2023年凸函数在高考中的应用.pdf

凸函数在高考中的应用 函数是高中数学中的边缘知识点，在苏教版高一新教材中由指数函数和对数函数中的两道探究拓展题（）涉及，在人教版中由的探索与研究阅读材料涉及。在近两年的高考中，全国各地的高考题和模拟题对函数的这一性质都有所考查。凸函数的定义有几何定义、代数定义、切线定义等几种形式（1）凸函数的几何定义（引自人教版高一数学教材）函数，任意，如果函数在区间上的图像总是在线段的下方，我们就说函数的图像在区间 D上是下凸的，这样的函数叫下凸函数；函数，任质，如果函数在区间上的图像总是在线段的上方，我们就说函数的图像在区间 D上是上凸的，这样的函数叫上凸函数。（2）凸函数的代数定义 设 f(x)是定义在区间 D上的函数，若对于任何和实数，有，则称 f(x)是 D上的下凸函数。设 f(x)是定义在区间 D上的函数，若对于任何和实数有，则称 f(x)是 D上的上凸函数。（3）凸函数的切线定义（引自华东师大编写数学分析）：设函数在（a，b）内可导，若曲线位于其每点处切线的上方，则称曲线是向下凸的；设函数在（a，b）内可导，若曲线位于其每点处切线的下方，则称曲线是向上凸的。（4）两个定理 定理 1：设函数在（a，b）内可导，则曲线在（a，b）内是向下（上）凸的充要条件是导函数（a，b）内递增（递减）；定理 2：设函数在（a，b）二阶可导，则曲线在（a，b）内是向下（上）凸的充要条件是（5）琴生不等式 如果函数 f(x)在区间 D上是上凸函数，则对于区间内的任意，有，当且仅当时，等号成立。如果函数 f(x)在区间上是下凸函数，则对于区间内的任意，有，当且仅当时，等号成立。在最近几年的高考中，对凸函数的考查以各种形式出现。例 1 在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3 分析：在凸函数的代数定义中，令得到严格上凸函数的条件，本题考查的就是凸函数的定义，显然在以上四个函数中，只有在（0，1）上是严格上凸的。例 2 苏教版课本探究题（1）对于任意的，若函数，试比较与的大小关系；（2）对于任意的，若函数，试比较与的大小关系；分析：由图像可知，函数也是严格的下凸函数，则；函数是严格的上凸函数，则。与此类似，1994 年全国文科试卷，考查了一道有关凸性的题：已知函数（且），若，判断与的大小，并加以证明。例 3 对于函数 f(x)定义域中任意，有如下结论：（1）；（2）（3）；（4）。当时，上述结论中正确结论的序号是_。分析：本题是考查函数的性质，其中涉及函数的凸性，函数是严格上凸的，则应满足，本题结论为。例 4 已知四个函数（1），（2），（3）（4），其中满足性质的函数有_个。分析：本题考查的是函数凸性的一般定义，不妨令，则，以上条件变形为，即函数下凸的条件，注意到一次函数即是上凸的，又是下凸的，所以本题（1）（2）（3）（4）都满足条件。例 5 证明以下等式 （1）若 a、b、c 为正实数，求证：（2）在ABC中，求证：（3）设，证明：分析：本例是几个典型的构造凸函数证明不等式的问题，解决这一类问题的关键是要构造合理的凸函数。证明：（1）考查函数，其二阶导数，故其为下凸函数。由下凸函数的琴生不等式得即 而函数单调递增，故 而，两式联立即得。（2）证明：考查正弦函数，在（0，）上为凸函数，由上凸函数的琴生不等式得 即（3）证明：考查函数，其二阶导数，故其为下凸函数，所以 例 6 （1）设函数，求 f(x)的最小值；（2）设正数满足，求证：分析：本题第二小问是这几年中考考查函数的凸性比较难的一道题，很多杂志都给出了用数学归纳法等方法解决此问的解法，其实这道题的命题背景是利用函数的凸性，结合琴生不等式证明不等式的问题，在此仅证（2）。证明：（2）考查函数，则，由凸函数的导数定义，知函数为下凸函数，由下凸函数的琴生不等式得 因为代入得 即 整理得：其实，我们可以编拟出很多这种利用函数的凸性，结合凸函数的琴生不等式构造的不等式，在此编写两则，供读者参考。1、设。证明：（1）（2）提示：考查函数，其中（）上为上凸函数；考查，其在（）上也为上凸函数，利用上凸函数的琴生不等式可得。2、已知正实数满足，求证：提示：考查函数。因，故该函数为下凸函数，利用下凸函数的琴生不等式可得。