2023年新课标人教a版选修22精品讲义.pdf

高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：第一章：1.1.1 导数 的概念一 教学要求：理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义。通过分析实例，知道瞬时变化率就是导数，并会求导数 教学重点：导数的概念及求导 教学难点：导数的概念 教学过程：一、讲授新课：1.教学：问题 1：气球膨胀率，求平均膨胀率；问题 2：高台跳水，求平均速度 得平均变化率：2121()()f xf xfxxx 问题 3：瞬时速度：0(2)(2)lim13.1ththt ，当0,tv瞬时速度。瞬时速度是平均速度ts当t趋近于 0 时的极限 得 导 数 的 定 义：函 数()yf x在0 xx的 导 数，记 住0()fx或0|x xy即000()()()limxf xxf xfxx 小结：由导数定义，高度 h 关关于时间 t 的导数就是运发动的瞬时速度，气球半径径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率。二、教学例题 例 1.设函数1)(2xxf，求：1当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，自变量的增量x；2当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的增量y；3当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率4函数在 x1 处的变化率.例 2：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第 xh 时，原油的温度单位：oc为2()715(08)f xxxx。计算第 2h 和第 6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。分析：根据导数的定义来求 小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()yf xxf x ；第二步：求平均变化率0()f xxyxx；第三步：取极限得导数00()limxyfxx。三、稳固练习：1.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 h单位：m与时间 t单位：s之间的函数关系为2th，求 t4s 时此球在垂直方向的瞬时速度 3.作业：10p2、3 高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：第一章：1.1.1 导数 的概念二 教学要求：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数。教学重点：导数的概念并会运用概念求导数，导数的几何意义的运用。教学难点：导数的几何意义的理解 教学过程：一、复习准备：1、提问：利用导数的定义求导步骤？学生答复 2、提问：0()fx表示函数在0 x的瞬时变化率，导数0()fx的几何意义是什么？二、讲授新课：1.教学：1、当点,()(1,2,3,4)nnnpx yn 沿着曲线向点 P 接近时，割线npp的变化趋势是什么？割线npp的斜率与切线 PT 的斜线 K 有什么关系？得：000()()()limxf xxf xkfxx 此时，割线npp的斜率nPPykx无限趋近于切线 PT 的斜率 k，也就是说，当x趋向于 0 时，割线的npp斜率nPPykx的极限为 k.小结：函数()yf x在点0 x的导数的几何意义就是曲线()yf x在点00(,)p xy处的切线的斜率，也就是说，曲线()yf x在点00(,)p xy处的切线斜率是0()fx，切线的方程为000()()yyfxxx 二、例题分析 例 1：.求函数12xy在1,0，1 处导数。分析：先求导，然后再代数值。例 2、已知曲线313yx上一点 P2，38，求点 P 处的切线的斜率及切线方程？分析：先求导，然后再代数值得切线的斜率，再利用点斜式求切线方程。例 3.曲线223xy 上哪一点的切线与直线13 xy平行 例 4、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2()4.96.510h ttt 的图形。根据图象，请描述、比较曲线 h(t)在012,t t t附近的变化情况。分析：三、稳固练习：1.练习：教材 112p 2.假设)(lim0 xfx存在，则/0)(limxfx 假设2)(xxf，则1)1()(lim1xfxfx 3.作业：113p 高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：第一章：几种常见函数的导数 教学要求：熟练掌握常见函数的导数公式，并能灵活运用 教学重点：公式的灵活运用 教学难点：公式的推导及公式的运用 教学过程：一、复习准备 1、求函数导数的步骤：二、讲授新课：1.教学：1、求函数 y=c(常数)的导数。得：0c 2、求函数 y=x 的导数。得：1x 3、求函数 2yx 的导数。得：2()2yxx 4、求函数1yx 的导数。得：211()yxx 5、求函数yx 的导数。得：1()2yxx 得基本初等函数的导数公式：10,(),(sin)cos,(cos)sin,()lnnnxxcxnxxxxx aaa()xxee 11(),(ln)lnlogaxxxax 二、例题分析：例 1、求以下函数的导数 15yx 2sinyx 331yx 45yx 例 2、求以下函数的导数 1cosyx 25xy 33logxy 4lnyx 例 3、假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 0.05。物价 P单位：元与时间 T单位：年有如下函数关系0()(10.05)tp tP，其中0p这 T=0 时的物价。假定某种商品的01p，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少精确到 0。01？分析：利用基本初等函数的导数公式求 三、稳固练习：1.练习：教材 18p1、2、假设2)(xxf，则1)1()(lim1xfxfx 3.