2023年完整小升初数学重点知识点归纳总结梳理.pdf

数学 13 种典型例题口诀及解析 1.正方体展开图 正方体有 6 个面，12 条棱，当沿着某棱将正方体剪开，可以得到正方体的展开图形，很显然，正方体的展开图形不是唯一的，但也不是无限的，事实上，正方体的展开图形有且只有 11种，11 种展开图形又可以分为 4 种类型：141 型 中间一行 4 个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有 6 种基本图形。231 型 中间一行 3 个作侧面，共 3 种基本图形。222 型 中间两个面，只有 1 种基本图形。33 型 中间没有面，两行只能有一个正方形相连，只有 1 种基本图形。2.和差问题 已知两数的和与差，求这两个数。【口诀】：和加上差，越加越大；除以 2，便是大的；和减去差，越减越小；除以 2，便是小的。例：已知两数和是 10，差是 2，求这两个数。按口诀，则大数=（10+2）/2=6，小数=（10-2）/2=4。3.鸡兔同笼问题【口诀】：假设全是鸡，假设全是兔。多了几只脚，少了几只足？除以脚的差，便是鸡兔数。例：鸡免同笼，有头 36，有脚 120，求鸡兔数。求兔时，假设全是鸡，则免子数=（120-36X2）/（4-2）=24 求鸡时，假设全是兔，则鸡数=（4X36-120）/（4-2）=12 4.浓度问题（1）加水稀释【口诀】：加水先求糖，糖完求糖水。糖水减糖水，便是加糖量。例：有 20 千克浓度为 15%的糖水，加水多少千克后，浓度变为 10%？加水先求糖，原来含糖为：20X15%=3（千克）糖完求糖水，含 3 千克糖在 10%浓度下应有多少糖水，3/10%=30（千克）糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，30-20=10（千克）（2）加糖浓化【口诀】：加糖先求水，水完求糖水。糖水减糖水，求出便解题。例：有 20 千克浓度为 15%的糖水，加糖多少千克后，浓度变为 20%？加糖先求水，原来含水为：20X（1-15%）=17（千克）水完求糖水，含 17 千克水在 20%浓度下应有多少糖水，17/（1-20%）=21.25（千克）糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，21.25-20=1.25（千克)5.路程问题（1）相遇问题【口诀】：相遇那一刻，路程全走过。除以速度和，就把时间得。例：甲乙两人从相距 120 千米的两地相向而行，甲的速度为40 千米/小时，乙的速度为 20 千米/小时，多少时间相遇？相遇那一刻，路程全走过。即甲乙走过的路程和恰好是两地的距离 120 千米。除以速度和，就把时间得。即甲乙两人的总速度为两人的速度之和 40+20=60（千米/小时），所以相遇的时间就为 120/60=2（小时）（2）追及问题【口诀】：慢鸟要先飞，快的随后追。先走的路程，除以速度差，时间就求对。例：姐弟二人从家里去镇上，姐姐步行速度为 3 千米/小时，先走 2 小时后，弟弟骑自行车出发速度 6 千米/小时，几时追上？先走的路程，为 3X2=6（千米）速度的差，为 6-3=3（千米/小时）。所以追上的时间为：6/3=2（小时）。6.和比问题 已知整体求部分。【口诀】：家要众人合，分家有原则。分母比数和，分子自己的。和乘以比例，就是该得的。例：甲乙丙三数和为 27，甲;乙:丙=2:3:4,求甲乙丙三数。分母比数和，即分母为：2+3+4=9；分子自己的，则甲乙丙三数占和的比例分别为 2/9，3/9，4/9。和乘以比例，所以甲数为 27X2/9=6，乙数为：27X3/9=9，丙数为：27X4/9=12。7.差比问题（差倍问题）【口诀】：我的比你多，倍数是因果。分子实际差，分母倍数差。商是一倍的，乘以各自的倍数，两数便可求得。例：甲数比乙数大 12，甲:乙=7：4，求两数。先求一倍的量，12/（7-4）=4，所以甲数为：4X7=28，乙数为：4X4=16。8.工程问题【口诀】：工程总量设为 1，1 除以时间就是工作效率。单独做时工作效率是自己的，一齐做时工作效率是众人的效率和。1 减去已经做的便是没有做的，没有做的除以工作效率就是结果。例：一项工程，甲单独做 4 天完成，乙单独做 6 天完成。甲乙同时做 2 天后，由乙单独做，几天完成？1-（1/6+1/4）X2/（1/6）=1（天）9.植树问题【口诀】：植树多少颗，要问路如何？直的减去 1，圆的是结果。例 1：在一条长为 120 米的马路上植树，间距为 4 米，植树多少颗？路是直的。所以植树 120/4-1=29（颗）。例 2：在一条长为 120 米的圆形花坛边植树，间距为 4 米，植树多少颗？路是圆的，所以植树 120/4=30（颗）。10.盈亏问题【口诀】：全盈全亏，大的减去小的；一盈一亏，盈亏加在一起。除以分配的差，结果就是分配的东西或者是人。例 1：小朋友分桃子，每人 10 个少 9 个；每人 8 个多 7 个。求有多少小朋友多少桃子？一盈一亏，则公式为：（9+7）/（10-8）=8（人），相应桃子为 8X10-9=71（个）例 2：士兵背子弹。每人 45 发则多 680 发；每人 50 发则多200 发，多少士兵多少子弹？全盈问题。大的减去小的，则公式为：（680-200）/（50-45）=96（人）则子弹为 96X50+200=5000（发）。例 3：学生发书。每人 10 本则差 90 本；每人 8 本则差 8 本，多少学生多少书？全亏问题。大的减去小的。