2023年届高三理科数学理知识点归纳总结、公式全面汇总归纳A4.pdf

1 2014 届高三理科数学（理）知识点、公式总结 第一部分 集合 1.集合中元素具有确定性、无序性、互异性。2.集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为AA；空集是任何集合的子集，记为A；空集是任何非空集合的真子集；如果BA，同时AB，那么 A=B.如果CACBBA，那么，.3.n 个元素的子集有 2n个.n 个元素的真子集有 2n 1 个.n 个元素的非空真子集有 2n2 个.4.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真，原命题逆否命题.一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.小范围推出大范围；大范围推不出小范围.例：若552xxx，或，反之不行 第二部分 函数 1.函数的三要素：定义域，值域，对应法则。2.函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分，对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在），（），（2110上为减函数.3.指数函数：xay（0,1aa），定义域 R，值域为（,0）.当1a，指数函数：xay 在定义域上为增函数；当01a，指数函数：xay 在定义域上为减函数.当1a 时，xay 的a值越大，越靠近y轴；当01a 时，则相反.4.对数函数：如果a（0,1aa）的b次幂等于N，就是Nab，数b就叫做以a为底的N的对数，记作bNalog（0,1aa，负数和零没有对数）；其中a叫底数，N叫真数。对数运算：nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121loglog.loglog1logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog)(log32log推论：换底公式：（以上12nM0,N0,a0,a1,b0,b1,c0,c1,a,a.a01且）xay（0,1aa）与xyalog互为反函数。当1a 时，xyalog的a值越大，越靠近x轴；当01a 时，则相反。5.奇函数，偶函数：偶函数：)()(xfxf,设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点.yxO1y=axa1y=axa10 2 偶函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于原点对称，例如：12xy在)1,1上不是偶函数。满足)()(xfxf，或0)()(xfxf 奇函数：)()(xfxf,设（ba,）为奇函数上一点，则（ba,）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于原点对称，例如：3xy 在)1,1上不是奇函数。满足)()(xfxf，或0)()(xfxf 6.对称变换：y=f（x）（轴对称xfyy y=f（x）（轴对称xfyx y=f（x）（原点对称xfy 第三部分 直线和圆 一、直线方程 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，直线倾斜角的范围是0180(0)oo.注：当90或12xx 时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有唯一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定。2.把握直线方程的几种形式：点斜式、两点式、斜截式、一般式。3.两条直线平行：1l212kkl两条直线平行的条件是：1l和2l是两条不重合的直线.在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的，因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误。推论：如果两条直线21,ll的倾斜角为21,则1l212l。两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线1l和2l的斜率分别为1k和2k，则有12121kkll这里的前提是21,ll的斜率都存在。0121kll，且2l的斜率不存在或02k，且1l的斜率不存在.（即01221BABA是垂直的充要条件）4.点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点),(00yxP，直线PCByAxl,0:到l的距离为d，则有2200BACByAxd.两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211CCCByAxlCByAxl，它们之间的距离为d，则有2221BACCd.5.关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等。关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等。若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线。点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称 3 点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.1.圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax。特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx。2.圆的一般方程：022FEyDxyx 当2240DEF时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr。当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.当0422FED时，方程无图形（称虚圆）。注：圆的参数方程：sincosrbyrax（为参数）.方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0 CA且2240DEAF。3.直线和圆的位置关系：设圆圆C：222()()(0)xaybrr；直线l：)0(022BACByAx；(1)圆心),(baC到直线l的距离22BACBbAad.rd 时，l与C相切；dr时，l与C相交；dr时，l与C相离.(2)由代数特征判断：方程组0)()(222CBxAxrbyax用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为，则：A.l 0与C相切；B.0l 与C相交；C.0l 与C相离.第四部分 三角函数 1.与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：Zkk,360|熟悉如终边在x 轴上的角的集合：Zkk,180|2.