作业：10p2 高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：第一章：导数的四则运算 教学要求：熟练运用导数的四则运算法则，并能灵活运用 教学重点：熟练运用导数的四则运算法则 教学难点：商的导数的运用 教学过程：一、复习准备：1、根据导数的定义求导数的步骤 2、基本初等函数的导数公式 二、授新课：1、和差的导数：/()()()()f xg xfxgx 积的导数：()()()()()()f xg xfxg xf xg x 推论：()()cf xcfxC 为常数 商的导数：2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x 三、题分析 例1、求以下函数的导数 123212xxy 215314123xxxy 3)4(23xxy 4)23()12(2xxy 52 tanyxx 623(21)xyx 72 lnxyx 85 cosxyx 例2、已知曲线313yx上一点 P2，38，求点 P 处的切线的斜率及切线方程？例3、日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯洁度的提高，所需净化费用不断增加。已知将功 1 吨水净化到纯洁度为%x时所需费用单位：元为 5284()(80100)100c xxx 。求净化到以下纯洁度时，所需净化费用的瞬时变化率；190%；298 分析：要求瞬时变化率实际上就是求函数的导数，这就要用到商的导数公式，然后再代数值，问题就得到解决了。三、稳固练习：1.练习：教材 181p 2.已知函数22)(xxxf，求)0(/f，)41(/f 3、一个距地心距离为 R，质量为 M 的人造卫星，与地球之间的万有引力 F 由公式2GMmFr给出，其中 M 为地球质量，G 为常量。求 F 对于 r 的瞬时变化率。高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：3.作业：184,5p 第一章：复合函数的导数 教学要求：掌握复合函数的求导 教学重点：掌握复合函数的求导 教学难点：复合函数的分解，求复合函数的导数 教学过程：一、复习准备 1、导数的四则运算法则 2、求)4(23xxy的导数 3、求函数2(23)yx的导数 练习，再提问：展开再求导，可不可以直接求导？一、讲授新课：1.2(23)yx可以看成2,23yuux两次复合而成。得：复合函数的定义：(),()yf u ug x记作：()yf g x。即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.2、复合函数的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘中间 变 量 对 自 变 量 的 导 数。即：xuxyyu。问 题2(23)yx的 求 导 可 直 接 得：2()(23)222(23)2812xuxyyuuxuxx 三、例题分析 例 1：求以下函数的导数 1、3(32)yx 2、51xye 3cos(1)yx 4、3sin(23)yx 51yx 641(13)yx7、51xyx 82ln(231)yxx 小结：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。复合函数的求导不仅可以推广到三重，还可推广到四重、五重 例 2、在吹气球的过程中，随着气球内空气容量的增加，气球的半径也逐渐增加，现已知气球半径r单位：dm与体积 V单位：L之间的函数关系式为33()4Vr V，求当 V0.6，1.2 时，气球的瞬时膨胀率，并解释随着气球内空气容量的增加，气球的膨胀状态.分析：先求出Vr，然后分别将 V0.6，1.2 代入即可.而函数33()4Vr V可以看成函数1334Vruu和的复合函数，直接根据复合函数的求导法则就行了.三、稳固练习：1、练习184p 高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：2、作业：732p 第一章：导数的计算习题课 教学要求：理解导数的定义，导数的几何意义，熟练掌握导数的基本公式，导数的四则法则，复合函数的求导 教学重点：导数的基本公式，导数的四则法则，复合函数的求导 教学难点：复合函数的求导 教学过程：一、复习准备：1、导数的定义，导数的几何意义 2、导数的基本公式，导数的四则法则，复合函数的求导 二、讲授新课：例 1、已知点 P 和点 Q 是曲线223yxx上的两点，且点 P 的横坐标是 1，点 Q 的横坐标是4，求1割线 PQ 的斜率，2点 P 处的切线方程。例2、曲线5yx上与直线24yx平行的切线方程 分析：首先对5yx求导，因为与直线平行所以切线的斜率为 2，再根据斜率等于 2 求出切点，再用直线的点斜式方程写出就得，例 3、.求以下函数的导数：114020224xxxy 2432615423xxxxy 3)3)(12(23xxxy 432)1()2(xxy 53sin(45)yx 6321xeyx 733xyx 82lnyxx 例 4、设质点的运动方程是1232tts，计算从 t2 到 t2t之间的平均速度，并计算当t0.1 时的平均速度，再计算 t2 时的瞬时速度.三、稳固练习：1、在抛物线22xxy上，哪一点的切线处于下述位置？1与 x 轴平行 2平行于第一象限角的平分线.3与 x 轴相交成 45角 2、已知曲线22xxy上有两点 A2,0，B1,1，求：1割线 AB 的斜率ABk2过点 A 的切线的斜率ATk；3点 A 处的切线的方程.3、证明：过曲线2axy 上的任何一点00,yx 00 x的切线与两坐标轴围成的三角形高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：面积是一个常数.提示：2/1)1(xx 第二章：2.1.1 合情推理一 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.教学重点：能利用归纳进行简单的推理.教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.教学过程：一、新课引入：1.