2023年人教版初二数学三角形知识点总结归纳全面汇总归纳1.pdf

学习必备 精品知识点 三角形 几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）ABCD 几何表达式举例：(1)AD 平分 BAC BAD=CAD(2)BAD=CAD AD 是角平分线 2三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）ABCD 几何表达式举例：(1)AD 是三角形的中线 BD=CD (2)BD=CD AD 是三角形的中线 3三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.（如图）ABCD 几何表达式举例：(1)AD 是 ABC 的高 ADB=90 (2)ADB=90 AD 是 ABC 的高 4三角形的三边关系定理：几何表达式举例：学习必备 精品知识点 三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）ABC(1)AB+BC AC (2)AB-BCAC 5等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（如图）ABC 几何表达式举例：(1)ABC 是等腰三角形 AB=AC (2)AB=AC ABC 是等腰三角形 6等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.（如图）ABC 几何表达式举例：(1)ABC 是等边三角形 AB=BC=AC(2)AB=BC=AC ABC 是等边三角形 7三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和180；（如图）（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）几何表达式举例：(1)A+B+C=180 (2)C=90 图是角平分线三角形的中线定义几何表达式举例在三角形中连结一个顶高线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线如图是的高三角形的三边关三角形叫做等腰三角是等腰三角形形如图是等腰三角形等边三角形的定学习必备 精品知识点（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（1）（2）（3）（4）A+B=90 (3)ACD=A+B (4)ACD A 8直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）ABC 几何表达式举例：(1)C=90 ABC 是直角三角形(2)ABC 是直角三角形 C=90 9等腰直角三角形的定义：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）ABC 几何表达式举例：(1)C=90 CA=CB ABC 是等腰直角三角形(2)ABC 是等腰直角三角形 C=90 CA=CB 10全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（如图）（2）全等三角形的对应角相等.（如图）几何表达式举例：(1)ABC EFG AB=EF DABCABCABC图是角平分线三角形的中线定义几何表达式举例在三角形中连结一个顶高线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线如图是的高三角形的三边关三角形叫做等腰三角是等腰三角形形如图是等腰三角形等边三角形的定学习必备 精品知识点 (2)ABC EFG A=E 11全等三角形的判定：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.（如图）（1）（2）（3）几何表达式举例：(1)AB=EF B=F 又 BC=FG ABC EFG(2)(3)在Rt ABC 和Rt EFG 中 AB=EF 又 AC=EG Rt ABC Rt EFG 12角平分线的性质定理及逆定理：（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图）AOBCDE 几何表达式举例：(1)OC 平分 AOB 又 CD OA CE OB CD=CE (2)CD OA CE OB 又 CD=CE ABCGEFABCGEFABCEFG图是角平分线三角形的中线定义几何表达式举例在三角形中连结一个顶高线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线如图是的高三角形的三边关三角形叫做等腰三角是等腰三角形形如图是等腰三角形等边三角形的定学习必备 精品知识点 OC 是角平分线 13线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）ABEFO 几何表达式举例：(1)EF 垂直平分AB EF AB OA=OB(2)EF AB OA=OB EF 是AB 的垂直平分线 14 线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）ABCMNP 几何表达式举例：(1)MN是线段AB的垂直平分线 PA=PB (2)PA=PB 点 P 在线段AB 的垂直平分线上 15等腰三角形的性质定理及推论：（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一；（如图）（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60.