角度与弧度的互换关系：360=2 180=1=0.01745 1=57.30=5718 3.三角函数的公式：（一）基本关系 1）同角的三角函数：22sincos1xx sintancosxxx 2）诱导公式：形如：sin()2k（或cos()2k）方法：奇变偶不变，符号看象限。如：)23sin(cos，)3tan(tan。（二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 sinsincoscos)cos(cossin22sin sinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos2cos sincoscossin)sin(2tan1tan22tan sincoscossin)sin(4 tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(5.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：定义域 R R 值域 1,1 1,1 R 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 22,22kk 上为增函数；223,22kk 上为减函数（Zk）2,12kk；上为增函数12,2kk上为减函数（Zk）kk2,2 上为增函数（Zk）对称性 对称轴为2xk，对称中心为(,0)k，kZ对称轴为xk，对称中心为(,0)2k kZ 无对称轴，对称中心为(,0)2k kZ 注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy 在,ba上递增（减），则)(xfy在,ba上递减（增）.xysin与xycos的周期是.)sin(xy的对称轴方程是2xk（Zk），对称中心（1(),0k）；)cos(xy的对称轴方程是xk（Zk），对称中心（11(),02k）；)tan(xy的对称中心（1(),02k）.函数xytan在R上为增函数说法是错误的.只能在某个单调区间单调递增。若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的。xysin为周期函数（T）；xycos为周期函数（T）；辅助角公式：)tan)(sin(sincos22abbabay其中。第五部分 向量与解三角形 1.长度相等且方向相同的两个向量是相等的量。2.a=a aaa baba 设 Ryxbyxa,2211 2121,yyxxba 2121,yyxxba 21,yxa 2121yyxxba 2121yxa（向量的模，针对向量坐标求模）平面向量的数量积：cosbaba abba bababa cbcacba 注意：cbacba不一定成立；cbbaca.向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小。长度为 0 的向量叫零向量，记0，0与任意向量平行，0的方向是任意的，零向量与零向量ZkkxRxx,21|且xytanxycosxysin 5 相等，且00。aa=2|a，|a=2a（针对向量非坐标求模），|ba|ba。当0a时，由0 ba不能推出0b，这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有ab=0。若ab，bc，则ac是不成立的，因为当b等于0时，不成立。3.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ab（平行向量或共线向量）。当0,ar与b共线同向：当0,a与b共线反向；当,0则为0,0与任何向量共线。设a=11,yx，22,yxb ab01221yxyxbababa ab001221yyxxba 两个向量a、b的夹角公式：222221212121cosyxyxyyxx 三角形重心坐标公式：ABC 的顶点332211,yxCyxByxA，重心坐标 yxG,：注意：在ABC 中，若 0 为重心，则0OCOBOA，这是充要条件。平移公式：若点 P yx,按向量a=kh,平移到 P,yx，则kyyhxx 4.正弦定理：设ABC 的三边为 a、b、c，所对的角为 A、B、C，则RCcBbAa2sinsinsin。余弦定理：CababcBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222(4)三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点 垂心：三角形三边上的高相交于一点.第六部分 数列 1.等差、等 比数列：看数 列是 不是 等差 数列 有以 下三 种方法：),2(1为常数dndaann 211nnnaaa(2n)bknan(kn,为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：等差数列 等比数列 定义 daann 1)0(1qqaann 递推公式 daann 1；mdaanmn qaann1；mnmnqaa 通项公式 dnaan)1(1 11nnqaa（0,1qa）中项 2knknaaA（0,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,*knNkn）前n项和)(21nnaanS dnnnaSn2)1(1 )2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn 重要性质 33321321yyyyxxxx),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm 6)0,2(1且为常数qnqaann 112nnnaaa(2n，011nnnaaa)nncqa(qc,为非零常数).数列na的前n项和nS与通项na的关系：)2()1(111nssnasannn 2.等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍.,232kkkkkSSSSS；若等差数列的项数为 2 Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；若等差数列的项数为 Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇 得到所求项数到代入12 nn.5.数列常见的几种形式：（1）rPaann 1（P、r 为常数）用构造转化等差，等比数列；逐项选代；转化等差，等比：1)(11PrxxPxPaaxaPxannnn.6.几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为nS，在0d 时，有最大值，如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使10,0nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值。如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和，例如：,.21)12,.