哥德巴赫猜想：观察 4=2+2,6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,12=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,50=13+37,100=3+97，猜测：任一偶数除去 2，它本身是一素数可以表示成两个素数之和.1742 年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想.1973 年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.2.费马猜想：法国业余数学家之王费马1601-1665在 1640 年通过对020213F ，121215F ，2222117F ，32321257F ，4242165 537F 的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n，任何形如221nnF 的数都是素数.后来瑞士数学家欧拉，发现525214 294 967 297641 6 700 417F 不是素数，推翻费马猜想.3.四色猜想：1852 年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子电脑上，用 1200 个小时，作了 100 亿逻辑判断，完成证明.二、讲授新课：1.教学概念：概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？(ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 180 度，能归纳出什么结论？(iii)观察等式：2221342,13593,13579164 ，能得出怎样的结论？讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？(ii)归纳推理有何作用？发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段(iii)归纳推理的结果是否正确？不一定 2.教学例题：出例如题：已知数列na的第 1 项12a，且1(1,2,)1nnnaana，试归纳出通项公式.分析思路：试值 n=1，2，3，4 猜想na 如何证明：将递推公式变形，再构造新数列 思考：证得某命题在 nn0时成立；又假设在 nk时命题成立，再证明 nk1 时命题也成立.由这两步，可以归纳出什么结论？目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系 练习：已知(1)0,()(1)1,faf nbf n 2,0,0nab，推测()f n的表达式.3.小结：归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；典型例子：哥德巴赫猜想的提高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：出；数列通项公式的归纳.三、稳固练习：1.练习：教材 P38 1、2 题.2.作业：教材 P44 习题 A组 1、2、3 题.第二章：2.1.1 合情推理二 教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想.教学过程：一、复习准备：1.练习：已知 0(1,2,)iain，考察以下式子：111()1i aa；121211()()()4iiaaaa；123123111()()()9iiiaaaaaa.我们可以归纳出，对12,na aa也成立的类似不等式为 .2.猜想数列1111,1 33 5 5 779的通项公式是 .3.导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.以上都是类比思维，即类比推理.二、讲授新课：1.教学概念：概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比练习：(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体？(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？(iii)由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征.教材 P81 探究 填表 小结：平面空间，圆球，线面.讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.2.教学例题：出例如 1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.得到如下表格 类比角度 实数的加法 实数的乘法 运算结果 假设,a bR则abR 假设,a bR则abR 运算律()()abbaabcabc ()()abbaab ca bc 逆运算 加法的逆运算是减法，使得方程0ax 有唯一解xa 乘法的逆运算是除法，使得方程1ax 有唯一解1xa 单位元 0aa 1 1a 出例如 2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.思维：直角三角形中，090C，3 条边的长度,a b c，2 条直角边,a b和 1 条斜边c；3 个面两两垂直的四面体中，090PDFPDEEDF ，4 个面的面积123,S SS和S 高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：3 个“直角面”123,S SS和 1 个“斜面”S.拓展：三角形到四面体的类比.3.小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.三、稳固练习：1.练习：教材 P38 3 题.2.第二章：2.1.2 演绎推理 教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。.教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.教学过程：一、复习准备：1.练习：对于任意正整数 n，猜想2n-1 与(n+1)2的大小关系？