2023年第三章多维随机变量及其分布测试卷最新版超详细解析超详细解析答案.pdf

第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题每空 3 分 1设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,AxyxyxyF x y 其他,则 A=_1_ 2假设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)则随机点落在矩形区域 x1xx2,y1yb与 B=Yb相互独立，且3()4P AB,则 b=_34_ _.6在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于14”的概率为_ _ 31ln444 .7 设X和Y为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P XYP XP Y,则(max,0)PX Y _ 57 .8随机变量(,)(0,0,1,1,0)X YN,则 D(3X-2Y)=_ 13 .9设()25,()36,0.4XYD XD Y,则()D XY 85 ，()D XY 37 .10设随机变量2(3),()()0,()4,()16,ZaXYE XE YD XD Y 0.5XY,则min()E Z 108 .二、单项选择题每题 4 分 1以下函数可以作为二维分布函数的是 B .A.,0,8.0,1),(其他yxyxF B.,0,0,0,),(0 0其他yxdsdteyxFy xts C.yxtsdsdteyxF),(D.,0,0,0,),(其他yxeyxFyx 2设平面区域 D 由曲线1yx及直线20,1,xyye围成，二维随机变量在区域 D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于 Y 的边缘密度函数在 y=2 处的值为C A12 B13 C14 D12 3假设(X,Y)服从二维均匀分布，则 B A随机变量 X,Y都服从一维均匀分布 B随机变量 X,Y不一定服从一维均匀分布 C随机变量 X,Y一定都服从一维均匀分布 D随机变量 X+Y服从一维均匀分布 4假设 D(X+Y)=D(X)+D(Y),则 A AX与 Y不相关 B(,)()()XYF x yFxFy YCX与 Y相互独立 D1XY 5在0,上均匀地任取两数 X和 Y，则cos()0PXY D A1 B12 C 23 D34 三、计算题第一题 20 分，第二题 24 分 1已知2(),(),(1,2,3),abP XkP YkkXYkk 与 相互独立.(1)确定 a,b 的值；(2)求(X,Y)的联合分布列；(3)求 X-Y的概率分布.解：(1)由正则性()1kP Xk有，612311aaaa ()1kP Yk 有，3614949bbbb (2)(X,Y)的联合分布律为 X-3-2-1 1 24/539 54/539 216/539 2 12/539 27/539 108/539 3 8/539 18/539 72/539 (3)X-Y 的概率分布为 X-Y-2-1 0 1 2 P 24/539 66/539 251/539 126/539 72/539 2.设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,xykexyp x y其他(1)确定常数 k；(2)求(X,Y)的分布函数；(3)求(01,02)PXY.解：10(34)01xykedxdy 400011433()()430|112yyxxedxkeedykk e k=12 2143(34)(,)1212(1)(1)1200y xyxuvF x yedudvee 43(1)(1)0,0yxeexy 34(1)(1),0,00,(,)xyeexyF x y其他 3(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)PXYFFFF 38(1)(1)ee 3设随机变量 X,Y 相互独立，且各自的密度函数为121,0()20,0 xXexpxx，131,0()30,0 xYeypyy，求 Z=X+Y的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()ZXYpzpx pzx dx()Xpx在 x0 时有非零值，()Ypzx在 z-x0 即 xz 时有非零值()()XYpx pzx在 0 xz 时有非零值 336362000111()|236zzz xzxzxxzZpzeedxeedxee 36(1)zzee 当 z0 时，()0Zpz 所以 Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,0zzZeezpzz 4设随机变量 X,Y 的联合密度函数为3412,0,0(,)0,xyexyp x y 其他，分别求以下概率密度函数.(1),MMax X Y;(2),NMin X Y.解：1因为3430()(,)123xyxXpxp x y dyedye 3440()(,)124xyyYpyp x y dxedye 所以(,)()()XYp x ypx py即 X与 Y独立.所以当 z0 时，()0MFz 当 z0 时，()()(,)()()MFzP MzP Xz YzP Xz P Yz 34()()(1)(1)zzXYFz Fzee 所以34430,0()3(1)4(1),0Mzzzzzpzeeeez3470,0347,0zzzzeeez(2)当 z0 时，()0NFz 当 z0 时，()()(,)1()()NFzP NzP Xz YzP Xz P Yz 7ze 所以70,0()7,0Mzzpzez3470,0347,0zzzzeeez 5设随机变量 X,Y 相互独立,其密度函数分别为2,01()0,Xxxpx 其他，(5),5()0,yYeypy 其他，求XY.解：因为 X,Y相互独立，则 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以0XY 6设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,xxyxp x y 其他，求 X和 Y的边际密度函数.解：20()(,)33,01xXpxp x y dyxdyxx 1223()(,)3(1),012Yypyp x y dxxdxyxy 四、证明题.1 已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表，试验证 X与 Y不相关，但 X与 Y不独立.证明：因为 E(X)=-10.375+0 0.25+1 0.375=0 E(Y)=-10.375+0 0.25+1 0.375=0 E(XY)=-10.25+0 0.5+1 0.25=0 所以 E(XY)=E(X)E(Y)即 X 与 Y 不相关.又因为 P(X=1,Y=1)=0.125，P(X=1)=0.375，P(Y=1)=0.375 P(X=1,Y=1)P(X=1)P(Y=1)所以 X 与 Y 不独立.2设随机变量(X,Y)满足()()0,()()1,(,)E XE YD XD YCov X Y,证明222(max,)11EXY.证明：因为()()0,()()1,(,)E XE YD XD YCov X Y 所以2222()()()1,()()()1E XD XE XE YD YE Y ()(,)()()E XYCov X YE X E Y 2222221max(,)|2XYXYXY 因 所以2222222211(max(,)()()(|)1(|)22EXYE XE YEXYEXY 由柯西施瓦兹不等式有222()()()EXYE XE Y 所以22222211(max(,)1(|)1(|)(|)22EXYEXYEXYEXY 又因为22222(|)(2)()()2()22EXYE XYXYE XE YE XY 22222(|)(2)()()2()22EXYE XYXYE XE YE XY 所以2221(max(,)1(22)(22)112EXY 3设二维随机变量),YX（的联合概率密度为：1(1),1,1(,)40,xyxyp x y其他 证明X与Y不独立，而2X与2Y相互独立 证明：因为1111()(,)(1),1142Xpxp x y dyxy dyx 1111()(,)(1),1142Ypyp x y dxxy dxy 所以(,)()()XYp x ypx py 即X与Y不独立 设22,UXVY则22(,)(,)(,)F u vP Xu YvPuXuvYv 所以当0,0(,)0uvF u v时，；当1 11 111,1(,)(1)14uvF u vxy dxdy 时，；当1111,01(,)(1)4vvuvF u vxy dxdyv 时，；当11101,1(,)(1)4uuuvF u vxy dxdyu 时，；当101,01(,)(1)4uvuvuvF u vxy dxdyuv 时，；所以,1,01,01,1(,),01,011,1,10,0,0vuvuuvF u vuvuvuvuv 所以0,(,)1,01,014p u vuvuv 其他 所以1011(),0142Upudvvuvu 1011(),0142Vpvduuuvv 故()()(,)UVpu pvp u v 所以 U与 V独立，即2X与2Y相互独立