2023年兰州职业技术学院数学单招试卷最新版测试版附超详细解析超详细解析答案解析.pdf

考单招上高职单招网 danzhaowang 限时：90 分钟 总分值：122 分 一、选择题(共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分)1与椭圆x24y21 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是()A.x24y21 B.x22y21 C.x23y231 Dx2y221 解析：选 B 椭圆x24y21 的焦点为(3，0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除 A、C.又因为双曲线x22y21 经过点(2,1)，故排除 D.2已知圆 x2y22x4y10 关于直线 2axby20(a，bR)对称，则 ab的取值范围是()A.，14 B.14，C.14，0 D.0，14 解析：选 A 由题意知，圆的方程为(x1)2(y2)24，圆心坐标为(1,2)，将圆心坐标代入直线方程得 2a2b2，即 ab1，平方得 1a2b22ab4ab，所以 ab14.3已知双曲线x2a2y2b21 的一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 5，则该双曲线的方程为()考单招上高职单招网 danzhaowang A5x25y241 B.x25y241 C.y25x241 D5x24y251 解析：选 A 由题意得抛物线焦点为(1,0)，a2b21.又eca a2b2a2 1a2 5 a215，b245 该双曲线的方程为 5x254y21.4已知数列an满足：a11，an0，a2n1a2n1(nN*)，那么使 an0，an n.an5，n5，n25.n 的最大值为24.5直线 yx 与椭圆 C：x2a2y2b21 的交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆 C 的离心率为()A.1 52 B.1 52 C.3 52 D.12 考单招上高职单招网 danzhaowang 解析：选 A 设直线 yx 与椭圆 C：x2a2y2b21 在第一象限的交点为 A，依题意有，点 A的坐标为(c，c)，又因为点 A在椭圆 C 上，故有c2a2c2b21，因为 b2a2c2，所以c2a2c2a2c21，所以 c43a2c2a40，即 e43e210，所以 e512.6.设函数 f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当 x1 时，f(x)ln x，则有()Af13f(2)f12 Bf12f(2)f13 Cf12f13f(2)Df(2)f12f13 解析：选 C 由 f(2x)f(x)得 f(1x)f(x1)，即函数f(x)的对称轴为 x1，结合图形可知 f12f130)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B，交其准线于点 C，假设|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26x Cy23x Dy2 3x 解析：选 C 过点 B 作准线的垂线，垂足为 B1，记准线与 x 轴的交点为 F1，则依题意得|BB1|FF1|BC|CF|23，所以|BB1|23|FF1|2p3，由抛物线的定义得|BF|BB1|2p3.令A(x1，y1)、B(x2，y2)，依题意知 Fp2，0，可设直线 l 的方程为 ykxp2.联立方程 y22px，ykxp2，消去 y 得 k2x2p(k22)xk2p240，则 x1x2p k22k2，x1 x2p24.又由抛物线的定义知|AF|x1p2，|BF|x2p2，则可得1|AF|1|BF|2p，于是有1332p2p，解得 2p3，所以此抛物线的方程是y23x.二、填空题(共 6 个小题，每题 5 分，共 30 分)9命题“xR,2x23ax90”为假命题，则实数 a 的取值范围是_ 解析：“xR,2x23ax9n0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为_ 解析：因为抛物线 y28x 的焦点坐标是(2,0)，由此得2m12，解得 m4，由 n2m22212，所以所求的椭圆方程是x216y2121.答案：x216y2121 12已知抛物线 y2ax 过点 A14，1，那么点 A 到此抛物线的焦点的距离为_ 解析：由题意知点 A在抛物线 y2ax 上，得 114a，所以 a4，故 y24x.由抛物线的定义可知点 A到焦点的距离等于点 A到准线的距离，所以点 A到此抛物线的焦点的距离为 xAa414154.答案：54 考单招上高职单招网 danzhaowang 13已知直线 yk(x2)(k0)与抛物线 y28x 相交于 A、B 两点，F 为抛物线的焦点，假设|FA|2|FB|，则 k 的值为 .解析：直线 yk(x2)恰好经过抛物线 y28x 的焦点 F(2,0)，由 y28x，yk x2，可得 ky28y16k0，因为|FA|2|FB|，所以 yA2yB，则 yAyB2yByB8k，所以 yB8k，yA yB16，所以2y2B16，即 yB 2 2，又因为 k0，故 k2 2.答案：2 2 14设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右顶点分别为 A1、A2，假设点 P 为双曲线右支上的一点，且直线 PA1、PA2的斜率分别为12、2，则双曲线的渐近线方程为_ 解析：由题知 A1(a,0)，A2(a,0)设点 P(x0，y0)，则有 y0 x0a12y0 x0a2y20 x20a21，又由于点 P 在双曲线上，所以有：x20a2y20b21y20b2x20a21x20a2a2y20 x20a2b2a2.