2023年函数的最值知识点归纳总结全面汇总归纳与经典题型全面汇总归纳.pdf

1 函数的最值 知识梳理 1.函数最大值 一般地，设函数()yf x的定义域为I.如果存在实数M满足：对于任意x都有()f xM.存在0 xI，使得0()f xM.那么，称M是函数()yf x的最大值.2.函数最小值 一般地，设函数()yf x的定义域为I.如果存在实数M满足：对于任意x都有()f xM.存在0 xI，使得0()f xM.那么，称M是函数()yf x的最小值.注意：对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素 3.函数的最值与其单调性的关系（1）若函数在闭区间,a b上是减函数，则()f x在,a b上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)；（2）若函数在闭区间,a b上是增函数，则()f x在,a b上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)4二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出()yf x的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得 例题精讲【例 1】求函数()3f xx在0,3 上的最大值和最小值 解：因为函数()3f xx在0,3 上单调递增 所以()3f xx在0,3 上的最大值为(3)3 39f ；()3f xx在0,3上的最小值为(0)3 00f ；【例 2】求函数12xy在区间2，6 上的最大值和最小值 解：函数12xy的图象如下图所示，所以12xy在区间2，6 上单调递减；所以12xy在区间2，6 上的最大值为222 1；最小值为226 15.2 题型一 利用图象求最值【例 3】求下列函数的最大值和最小值.（1）25 332,2 2yxxx （2）|1|2|yxx 解：（1）二次函数232yxx 的对称轴为 x1.画出函数的图象，由下图，可知：当1x 时，max4y；当32x 时，min94y.所以函数25 332,2 2yxxx 最大值为 4，最小值为94.（2）3,2|1|2|21,123,1xyxxxxx 作出函数图象，如下图，可知：3,3y 所以函数的最大值为 3,最小值为3.题型二 利用函数单调性求最值【例 4】求函数9()f xxx 在1,3x上的最大值和最小值.分析：先判断函数的单调性，再求最值.解：因为1213xx 所以12121299()()()f xf xxxxx 121299()xxxx 2112129()xxxxx x 12129()(1)xxx x 因为1213xx 所以120 xx，129x x 所以12910 x x，所以12()()0f xf x,12()()f xf x 所以9()f xxx 在区间1,3上单调递减；所以求函数()f x在1,3x上的最小值为918(3)333f ，最大值为9(1)1101f .题型三 函数最值的应用 3 【例 5】已知函数22()xxaf xx，1,)x（1）当12a 时，求函数()f x的最小值.（2）若对任意的1,)x，()0f x 恒成立，试求a的取值范围.解：（1）当12a 时，2122()xxf xx 设121xx 则12121211()()(2)(2)22f xf xxxxx 21121212121221()()22xxx xxxxxx xx x 因为120 xx，所以1221x x，12210 x x 所以12()()0f xf x，12()()f xf x 所以()f x在区间1,)上单调递增 所以的最小值为17(1)1222f .（2）()0f x 对1,)x恒成立 220 xxa 对1,)x恒成立 22axx 对1,)x恒成立 令222(1)1uxxx ，其在1,)上是减函数，当1x 时，max3u.因此3a .故实数a的取值范围是(3,)课堂练习 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1函数 f(x)2x6 x1，2x7 x1，1，则 f(x)的最大值、最小值分别为()A10,6 B10,8 C8,6 D以上都不对 2已知 f(x)在 R上是增函数，对实数a、b 若 ab0，则有()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)4 Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)3.若 f(x)x22ax 与 g(x)ax1在区间1,2上都是减函数，则 a 的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(1,0)(0,1 C(0,1)D(0,1 4函数 y|x3|x1|有()A最大值 4，最小值 0 B最大值 0，最小值4 C最大值 4，最小值4 D最大值、最小值都不存在 5函数 yx210 x11 在区间1,2上的最小值是_ 6如果函数 f(x)x22x 的定义域为m，n，值域为3,1，则|mn|的最小值为_ 7.已知函数2()23f xxx，若,2xt t时，求函数()f x的最值.8.求函数()1xf xx在区间2,5上的最大值和最小值.9.已知函数 f(x)x22ax2，x 5，5.5 （1）当 a1 时，求 f(x)的最大值和最小值；（2）求使函数 yf(x)在区间5，5上是单调函数的 a 的取值范围