在平面内，假设,ac bc，则/ab.类比到空间，你会得到什么结论？结论：在空间中，假设,ac bc，则/ab；或在空间中，假设,/则.2.讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？3.导入：所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；奇数都不能被 2 整除，2007 是奇数，所以 .填空讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？课题：演绎推理 二、讲授新课：1.教学概念：概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。要点：由一般到特殊的推理。讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊.提问：观察教材 P39引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电 已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断 大前提 小前提 结论“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提已知的一般原理；第二段：小前提所研究的特殊情况；第三段：结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断.举例：举出一些用“三段论”推理的例子.2.教学例题：出例如 1：证明函数2()2f xxx 在,1 上是增函数.板演：证明方法定义法、导数法 指出：大前题、小前题、结论.出例如 2：在锐角三角形 ABC 中，,ADBC BEAC，D，E 是垂足.求证：AB的中点 M到 D，E 的距离相等.分析：证明思路 板演：证明过程 指出：大前题、小前题、结论.讨论：因为指数函数xya是增函数，1()2xy 是指数函数，则结论是什么？结论指出：大前提、小前提 讨论：结论是否正确，为什么？高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：讨论：演绎推理怎样才结论正确？只要前提和推理形式正确，结论必定正确 3.比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.三、稳固练习：1.练习：P42 2、3 题 2.探究：P42 阅读与思考 3.作业：P44 6 题，B 组 1 题.第二章：2.2.1 综合法和分析法一 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1.已知“假设12,a aR，且121aa，则12114aa”，试请此结论推广猜想.答案：假设12,.na aaR，且12.1naaa，则12111.naaa 2n 2.已知,a b cR，1abc ，求证：1119abc .先完成证明 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1.教学例题：出例如 1：已知 a,b,c 是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.分析：运用什么知识来解决？基本不等式 板演证明过程注意等号的处理 讨论：证明形式的特点 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.练习：已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证3bcaacbabcabc .出例如 2：在ABC 中，三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列，a、b、c 成等比数列.求证：为ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？板演证明过程 讨论：证明过程的特点.小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件内角和 2.练习：,A B为锐角，且tantan3tantan3ABAB，求证：60AB.提示：算tan()AB 已知,abc 求证：114.abbcac 3.小结：综合法是从已知的 P 出发，得到一系列的结论12,Q Q，直到最后的结论是 Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、稳固练习：1.求证：对于任意角，44cossincos2.教材 P100 练习 1 题 两人板演 订正 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程 高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：2.ABC的三个内角,A B C成等差数列，求证：113abbcabc.3.作业：教材 P102 A组 2、3 题.第二章：2.2.1 综合法和分析法二 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1.提问：基本不等式的形式？2.讨论：如何证明基本不等式(0,0)2ababab.讨论 板演 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件 二、讲授新课：1.教学例题：出例如 1：求证3526.讨论：能用综合法证明吗？如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？板演证明过程 注意格式 再讨论：能用综合法证明吗？比较：两种证法 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件、定理、定义、公理等为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因.练习：设 x 0，y 0，证明不等式：11223332()()xyxy.先讨论方法 分别运用分析法、综合法证明.出例如 2：见教材 P97.