则公式为：（90-8）/（10-8）=41（人），相应书为 41X10-90=320（本）11.牛吃草问题【口诀】：每牛每天的吃草量假设是份数 1，A头 B天的吃草量算出是几？M 头 N 天的吃草量又是几？大的减去小的，除以二者对应的天数的差值，结果就是草的生长速率。原有的草量依此反推。公式就是 A 头 B 天的吃草量减去 B 天乘以草的生长速率。将未知吃草量的牛分为两个部分：一小部分先吃新草，个数就是草的比率；有的草量除以剩余的牛数就将需要的天数求知。例：整个牧场上草长得一样密，一样快。27 头牛 6 天可以把草吃完；23 头牛 9 天也可以把草吃完。问 21 头多少天把草吃完。每牛每天的吃草量假设是 1，则 27 头牛 6 天的吃草量是27X6=162，23 头牛 9 天的吃草量是 23X9=207；大的减去小的，207-162=45；二者对应的天数的差值，是9-6=3（天）结果就是草的生长速率。所以草的生长速率是 45/3=15（牛/天）；原有的草量依此反推。公式就是 A头 B天的吃草量减去 B天乘以草的生长速率。所以原有的草量=27X6-6X15=72（牛/天）。将未知吃草量的牛分为两个部分：一小部分先吃新草，个数就是草的比率；这就是说将要求的 21 头牛分为两部分，一部分 15 头牛吃新生的草；剩下的 21-15=6 去吃原有的草，所以所求的天数为：原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12（天）12.年龄问题【口诀】：岁差不会变，同时相加减。岁数一改变，倍数也改变。抓住这三点，一切都简单。例 1：小军今年 8 岁，爸爸今年 34 岁，几年后，爸爸的年龄的小军的 3 倍？岁差不会变，今年的岁数差点 34-8=26，到几年后仍然不会变。已知差及倍数，转化为差比问题。26/（3-1）=13，几年后爸爸的年龄是 13X3=39 岁，小军的年龄是 13X1=13岁，所以应该是 5 年后。例 2：姐姐今年 13 岁，弟弟今年 9 岁，当姐弟俩岁数的和是 40 岁时，两人各应该是多少岁？岁差不会变，今年的岁数差 13-9=4 几年后也不会改变。几年后岁数和是 40，岁数差是 4，转化为和差问题。则几年后，姐姐的岁数：（40+4）/2=22，弟弟的岁数：（40-4）/2=18，所以答案是 9 年后。13.余数问题【口诀】：余数有（N-1）个，最小的是 1，最大的是（N-1）。周期性变化时，不要看商，只要看余。例：如果时钟现在表示的时间是 18 点整，那么分针旋转 1990圈后是几点钟？分针旋转一圈是 1 小时，旋转 24 圈就是时针转 1 圈，也就是时针回到原位。1980/24 的余数是 22，所以相当于分针向前旋转 22 个圈，分针向前旋转 22 个圈相当于时针向前走 22 个小时，时针向前走 22 小时，也相当于向后 24-22=2 个小时，即相当于时针向后拔了 2 小时。即时针相当于是 18-2=16（点）。名称 含义（方法）棱 两个面相交的边叫棱 顶点 三条棱相交的点叫做顶点 长方体的长宽高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长宽高 特殊长方体 长宽高都相等的长方体叫立方体 体积的概念 物体所占空间的大小叫做物体的体积 体积单位 立方米.立方厘米.立方分米 长方体的体积 长宽 高=abh 立方体的体积 棱长棱长棱长=aaa 通用的体积求法 底面积高sh 体积单位换算 1 立方米1000 立方分米 1 立方分米1000 立方厘米 容积单位换算 1 升1000 毫升 1 升1 立方分米 1 毫升1 立方厘米 约数 一个数最小的约数是 1 一个数最大的约数是它本身一个数的约数个数是有限的 倍数 一个数最小的倍数是它本身一个数没有最大的倍数一个数的倍数个数是无限的 能被二整除的数 个位是:0，2，4，6，8 奇数 不能被二整除的数叫做奇数 偶数 能被二整除的数叫做偶数 能被五整除的数 个位是:0，5 能被三整除的数 一个数各个数位上的数字的和能被三整除 素数 一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数 合数 一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，更多学习资料请关注 ABC微课堂 质因数 一个和数可以写成几个素数相乘的形式，每个素数叫做这个和数之质因数 分解质因数 把一个和数用质因数相乘的形式表现出来叫做分解质因数 最大公约数 几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数 互质数 公约数只有 1 的两个数叫互质数 约数时的最大公约数 小数是大数的约数，小数就是这两个数的最大公约数 互质数最大公约数 两个数是互质数，它们最大公约数是 1 最小公倍数 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数 分数大小的比较 分子相同的两个数分母小的那个数比较大，分母相同的两个数分子大的那个数比较大 假分数 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或等于 1 带分数 一个整数和一个真分数合成的数叫带分数 分数的基本性质 分母或分子同时扩大或缩小相同的倍数分数的大小不变 约分 把一个分数的分子和分母同时除以它们的公约数（1 除外）化成和原来分数相等的分数 通分 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数 