（如图）几何表达式举例：(1)AB=AC B=C (2)AB=AC 又BAD=CAD 图是角平分线三角形的中线定义几何表达式举例在三角形中连结一个顶高线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线如图是的高三角形的三边关三角形叫做等腰三角是等腰三角形形如图是等腰三角形等边三角形的定学习必备 精品知识点 ABC（1）ABCD（2）ABC（3）BD=CD AD BC (3)ABC 是等边三角形 A=B=C=60 16等腰三角形的判定定理及推论：（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；（如图）（4）在直角三角形中，如果有一个角等于 30，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）ABC（1）ABC（2）（3）ABC（4）几何表达式举例：(1)B=C AB=AC (2)A=B=C ABC 是等边三角形(3)A=60 又 AB=AC ABC 是等边三角形(4)C=90 B=30 AC=21AB 17关于轴对称的定理（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）几何表达式举例：(1)ABC、EGF 关于MN 轴对称 EFMOABCNG图是角平分线三角形的中线定义几何表达式举例在三角形中连结一个顶高线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线如图是的高三角形的三边关三角形叫做等腰三角是等腰三角形形如图是等腰三角形等边三角形的定学习必备 精品知识点（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）ABC EGF(2)ABC、EGF 关于MN 轴对称 OA=OE MN AE 18勾股定理及逆定理：（1）直角三角形的两直角边 a、b的平方和等于斜边 c 的平方，即a2+b2=c2；（如图）（2）如果三角形的三边长有下面关系:a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图）ABC 几何表达式举例：(1)ABC 是直角三角形 a2+b2=c2(2)a2+b2=c2 ABC 是直角三角形 19Rt斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）DABC 几何表达式举例：ABC 是直角三角形 D 是AB 的中点 CD=21AB(2)CD=AD=BD ABC 是直角三角形 图是角平分线三角形的中线定义几何表达式举例在三角形中连结一个顶高线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线如图是的高三角形的三边关三角形叫做等腰三角是等腰三角形形如图是等腰三角形等边三角形的定学习必备 精品知识点 几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二 常识：1三角形中，第三边长的判断：另两边之差第三边另两边之和.2三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3 如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD AB，BE CA，则CD AB=BE CA.4三角形能否成立的条件是：最长边另两边之和.5直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.6分别含30、45、60的直角三角形是特殊的直角三角形.7如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：（1）AC CB=CD AB；（2）1=B，2=A.8三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的ABCEDABCD12图是角平分线三角形的中线定义几何表达式举例在三角形中连结一个顶高线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线如图是的高三角形的三边关三角形叫做等腰三角是等腰三角形形如图是等腰三角形等边三角形的定学习必备 精品知识点 边是对应边.10等边三角形是特殊的等腰三角形.11几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.18几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：构造特殊图形，使可用的定理增加；一举多得；图是角平分线三角形的中线定义几何表达式举例在三角形中连结一个顶高线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线如图是的高三角形的三边关三角形叫做等腰三角是等腰三角形形如图是等腰三角形等边三角形的定学习必备 精品知识点 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；作辅助线必须符合几何基本作图.（2）已知角平分线.（若BD 是角平分线）在 BA 上截取 BE=BC 构造全等，转移线段和角；过D 点作DE BC 交AB 于E，构造等腰三角形.（3）已知三角形中线（若AD 是BC 的中线）过D 点作DE AC 交AB于E，构造中位线；延长AD 到E，使DE=AD 连结CE 构造全等，转移线段和角；AD 是中线 S ABD=S ADC（等底等高的三角形等面积）(4)已知等腰三角形ABC 中，AB=AC 作等腰三角形ABC 底边的中线AD（顶角的平分线或底边的高）构造全 等三角形；作等腰三角形 ABC 一边的平行线 DE，构造 新的等腰三角形.BCDAEBCDAEADECBADECBADCBADCBEADCBEADCB图是角平分线三角形的中线定义几何表达式举例在三角形中连结一个顶高线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线如图是的高三角形的三边关三角形叫做等腰三角是等腰三角形形如图是等腰三角形等边三角形的定学习必备 精品知识点（5）其它 作等边三角形ABC 一边 的平行线DE，构造新的等边三角形；作CE AB，转移角；延长BD 与AC 交于E，不规则图形转化为规则图形；多边形转化为三角形；延长 BC 到 D，使CD=BC，连结AD，直角三角形转化为等腰三角形；若a b,AC,BC 是角平 分线,则 C=90 .DACBECBADECEBDAADOBCEBCDABACab图是角平分线三角形的中线定义几何表达式举例在三角形中连结一个顶高线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线如图是的高三角形的三边关三角形叫做等腰三角是等腰三角形形如图是等腰三角形等边三角形的定