讨论：如何寻找证明思路？从结论出发，逐步反推 出例如 3：见教材 P99.讨论：如何寻找证明思路？从结论与已知出发，逐步探求 2.练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面指横截面的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为 l，则周长为 l 的圆的半径为2l，截面积为2()2l，周长为 l 的正方形边长为4l，截面积为2()4l，问题只需证：2()2l 2()4l.3.小结：分析法由要证明的结论 Q 思考，一步步探求得到 Q 所需要的已知12,P P，直到所有的已知 P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”综合，双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.框图示意 三、稳固练习：1.设 a,b,c 是的ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：22244 3cababS.高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：略证：正弦、余弦定理代入得：2cos42 3sinabCababC，即证：2cos2 3sinCC，即：3sincos2CC，即证：sin()16C成立.2.作业：教材 P100 练习 2、3 题.第二章：2.2.2 反证法 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1.讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转 2 枚，你能使三枚反面都朝上吗？原因：偶次 2.提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆”.讨论如何证明这个命题？3.给出证法：先假设可以作一个O 过 A、B、C 三点，则 O 在 AB的中垂线 l 上，O 又在 BC 的中垂线 m 上，即 O 是 l 与 m 的交点。但 A、B、C 共线，lm(矛盾)过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆.二、讲授新课：1.教学反证法概念及步骤：练习：仿照以上方法，证明：如果 ab0，那么ba 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 应用关键：在正确的推理下得出矛盾与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.注：结合准备题分析以上知识.2.教学例题：出例如 1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析：如何否认结论？如何从假设出发进行推理？得到怎样的矛盾？与教材不同的证法：反设 AB、CD 被 P 平分，P 不是圆心，连结 OP，则由垂径定理：OP AB，OP CD，则过 P 有两条直线与 OP 垂直矛盾，不被 P 平分.出例如 2：求证3是无理数.同上分析 板演证明，提示：有理数可表示为/m n 证：假设3是有理数，则不妨设3/m nm,n 为互质正整数，从而：2(/)3m n，223mn，可见 m 是 3 的倍数.设 m=3pp 是正整数，则 22239nmp，可见 n 也是 3 的倍数.这样，m,n 就不是互质的正整数矛盾.3/m n不可能，3是无理数.练习：如果1a 为无理数，求证a是无理数.OABCDP高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：提示：假设a为有理数，则a可表示为/p q,p q为整数，即/ap q.由1()/apqq，则1a 也是有理数，这与已知矛盾.a是无理数.3.小结：反证法是从否认结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确.注意证明步骤和适应范围“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题 三、稳固练习：1.练习：教材 P102 1、2 题 2.作业：教材 P102 A 组 4 题.第二章：2.3 数学归纳法一 教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1.问题 1：在数列na中，*111,()1nnnaaanNa，先算出 a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式.过程：212a，313a，414a，由此得到：*1,nanNn 2.问题 2：2()41f nnn，当 nN 时，()f n是否都为质数？过程：(0)f=41，(1)f=43，(2)f=47，(3)f=53，(4)f=61，(5)f=71，(6)f=83，(7)f=97，(8)f=113，(9)f=131，(10)f=151，(39)f=1 601但是(40)f=1 681=412是合数 3.问题 3：多米诺骨牌游戏.成功的两个条件：1第一张牌被推倒；2骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.二、讲授新课：1.教学数学归纳法概念：给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊一般.不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.讨论：问题 1 中，如果 n=k猜想成立，那么 n=k+1 是否成立？对所有的正整数 n 是否成立？提出数学归纳法两大步：i归纳奠基：证明当 n 取第一个值 n0时命题成立；ii归纳递推：假设 n=kkn0，kN*时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于 n0的正整数 n0+1，n0+2，命题都成立.关键：从假设 n=k成立，证得 n=k+1 成立.2.教学例题：出例如 1：2222*(1)(21)123,6n nnnnN.