同分母加减法 只把分子相加减分母不变 异分母加减法 先通分然后按照同分母加减法进行计算 带分数加减法 整数部分和分数部分分别相加减再把所得数合并起来 计算顺序 在一个算式里只有加减法或只有乘除法从左往右依次计算 在一个算式里有加减法又有乘除法先算乘除法再算加减法有括号的先算括号里的 有括号的算式 有括号的算式要先算小括号里的运算再算中括号里的 什么加加法 把两个数合并成一个数的运算叫加法 什么叫减法 已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算方法 关系式 单价数量总价速度时间路程工作效率工作时间工作总量本金利率时间利息保险金额保险费率保险时间保险费 应纳税收入税率应缴税款 商不变的性质 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数商不变 什么叫乘法 求几个相同加数的简便运算叫乘法 什么叫除法 已知两个因数的积与其中一个因数求另一因数的运算叫除法 面积单位 平方米，平方厘米，平方分米 长方形面积 长宽=ab 正方形面积 边长边长aa 面积单位换算 1 平方分米100 平方厘米 1 平方米100 平方分米 长方形 长方形的对边相等，四个角都是直角 正方形 正方形的四条边都相等，四个角都是直角 长方形周长（长+宽）2（a+b)2 正方形周长 边长4a 4 长度单位换算 1 千米1000 米 1 分米10 厘米 1 米10 分米100 厘米 1 厘米10 毫米 重量单位换算 1 吨1000 千克 1 千克1000 克 小数的四则混合运算 小数的四则混合运算的运算顺序和整数四则混合运算的运算顺序相同 土地面积单位换算 平方千米 100 公顷 1000 平方米 100 平方分米 100 平方厘米 平行四边形面积 底高ab 三角形面积 底高2ab 2 梯形面积（上底+下底）高2(a+b)h 2 什么叫方程 含有未知数的等式 什么叫方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值 什么叫解方程 求方程的解的过程叫解方程 什么叫百分比 表示一个数的百分之几的数叫做百分数 百分数的写法 用带有百分号“”的数来表示 小数化百分数 只要把小数点向右移动两位，在最后添上百分号就行了 百分数化小数 只要把百分号去掉小数点向左移动两位 百分数化分数 把百分数改写成分母是 100 的分数，再把能约分的约成最简分数 分数乘整数 用分数的分子和整数相乘的积做分子，分母不变 分数乘分数 用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母 分数乘带分数 先把带分数化成假分数，然后按照分数乘法的法则进行计算 分数乘小数 先把小数化成分数后再计算 分数除法 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一因数的运算 整数除分数的方法 整数乘这个分数的倒数 分数除以带分数 先把带分数化成假分数然后计算 小数除以分数 一般把小数化成分数再计算 小数分数四则混合运算顺序 与整数四则混合运算顺序相同 什么叫圆心 圆的最中心一点叫圆心 什么叫半径 圆心到圆上任意一点的线段叫做半径用字母 R 表示 什么叫直径 通过圆心并且两端都在圆心上的线段叫做直径用字母 D 表示 直径与半径的关系 d=2r r=d/2 圆的周长是直径的三倍多一点这是一个固定的数，叫3.14 圆周长 直径 圆面积 半径半径 如何区分闰年 公历年份是四的倍数的都是闰年，公历年份是整百数时必须是四百的倍数才是闰年 直线 直线可以无限延长 线段 线段是直线上两点间的一段 射线 一端可以无限延长并且只有一个端点 什么叫锐角 小于 90 度的角叫锐角 什么叫钝角 大于 90 度而小于 180 度的角叫钝角 什么叫平角 当角的两边方向相反成一条直线时这样的角叫做平角 平角180 度 什么叫周角 角的一边绕它的顶点旋转一周所成的角叫做周角周角360 度 什么叫四边形 四条线段围成的图形叫四边形 什么叫平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形的底和高 每组对边之间的距离叫做平行四边形的高，和高垂直的对边叫做平行四边形的底 特殊的平行四边形 长方形和正方形的两组对边也分别平行，它们是特殊的平行四边形 什么叫三角形 三条线段围成图形叫三角形围成三角形的每条线段叫三角形的边每两条线段的交点叫三角形的顶点 三角形的特性 三角形的特性是稳定性 锐角三角形 三个角都是锐角的三角形 钝角三角形 有一个角是钝角的三角形 直角三角形 有一个角是直角的三角形 等腰三角形 两条边相等的三角形 等边三角形 三条边相等的三角形叫等边三角形又叫正三角形 三角形的高和底 从三角形的一个角的顶点向它的对边画一条垂线，顶点到垂足间的线段叫三角形的高，这个角的对边叫三角形的底 什么叫梯形 只有一组对边平行的四边形叫梯形 什么叫等腰梯形 两腰相等的梯形叫等腰梯形 什么叫分数 把物体平均分成几分取其中的 1 份或几分叫分数 小数的基本性质 小数的末尾添上 0 或者去掉 0 小数的大小不变 小数点位置的移动引起小数大小的变化（扩大）小数点向右移动一位，原来的数扩大 10 倍，小数点向右移动二位，原来的数扩大 100 倍，小数点向右移动三位，原来的数扩大 1000 倍 小数点位置的移动引起小数大小的变化（缩小）小数点向左移动一位，原来的数缩小 10 倍，小数点向左移动二位，原来的数缩小 