(413,211nn 两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21dd，的最小公倍数。第七部分 不等式 1.平方平均算术平均几何平均：2222ababab（当 a=b 时取等）特别地，222()22ababab（当 a=b 时，222()22ababab）绝对值不等式：123123,(0)aaaaaaababab ab 时,取等 算术平均几何平均（a1、a2an为正数）：1212nnnaaaa aan LL（a1=a2=an时取等）(5)常用不等式的放缩法：21111111(2)1(1)(1)1nnnn nnn nnn 11111(1)121nnnnnnnnnn 第八部分 导数 1.导数（导函数的简称）的定义：)(0 xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000.2.导数的几何意义：函数)(xfy 在点0 x处的导数的几何意义就是曲线)(xfy 在点)(,(0 xfx处的切线的斜率，也就 7 是说，曲线)(xfy 在点 P)(,(0 xfx处的切线的斜率是)(0 xf，切线方程为).)(00 xxxfyy 3 求导数的四则运算法则：)(vuvu)(.)()()(.)()(2121xfxfxfyxfxfxfynn)()(cvcvvccvuvvuuv（c为常数）)0(2vvuvvuvu 5.复合函数的求导法则：)()()(xufxfx或xuxuyy 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形。6.函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数)(xfy 在某个区间内可导，如果)(xf0，则)(xfy 为增函数；如果)(xf0，则)(xfy 为减函数。常数的判定方法；如果函数)(xfy 在区间I内恒有)(xf=0，则)(xfy 为常数.注：0)(xf是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如32xy 在),(上并不是都有0)(xf，有一个点例外即 x=0 时 f（x）=0，同样0)(xf是 f（x）递减的充分非必要条件。一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的。7.极值的判别方法：（极值是在0 x附近所有的点，都有)(xf)(0 xf，则)(0 xf是函数)(xf的极大值，极小值同理）,当函数)(xf在点0 x处连续时，如果在0 x附近的左侧)(xf0，右侧)(xf0，那么)(0 xf是极大值；如果在0 x附近的左侧)(xf0，右侧)(xf0，那么)(0 xf是极小值。8.几种常见的函数导数：I.0C（C为常数）xxcos)(sin 1)(nnnxx（Rn）xxsin)(cos II.xx1)(ln exxaalog1)(log xxee)(aaaxxln)(第九部分 立体几何 一、空间直线.1.空间直线位置分三种：相交、平行、异面。相交直线共面有反且有一个公共点；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面内 2.异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。4.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围180,0）（直线与直线所成角90,0）（斜线与平面成角90,0）（直线与平面所成角 90,0）（向量与向量所成角)180,0 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等。二、直线与平面平行、直线与平面垂直.1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内。2.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直12方向相同12方向不相同 8 线和这个平面平行。（“线线平行，线面平行”）3.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（“线面平行，线线平行”）直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面。（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。三、平面平行与平面垂直.1.空间两个平面的位置关系：相交、平行。2.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行。3.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。（“面面平行，线线平行”）4.两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直。两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面。（“线面垂直，面面垂直”）5.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面。推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面。6.球：球的截面是一个圆面.球的表面积公式：24 RS.球的体积公式：334RV.六.空间向量.1.空间向量基本定理：如果三个向量cba,不共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组 x、y、z，使czbyaxp。推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组 x、y、z 使 OCzOByOAxOP(这里隐含 x+y+z1)。3.（1）空间向量的坐标：可参考平面向量的运算（2）求向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中A，则点 B到平面的距离为|nnAB。利用法向量求二面角的平面角定理：设21,nn分别是二面角 l中平面,的法向量，则21,nn所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（可观察是锐角还是钝角）。证直线和平面平行定理：已知直线a平面，DCaBA,，且 CDE三点不共线，则a的充要条件是存在有序实数对使CECDAB.（常设CECDAB求解,若,存在即证毕，若,不存在，则直线AB 与平面相交）。第十部分 圆锥曲线 一、椭圆方程.1.椭圆方程定义：9 121212121212122,2,2,PFPFaF FPFPFaF FPFPFaF FFF方程为椭圆无轨迹以为端点的线段 椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在 x 轴上：22221(0)xyabab.ii.