由、可知b2a21ba1.所以双曲线的渐近线方程为 ybax x.答案：y x 三、解答题(共 4 个小题，每题 13 分，共 52 分)15在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，A2B，sin B33.考单招上高职单招网 danzhaowang (1)求 cos A及 sin C 的值；(2)假设 b2，求 ABC 的面积 解：(1)因为 A2B，所以 cos Acos 2B12sin2 B.因为 sin B33，所以 cos A121313.由题意可知，A2B,0A，所以 0B2)，其离心率为32，故a24a32，则 a4，故椭圆 C2的方程为y216x241.(2)法一：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB2OA及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx.考单招上高职单招网 danzhaowang 将 ykx 代入x24y21 中，得(14k2)x24，所以 x2A414k2；将 ykx 代入y216x241 中，得(4k2)x216，所以 x2B164k2.又由OB2OA，得 x2B4x2A，即164k21614k2，解得 k 1，故直线AB 的方程为 yx 或 yx.法二：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB2OA及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线AB 的方程为 ykx.将 ykx 代入x24y21 中，得(14k2)x24，所以 x2A414k2，由OB2OA，得 x2B1614k2，y2B16k214k2，将 x2B，y2B代入y216x241 中，得4k214k21，即 4k214k2，解得k 1，故直线AB 的方程为 yx 或 yx.考单招上高职单招网 danzhaowang 18设 A 是单位圆 x2y21 上的任意一点，l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线，D 是直线 l 与 x 轴的交点，点 M 在直线 l 上，且满足|DM|m|DA|(m0，且 m1)当点A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P，Q 两点，其中 P 在第一象限，它在 y轴上的射影为点 N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H.是否存在 m，使得对任意的 k0，都有 PQPH？假设存在，求 m 的值；假设不存在，请说明理由 解：(1)如图 1，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|m|DA|(m0，且 m1)，可得 xx0，|y|m|y0|，所以 x0 x，|y0|1m|y|.因为 A点在单位圆上运动，所以 x20y201.将式代入式即得所求曲线 C 的方程为 x2y2m21(m0，且 m1)因为 m(0,1)(1，)，所以 当 0m1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(1m2，0)，(1m2，0)；当 m1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，m21)，(0，m21)考单招上高职单招网 danzhaowang (2)法一：如图 2、3，k0，设 P(x1，kx1)，H(x2，y2)，则 Q(x1，kx1)，N(0，kx1)，直线 QN 的方程为 y2kxkx1，将其代入椭圆 C 的方程并整理可得(m24k2)x24k2x1xk2x21m20.依题意可知此方程的两根为x1，x2，于是由韦达定理可得x1x24k2x1m24k2，即 x2m2x1m24k2.因为点 H 在直线 QN 上，所以 y2kx12kx22km2x1m24k2，于是PQ(2x1，2kx1)，PH(x2x1，y2kx1)4k2x1m24k2，2km2x1m24k2.而 PQPH 等价于PQPH4 2m2 k2x21m24k20.即 2m20，又因为 m0，得 m 2.故存在 m 2，使得在其对应的椭圆 x2y221 上，对任意的 k0，都有 PQPH.法二：如图 2、3，x1(0,1)设 P(x1，y1)，H(x2，y2)，则 Q(x1，y1)，N(0，y1)考单招上高职单招网 danzhaowang 因为 P，H 两点在椭圆 C 上，所以 m2x21y21m2，m2x22y22m2，两式相减可得 m2(x21x22)(y21y22)0.依题意，由点 P 在第一象限可知，点 H 也在第一象限，且 P，H 不重合，故(x1x2)(x1x2)0.于是由式可得 y1y2y1y2 x1x2x1x2m2.又因为 Q，N，H 三点共线，所以 kQNkQH，即2y1x1y1y2x1x2.于是由式可得 kPQ kPHy1x1y1y2x1x212 y1y2y1y2 x1x2x1x2m22.而 PQPH 等价于 kPQ kPH1，即m221，又因为 m0，得 m 2.故存在 m 2，使得在其对应的椭圆 x2y221 上，对任意的 k0，都有 PQPH.