100 倍，小数点向左移动三位，原来的数缩小 1000 倍 有余数的除法 计算有余数的除法余数一定要比除数小 圆柱体体积 底面积高SH 圆锥体体积 1/3 等底等高的圆柱体体积1/3SH 条形统计图 条形统计图可以容易看出各种数量的多少 折线统计图 不但容易看出各种数量的多少还可以清楚的表示出数量的增减变化情况 比 比的前项相当于被除数、相当于分子；比的后项相当于除数、相当于分母，比值相当于商、相当于分数值 比的基本性质 比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数比值不变 比例尺 图上距离实际距离比例尺图上距离/比例尺实际距离图上距离实际距离比例尺 什么叫比例式 表示两个比相等的式子叫比例式，组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两个项叫做外项，中间的两项叫做内项 比例的基本性质 两个内项积等于两个外项积 什么叫解比例 求比例中的未知项叫解比例 正比例 路程/时间速度（一定）总价/数量单价（一定）生产的数量/生产的时间生产效率 反比例 X Y=K（一定）等体积等高 圆锥的底面积是圆柱的三倍圆柱的底面积是圆锥的 1/3 等体积等面积 圆锥的高是圆柱的的三倍圆柱的高是圆锥的 1/3 等高的圆锥和圆柱 圆柱的体积等于圆锥的三倍圆柱的体积比圆锥的体积大 2 倍圆锥体积等于圆柱体积的 1/3 圆锥体积比圆柱体积少 2/3 圆柱体侧面积 S 侧CH C=直径2 R 圆柱体表面积 S 表S 侧2S 底 圆柱体底面积 S 底 R R 圆柱体半径（r）RD/2 R=C/2 圆柱体体积 V=SH 圆环 S 圆环（R Rr r)=圆周率 立方体表面积 棱长棱长6a a 6 长方体地表面积（长 宽长高宽高）2（A B+A H+B H)2 加法交换律 a+b=b+a 加法结合律(a+b)-c=a-(b+c)减法的性质 a-b-c=a-(b+c)乘法交换率 a b=b a 乘法结合律(a b)c=a(b a)乘法分配律（a+b)c=a c+b c 【期末复习】六年级数学知识要点 1.分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。2.分数乘法的计算法则 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。3.分数乘法意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。4.分数乘整数：数形结合、转化化归 5.倒数：乘积是 1 的两个数叫做互为倒数。6.分数的倒数 找一个分数的倒数，例如 3/4 把 3/4 这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/3。3/4 是 4/3 的倒数，也可以说 4/3 是 3/4 的倒数。7.整数的倒数 找一个整数的倒数，例如 12，把 12 化成分数，即 12/1，再把 12/1 这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是 1/12，12 是 1/12 的倒数。8.小数的倒数 普通算法：找一个小数的倒数，例如 0.25，把 0.25 化成分数，即 1/4，再把 1/4 这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是 4/1 9.用 1 计算法：也可以用 1 去除以这个数，例如 0.25，1/0.25等于 4，所以 0.25 的倒数 4，因为乘积是 1 的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。10.分数除法：分数除法是分数乘法的逆运算。11.分数除法计算法则：甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。12.分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。13.分数除法应用题：先找单位 1。单位 1 已知，求部分量或对应分率用乘法，求单位 1 用除法。14.比和比例：比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以用一句话概括：比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b）；比例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：a:b=c:d）。所以，比和比例的联系就可以说成是：比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。表示两个比相等的式子叫做比例,是比的意义。比例有 4 项,前项后项各 2 个.15.比的基本性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数。比值不变。比的性质用于化简比。比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和后项。比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。16.比例的性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。