中心在原点，焦点在y轴上：22221(0)yxabab.一般方程：)0,0(122 BAByAx.椭圆的标准参数方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（一象限应是属于02）.顶点：),0)(0,(ba或)0,)(,0(ba.轴：对称轴：x 轴，y轴；长轴长a2，短轴长b2.焦点：)0,)(0,(cc或),0)(,0(cc.焦距：2221,2baccFF.准线：cax2或cay2.离心率：(01)ceea.二、双曲线方程.1.双曲线定义：12121212121212222,PFPFaF FPFPFaF FPFPFaF FFF方程为双曲线无轨迹以的一个端点的一条射线 双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222babxaybabyax.一般方程：)0(122ACCyAx.i.焦点在 x 轴上：顶点：)0,(),0,(aa 焦点：)0,(),0,(cc 准线方程cax2 渐近线方程：0byax或02222byax ii.焦点在y轴上：顶点：),0(),0(aa.焦点：),0(),0(cc.准线方程：cay2.渐近线方程：0bxay或02222bxay，.轴yx,为对称轴，实轴长为 2a,虚轴长为 2b，焦距 2c.离心率ace.准线距ca22（两准线的距离）；通径ab22.参数关系acebac,222.等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.例如：若双曲线一条渐近线为xy21且过)21,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422yx，代入)21,3(得12822yx.三、抛物线方程.10 3.设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22 pxy22 pyx22 pyx22 图形 yxO yxO yxO yxO 焦点)0,2(pF)0,2(pF )2,0(pF)2,0(pF 准线 2px 2px 2py 2py 范围 Ryx,0 Ryx,0 0,yRx 0,yRx 对称轴 x轴 y轴 顶点（0，0）离心率 1e 注：xcbyay2顶点)244(2ababac.第十一部分 复数 1.复数的单位为 i，它的平方等于1，即1i2.复数及其相关概念：复数形如 a+bi 的数（其中Rba，）；实数当 b=0 时的复数 a+bi，即 a；虚数当0b时的复数 a+bi；纯虚数当 a=0 且0b时的复数 a+bi，即 bi.复数 a+bi 的实部与虚部a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意 a，b 都是实数）复数集 C全体复数的集合，一般用字母 C 表示.两个复数相等的定义：00babiaRdcbadbcadicbia）特别地，（其中，且.两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.2.复平面内的两点间距离公式：21zzd.其中21zz，是复平面内的两点21zz 和所对应的复数，21zzd和表示间的距离.由上可得：复平面内以0z为圆心，r为半径的圆的复数方程：）（00rrzz.常用的结论：1,1,143424142nnnniiiiiii )(,0321Zniiiinnnn iiiiiiii11,11,2)1(2 第十二部分 概率与统计 一、概率.1.概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.2.等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事 11 件 A 的概率nmP(A).3.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B 互斥，那么事件A+B发生(即 A、B 中有一个发生)的概率，等于事件 A、B 分别发生的概率和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A)P(A)P(A)AAP(An21n21.对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.例如：从 152 张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.注意：i.对立事件的概率和等于 1：1)AP(A)AP(P(A).ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(A B)=P(A)P(B).由此，当两个事件同时发生的概率 P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.推广：若事件n21,A,AA相互独立，则)P(A)P(A)P(A)AAP(An21n21.注意：i.一般地，如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与AB,与 B，A与B也都相互独立.ii.必然事件与任何事件都是相互独立的.iii.独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.独立重复试验：若 n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这 n 次试验是独立的.如果在一次试验中某事件发生的概率为 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率：knkknnP)(1PC(k)P.4.对任何两个事件都有)()()()(BAPBPAPBAP 二、随机变量.1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若 是一个随机变量，a，b 是常数.则ba也是一个随机变量.一般地，若 是随机变量，)(xf是连续函数或单调函数，则)(f也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量 可能取的值为：,21ixxx 取每一个值),2,1(1ix的概率iipxP)(，则表称为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.1x 2x ix P 1p 2p ip 有性质,2,1,01 ip；121ippp.3.二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是：knkknqpCk)P(其中pqnk1,1,0 于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称这样的随机变量 服从二项分布，记作B（n p），其中 n，p 为参数，并记p)nb(k;qpCknkkn.互斥对立 12 二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4.超几何分布：一批产品共有 N 件，其中有 M（MN）件次品，今抽取)Nnn(1件，则其中的次品数 是一离散型随机变量，分布列为)MNknM,0k(0CCCk)P(nNknMNkM.