，其目的是把特殊角或已知角放在直角三角形中。例 2.如图，ABC 中，B=30，AB=8,BC=63，求 AC.简析：此例题是属于已知“两边一角”（SAS）的斜三角形情形，根据上节课的知识可以知道，我们要把其中的一边和一角放在同一个直角三角形中才能起作用，因此过A 向 BC 作高或者过C 向 AB 作高，就可以转化为有用的直角三角形。学生活动：先让学生自行思考解决，再提问学生回答。设计意图：让学生知道有时候题目中只会给出一个角，这个时候依然要把已知角放在直角三角形中，如果再把已知的一条边也放在这个直角三角形中，效果会更好。变式 1：ABC 中，AB=8,B=30，AC=63,求 BC.变式 2：ABC 中，AB=8,B=30，AC=6,求 BC.简析：此两个变式也是属于已知“两边一角”的斜三角形情形，不过与上一例题不同的是它们属于“SSA”问题，之所以没有给出图形，是想让学生意识到此时三角形的现状并没有定下来，BC 的长度会受AC 长度的影响。不过，将“一边一角”尽可能放在同一个直角三角形的思想是不变的，即都是过B 向 BC 作高。学生活动：先让学生自行思考解决，再提问学生回答。设计意图：让学生明确SSA 的题目，答案有可能是不止一个，具体情况要根据图形进行分析。反思：已知两边一角的斜三角形，应该如何作高转化为直角三角形呢？答：作高，其宗旨是把一边一角放在同一个直角三角形中。另：已知三边的斜三角形问题，留作学生课后思考。课堂上，教者可以稍微提一下。三、巩固应用：拓展提高：如图，在 ABC 中，AB=AC=10，sinC=53，点 D 是 BC上一点，且 DC=AC求 tan BAD.简析：本题较为复杂，因为涉及到解两个斜三角形，分别为ADC、ABD。首先，先解ADC，是属于“两边一角”，可以过A 向 CD 作高，求出BD，然后再放在ABD中考虑，同样也属于“两边一角”问题，可以过D 向 AB 作高。当然，本题也有其它方法，但终究是要转化为解直角三角形问题。学生活动：先让学生自行思考解决，再提问学生回答。设计意图：从简单到复杂，本身就符合人的认知规律，为了培养学生分析问题的能力，解决些复杂问题是必须的。四、总结提升：谈谈你的收获。BCABCA