比例的性质用于解比例。17.比和比例的区别(1)意义、项数、各部分名称不同。比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和后项。如：a:b 这是比 比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。a:b=3:4 这是比例。(2)比的基本性质和比例的基本性质意义不同、应用不同。比的性质：比的前项和后项都乘或除以一个不为零的数。比值不变。比例的性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积相等。比例的性质用于解比例。联系：比例是由两个相等的比组成。18.比和比例的意义 比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的式子是叫做比例。比是表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项。因此，比和比例的意义也有所不同。而且，比号没有括号的含义 而另一种形式，分数有括号的含义！19.比和比例的联系：比和比例有着密切联系。比是研究两个量之间的关系，所以它有两项；比例是研究相关联的两种量中两组相对应数的关系，所以比例是由四项组成。比例是由比组成的，如果没有两种量的比，比例就不会存在。比例是比的发展，如果把比例式中右边的比看成一个数，比和比例此时又可以统一起来。如果两个比相等，那么这两个比就可以组成比例。成比例的两个比的比值一定相等。20.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。21.圆心：圆任意两条对称轴的交点为圆心。注：圆心一般符号 O 表示 22.直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d 表示。23.半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母 r 表示。圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的 2 倍，半径是直径的二分之一.d=2r 或 r=d/2。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。24.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母 C表示。25.圆周率：圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母表示。计算时，通常取它的近似值，3.14。直径所对的圆周角是直角。90的圆周角所对的弦是直径。26.圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。r2;，用字母 S 表示。一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。27.周长计算公式（1）已知直径：C=d（2）已知半径：C=2r（3）已知周长：D=c/（4）圆周长的一半:1/2 周长(曲线)（5）半圆的周长：1/2周长+直径（2+1）28.面积计算公式：（1）已知半径：S=r2（2）已知直径：S=(d/2)2 （3）已知周长：S=c(2)2 29.百分数与分数的区别（1）意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。因此，百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位 1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”。分数还可以表示两数之间的倍数关系.（2）应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。（3）书写形式不同。百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“%”来表示。因此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。任何一个百分数都可以写成分母是 100 的分数，而分母是 100 的分数并不都具有百分数的意义.（4）百分数不能带单位名称；当分数表示具体数时可带单位名称。30.百分数应用 百分数一般有三种情况：100%以上，如：增长率、增产率等。100%以下，如：发芽率、成长率等。刚好 100%，如：正确率，合格率等。31.百分数的意义 百分数只可以表示分率，而不能表示具体量,所以不能带单位。百分数概念的形成应以学生实际生活中的事例或工农业生产中的事例引入。32.日常应用 每天在电视里的天气预报节目中，都会报出当天晚上和明天白天的天气状况、降水概率等，提示大家提前做好准备，就像今天的夜晚的降水概率是 20%，明天白天有五六级大风，降水概率是 10%，早晚应增加衣服。20%、10%让人一目了然，既清楚又简练。知识点扩展 1.圆的定义 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆中最长的弦为直径。3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。4.内心和外心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。