2023年三角函数解三角形知识点总结归纳全面汇总归纳例题剖析1.pdf
学习必备 欢迎下载 三角函数 5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr 6、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，7、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slrr8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是,x y，它与原点的距离是220r rxy，则sinyr，cosxr，tan0yxx 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正11、角三角函数的基本关系：221 sincos12222sin1 cos,cos1 sin ；sin2tancossinsintancos,costan12、函数的诱导公式：1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk 2 sinsin ，coscos ，tantan 3 sinsin，coscos，tantan 4 sinsin，coscos ，tantan 口诀：函数名称不变，符号看象限 5 sincos2，cossin2 6 sincos2，cossin2 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限 13、的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx 的图象 14、函数sin0,0yx 的性质：振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：学习必备 欢迎下载 sinyx cosyx tanyx 图象 定义域 R R,2x xkk 值域 1,1 1,1 R 最值 当22xkk时，max1y；当22xk k时，min1y 当2xkk时，max1y；当2xk k时，min1y 既无最大值也无最小值 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,222kk k上是增函数；在 32,222kk k上是减函数 在2,2kkk 上是增函数；在2,2kk k上是减函数 在,22kk k上是增函数 对称性 对称中心,0kk 对称轴2xkk 对称中心,02kk 对称轴xkk 对称中心,02kk 无对称轴 余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角）11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 设a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90C；若222abc，则90C 函数 性 质 原点的距离是则三角函数在各象限的符号第一象限全为正第二象限正弦向左右平移个单位长度得到函数的图象再将函数的图象上所有点的横坐初相正弦函数余弦函数和正切函数的图象与性质学习必备欢迎下载图象学习必备 欢迎下载 若222abc，则90C 2.ABC 中，coscoscosabcABC，则 ABC 一 定 是 （D）A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 3.ABC中，60B，2bac，则ABC一定是 （D）A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 三角恒等变换和解三角形基本知识回顾 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin 22sincos令 2222222coscoscossinsincos 2cossin2cos11 2sintantan1+cos2tancos1tantan21 cos2sin22tantan21tan令 例：（3）已 知 35sin()coscos()sin ，那么2cos的值为_（答：725）；2.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角 之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()，2()()，2()()，22 ，222 等），正余弦“三兄妹sincos sin cosxxxx、”的内存联系“知一求二”，例（1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是_（答：322）；例（2）求值sin50(13 tan10)（答：1）；例（3）已知sincos21,tan()1 cos 23 ，求tan(2)的值（答：18）例（4）函数255 3f(x)sin xcos xcos x532(xR)的单调递增区间为_（答：51212 k,k(kZ)）例（5）若 sincosxxt，则sincosxx _（答：212t)，特别提醒：这里2,2t；例（6）若1(0,),sincos2，求tan的值。（答：473）；3、辅助角公式中辅助角的确定：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由 a,b 的符号确定，角的值由tanba确定)原点的距离是则三角函数在各象限的符号第一象限全为正第二象限正弦向左右平移个单位长度得到函数的图象再将函数的图象上所有点的横坐初相正弦函数余弦函数和正切函数的图象与性质学习必备欢迎下载图象学习必备 欢迎下载 在求最值、化简时起着重要作用。变式训练 1：在ABC 中，角 A、B、C 满足 4sin22CA-cos2B=27,求角 B的度数.解 在ABC 中，A+B+C=180,由 4sin22CA-cos2B=27,得 42)cos(1CA-2cos2B+1=27,所以 4cos2B-4cosB+1=0.于是 cosB=21,B=60.(2007 四川)已知0,1413)cos(,71cos且2,()求2tan的值.（）求.【解题思路】由同角关系求出tan再求tan 2；又 结合角的范围定角。解析（）由1cos,072，得2214 3sin1 cos177 sin4 37tan4 3cos71，于是 222tan2 4 38 3tan21tan4714 3 （）由02 ，得02 又13cos14，22133 3sin1cos11414 由 得：coscos coscossinsin 1134 33 317147142,所以3变式训练 3：.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数f(x)=cos(2x+3)+sin2x.(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期.(2)设A,B,C为ABC的三个内角，若 cosB=31，1()24cf，且C为锐角，求 sinA.解:（1）f(x)=cos(2x+3)+sin2x.=1cos 213cos 2 cossin2 sinsin233222xxxx 所以函数 f(x)的最大值为132,最小正周期.（2）()2cf=13sin22C=41,所以3sin2C,因为 C为锐角,所以3C,原点的距离是则三角函数在各象限的符号第一象限全为正第二象限正弦向左右平移个单位长度得到函数的图象再将函数的图象上所有点的横坐初相正弦函数余弦函数和正切函数的图象与性质学习必备欢迎下载图象学习必备 欢迎下载 又因为在ABC 中,cosB=31,所以 2sin33B,所以 21132 23sinsin()sincoscossin232326ABCBCBC .变式训练 5：(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2)0(sinsincos2cossin2xxx在x处取最小值.（1）求.的值;（2）在ABC中,cba,分别是角 A,B,C 的对边,已知,2,1 ba23)(Af,求角 C.解:（1）1cos()2sincossinsin2f xxxx sinsincoscossinsinxxxx sincoscossinxx sin()x 因为函数f(x)在x处取最小值，所以sin()1 ,由诱导公式知sin1,因为0 ,所以2.所以()sin()cos2f xxx （2）因为23)(Af,所以3cos2A,因为角 A为ABC的内角,所以6A.又因为,2,1 ba所以由正弦定理,得sinsinabAB,也就是sin12sin222bABa,因为ba,所以4B或43B.当4B时,76412C ;当43B时,36412C .【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.变式训练六：2009 全国卷理）在ABC中，内角 A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC 求 b 解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22abcbcaacabbc 化简并整理得：2222()acb.又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍）.原点的距离是则三角函数在各象限的符号第一象限全为正第二象限正弦向左右平移个单位长度得到函数的图象再将函数的图象上所有点的横坐初相正弦函数余弦函数和正切函数的图象与性质学习必备欢迎下载图象学习必备 欢迎下载 原点的距离是则三角函数在各象限的符号第一象限全为正第二象限正弦向左右平移个单位长度得到函数的图象再将函数的图象上所有点的横坐初相正弦函数余弦函数和正切函数的图象与性质学习必备欢迎下载图象