分子是从M 件次品中取k 件，从 N-M 件正品中取 n-k件的取法数，如果规定mr时0Crm，则 k 的范围可以写为 k=0，1，n.三、数学期望与方差.1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为 1x 2x ix P 1p 2p ip 则称nnpxpxpxE2211为 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.随机变量ba的数学期望：baEbaEE)(2)两点分布：ppqE10，其分布列为：（p+q=1）(3)二项分布：npE 其分布列为),(pnB.（P为发生的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量 的分布列为),2,1()(kpxPkk时，则称nnpExpExpExD2222121)()()(为 的方差.显然0D，故.D为 的根方差或标准差.随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.随机变量ba的方差DabaDD2)()(.（a、b 均为常数）(2)两点分布：pqD 其分布列为：（p+q=1）(3)二项分布：npqD 5.期望与方差的关系.如果E和E都存在，则EEE)(设 和是互相独立的两个随机变量，则DDDEEE)(,)(第十三部分 计数原理与二项式定理 一、两个原理.1.乘法原理、加法原理.2.可以有重复元素的排列.从 m 个不同元素中，每次取出 n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二第 n 位上选取元素的方法都是 m 个，所以从 m 个不同元素中，每次取出 n个元素可重复排列数 mm m=mn.例如：n 件物品放入 m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：nm种）二、排列.1.对排列定义的理解.0 1 P q p 13 定义：从 n 个不同的元素中任取 m(m n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.排列数.从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素排成一列，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数，用符号mnA表示.排列数公式：!(1)(1)(,)()!mnnAn nnmmn n mNnm L 注意：!)!1(!nnnn 规定 0!=1 111mnmnmnmmmnmnmAACAAA 11mnmnnAA 规定10nnnCC 三、组合.1.组合：从 n 个不同的元素中任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合.组合数公式：)!(!)1()1(mnmnCmmnnnAACmnmmmnmn 常用计算公式：;mn mnnCC (3)排列与组合的联系与区别.联系：都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(4)几个常用组合数公式 012024135122nnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCC LLL 四、排列、组合综合.1.I.排列、组合问题几大解题方法及题型：直接法.排除法.捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”例如有 n 个不同座位，A、B 两个不能相邻，则有排列法种数为2nA2211AAn.有 n 件不同商品，若其中 A、B 排在一起有2211AAnn.有 n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112nnnAA.注：区别在于是确定的座位，有22A种；而的商品地位相同，是从 n 件不同商品任取的 2 个，有不确定性.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.平均分组法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组 n 个，共有kknnnnknknACCC)1(.14 例如：从 1，2，3，4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法？有3!224C（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将 200 名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!2/102022818CCCP）定位问题：从n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内，并且都排在某 r 个指定位置则有rkrnrrAA.例如：从 n 个不同元素中，每次取出 m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11mnA；不在某一位置上：11mnmnAA或11111mnmmnAAA（一类是不取出特殊元素 a，有mnA1，一类是取特殊元素 a，有从 m-1个位置取一个位置，然后再从 n-1个元素中取 m-1，这与用插空法解决是一样的）II.排列组合常见解题策略：特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；正难则反，等价转化策略；相邻问题插空处理策略；不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略；“小集团”排列问题中先整体后局部的策略。五、二项式定理.1.二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)(.展开式具有以下特点：项数：共有1n项；系数：依次为组合数;,210nnrnnnnCCCCC 二项展开式的通项.nba)（展开式中的第1r项为：),0(1ZrnrbaCTrrnrnr.二项式系数的性质.在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；二项展开式的中间项二项式系数最大.I.当 n 是偶数时，中间项是第12n项，它的二项式系数2nnC最大；II.当 n 是奇数时，中间项为两项，即第21n项和第121n项，它们的二项式系数2121nnnnCC最大.系数和：1314201022nnnnnnnnnnnCCCCCCCC 附：一般来说babyaxn,()(为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解.当11ba或时，一般采用解不等式组11111(,kkkkkkkkkkTAAAAAAAAA为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.