5.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。百分数的由来 200 多年前，瑞士数学家欧拉，在通用算术一书中说，要想把 7 米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它。如果我们把它分成三等份，每份是 7/3 米，就是一种新的数，我们把它叫做分数。而后，人们在分数的基础上又以 100 做基数，发明了百分数。一百分数 1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“%”，百分数后面不能带单位名称。2、百分数和分数的主要联系与区别：（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系。(2)区别：、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；分数的分子不能是小数，只能是除 0 以外的自然数。、百分数的读法和分数的读法大体相同，也是先读分母，后读分子，但要注意读百分数的分母时，不能读成一百分之几，而只能读作“百分之几”4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“”来表示。二、百分数和分数、小数的互化（一）百分数与小数的互化：1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。2.百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。（二）百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数：先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100 的分数，能约分要约成最简分数。2、分数化成百分数：用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化 1/2=0.5=50%1/5=0.2=20%5/8=0.625=62.5%三、用百分数解决问题（一）一般应用题 1、常见的百分率的计算方法：一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，出米率、出油率达不到 100%，完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。（一般出粉率在 70、80%，出油率在 30、40%。）2、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题：数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”：单位“1”的量分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量（1 分率）=分率对应量 3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。（2）算术（用除法）：分率对应量对应分率=单位“1”的量 4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：两个数的相差量单位“1”的量 100%或：求多百分之几：（大数小数 1）100%求少百分之几：（1-小数大数）100%第六单元 统计 一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。二、常用统计图的优点：1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）几何形体周长、面积、体积计算公式 长方形的周长=（长+宽）2 C=(a+b)2 正方形的周长=边长4 C=4a 长方形的面积=长宽 S=ab 三角形的面积=底高2 S=ah2 平行四边形的面积=底高 S=ah 梯形的面积=（上底+下底）高2 S=（ab）h2 直径=半径2 d=2r 半径=直径2 r=d2 圆的周长=圆周率直径=圆周率半径2 c=d=2r 圆的面积=圆周率半径半径 三角形的面积底高2。公式 S=ah2 正方形的面积边长边长公式 S=aa 长方形的面积长宽公式 S=ab 平行四边形的面积底高公式 S=ah 梯形的面积（上底+下底）高2 公式 S=(a+b)h2 内角和：三角形的内角和180 度。长方体的体积长宽高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积底面积高公式：V=abh 正方体的体积棱长棱长棱长公式：V=aaa 圆的周长直径 公式：Ld2r 圆的面积半径半径 公式：S的平方 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=dh2rh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2r 的平方 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh 圆锥的体积1/3 底面积高。公式：V=1/3Sh 分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。