分析：第 1 步如何写？n=k的假设如何写？待证的目标式是什么？如何从假设出发？小结：证 n=k+1 时，需从假设出发，比照目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.练习：求证：2*1 4273 10(31)(1),nnn nnN .出例如 2：设 an1 2+2 3+(1)n n (nN*)，求证：an12(n1)2.高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：关键：a1k12(k1)2+(1)(2)kk12(k+1)2+232kk12n(n1)3.小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从 n=k到 n=k+1 时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.第二章：2.3 数学归纳法二 教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.教学过程：一、复习准备：1.练习：已知*()13521,f nnnN ，猜想()f n的表达式，并给出证明？过程：试值(1)1f，(2)4f，猜想2()f nn 用数学归纳法证明.2.提问：数学归纳法的基本步骤？二、讲授新课：1.教学例题：出例如 1：已知数列1111,2 5 5 8 8 11(31)(32)nn，猜想nS的表达式，并证明.分析：如何进行猜想？试值1234,S SS S猜想nS 学生练习用数学归纳法证明 讨论：如何直接求此题的nS？裂项相消法 小结：探索性问题的解决过程试值猜想、归纳证明 练习：是否存在常数 a、b、c 使得等式1 3243 5.(2)n n 21()6n anbnc对一切自然数 n 都成立，试证明你的结论.解题要点：试值 n=1,2,3，猜想 a、b、c 数学归纳法证明 2.练习：已知 0(1,2,)iain，考察111()1i aa；121211()()()4iiaaaa；123123111()()()9iiiaaaaaa 之后，归纳出对12,na aa也成立的类似不等式，并证明你的结论.89 年全国理科高考题是否存在常数 a、b、c，使得等式 答案：a=3,b=11,c=10 12222(1)22 3.(1)()12n nn nanbnc 对一切自然数 n 都成立？并证明你的结论 3.小结：探索性问题的解决模式为“一试验二归纳三猜想四证明”.三、稳固练习：1.平面内有 n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这 n 个圆将平面分成 f(n)=n2n+2 个部分.2.是否存在正整数 m，使得 fn=2n+7 3n+9 对任意正整数 n 都能被 m 整除?假设存在，求出最大的 m 值，并证明你的结论；假设不存在，请说明理由.答案：m=36 3.试证明面值为 3 分和 5 分的邮票可支付任何(7,)n nnN的邮资.高中数学新课标人教 a 版选修课 2-2寿县迎河中学高二备课组长 龙如山 教学后记：板书设计：证明：1当8,9,10n 时，由835,9333,1055 可知命题成立；2假设(7,)nk kkN时，命题成立.则 当3nk 时，由1及归纳假设，显然3nk 时成立.根据1和2，可知命题成立.小结：新的递推形式，即 1 验证00(),(1),P nP n 0(1)P nl 成立()lN；2 假设()P k成立，并在此基础上,推出()P kl成立.根据(1)和(2)，对一切自然数0()nn,命题()P n都成立.2.作业：教材108 A 组 1、2 题.第三章:3.1.1 数系的扩充与复数的概念 教学要求:理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。教学难点：复数及其相关概念的理解 教学过程：一、复习准备：1.提问：N、Z、Q、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？让学生感受数系的发展与生活是密切相关的 2判断以下方程在实数集中的解的个数引导学生回忆根的个数与的关系：12340 xx 22450 xx 32210 xx 4210 x 3.人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。讨论：假设给方程210 x 一个解i，则这个解i要满足什么条件？i是否在实数集中？实数a与i相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1.教学复数的概念：定义复数：形如abi的数叫做复数，通常记为zabi 复数的代数形式，其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集|,Cabi a bR叫做复数集。出例如 1：以下数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。23,84,83,6,29,7,0iiiiii 规定：abicdiac 且b=d，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。讨论：复数的代数形式中规定,a bR，,a b取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？定义虚数：,(0)abi b叫做虚数，,(0)bi b 叫做纯虚数。数集的关系：0,0)0)0,0)Zaa实数(b=0)复数一般虚数(b虚数(b纯虚数(b 上述例 1 中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出例如题 2：62P 引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论 练习：已知复数abi与3(4)k i 相等，且abi的实部、虚部分别是方程2430 xx 的两根，试求：,a b k的值。讨论3(4)k i 中，k 取何值时是实数？小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。三、稳固练习：1指出以下复数哪些是实数、虚数、纯虚