第一章 数和数的运算 一 基本概念 (一)整数 1 整数的意义 自然数和 0 都是整数。2 自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的 1，2，3叫做自然数。一个物体也没有，用 0 表示。0 也是自然数。3 计数单位 一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。这样的计数法叫做十进制计数法。4 数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5 数的整除 整数 a 除以整数 b(b 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，或者说 b 能整除 a。如果数 a 能被数 b(b 0)整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数(或 a 的因数)。倍数和约数是相互依存的。因为 35 能被 7 整除，所以 35 是 7 的倍数，7 是 35 的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是 1，最大的 约数是它本身。例如：10 的约数有 1、2、5、10，其中最小的约数是 1，最大的约数是 10。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3 的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是 3，没有最大的倍数。个位上是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除，例如：202、480、304，都能被 2 整除。个位上是 0 或 5 的数，都能被 5 整除，例如：5、30、405都能被 5 整除。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204 都能被 3 整除。一个数各位数上的和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。能被 3 整除的数不一定能被 9 整除，但是能被 9 整除的数一定能被 3 整除。一个数的末两位数能被 4(或 25)整除，这个数就能被 4(或 25)整除。例如：16、404、1256 都能被 4 整除，50、325、500、1675都能被 25 整除。一个数的末三位数能被 8(或 125)整除，这个数就能被 8(或125)整除。例如：1168、4600、5000、12344 都能被 8 整除，1125、13375、5000 都能被 125 整除。能被 2 整除的数叫做偶数。不能被 2 整除的数叫做奇数。0 也是偶数。自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。一个数，如果只有 1 和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)，100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。一个数，如果除了 1 和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12 都是合数。1 不是质数也不是合数，自然数除了 1 外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和 1。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如 15=35，3和 5 叫做 15 的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把 28 分解质因数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如 12 的约数有 1、2、3、4、6、12;18 的约数有 1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6 是12 和 1 8 的公约数，6 是它们的最大公约数。公约数只有 1 的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1 和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。两个合数的公约数只有 1 时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是 1。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如 2 的倍数有 2、4、6、8、10、12、14、16、18 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18 其中 6、12、18是 2、3 的公倍数，6 是它们的最小公倍数。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。(二)小数 1 小数的意义 把整数 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。在小数里，每相邻