2023年人教版高中数学必修五全套精品讲义.pdf

1课题:111 正弦定理授课类型：新授课教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程.课题导入如图 11-1，固定ABC的边 CB及B，使边 AC绕着顶点C 转动。A 思考：C 的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB的长度随着其对角C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？C B.讲授新课 探索研究 (图 11-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图11-2，在 RtABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc,A则sinsinsinabccABC b c 从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC C a B(图 11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=sinsinaBbA,则sinsinabAB，C 同理可得sinsincbCB，b a 从而sinsinabABsincC A c B 2 (图 11-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点 A 作jAC，C 由向量的加法可得ABACCB则()jABjACCB A B jABjACjCBj00cos 900cos 90j ABAj CBCsinsincAaC，即sinsinacAC同理，过点C 作jBC，可得sinsinbcBC从而sinsinabABsincC类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC 理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使sinakA，sinbkB，sinckC；（2）sinsinabABsincC等价于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAsincC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析 例 1在ABC 中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，0180()CAB000180(32.081.8)066.2；根据正弦定理，300sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2在ABC 中，已知20acm，28bcm，040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20bABa因为00B0180，所以064B，或0116.B 当064B时，00000180()180(4064)76CAB，00sin20sin7630().sinsin40aCccmA 当0116B时，00000180()180(40116)24CAB，00sin20sin2413().sinsin40aCccmA评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。.课堂练习第 5 页练习第 1（1）、2（1）题。补充练习 已知ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，求:a b c（答案：1：2：3）.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：sinsinabABsincC0sinsinsinabck kABC；或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。.课后作业第 10 页 习题 1.1A组第 1（1）、2（1）题。板书设计授后记4课题:1.1.2余弦定理授课类型：新授课教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程.课题导入C如图 11-4，在ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b和C，求边 c b a A c B(图 11-4).讲授新课 探索研究 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B 均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A 如图 11-5，设CBa，CA b，ABc，那么cab，则bc22222cc cababa ab ba baba bCa B从而2222coscababC (图 11-5)同理可证2222cosabcbcA2222cosbacacB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cosabcbcA52222cosbacacB2222coscababC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2bacCba 理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=090，则 cos0C，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析 例 1在ABC中，已知2 3a，62c，060B，求 b 及 A解：2222cosbacacB=22(23)(62)2 2 3(62)cos045=212(62)4 3(3 1)=82 2.b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos222222(22)(62)(23)1,2222 2(62)bcaAbc060.A解法二：sin02 3sinsin45,2 2aABb又62 2.41.43.8,2 3 2 1.83.6,ac，即00A090,060.A6评述：解法二应注意确定A 的取值范围。例 2在ABC中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形（见课本第8 页例 4，可由学生通过阅读进行理解）解：由余弦定理的推论得：cos2222bcaAbc22287.8161.7134.62 87.8 161.70.5543,056 20A；cos2222cabBca222134.6161.787.82 134.6 161.70.8398,032 53B；0000180()180(56 2032 53)CAB.课堂练习第 8 页练习第 1（1）、2（1）题。补充练习 在ABC中，若222abcbc，求角 A（答案：A=1200）.课时小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。.课后作业课后阅读：课本第9 页 探究与发现 课时作业：第11 页 习题 1.1A组第 3（1），4（1）题。板书设计授后记7课题:113 解三角形的进一步讨论授课类型：新授课教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。教学过程.课题导入 创设情景 思考：在ABC中，已知22acm，25bcm，0133A，解三角形。（由学生阅读课本第9 页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。.讲授新课 探索研究 例 1在ABC中，已知,a b A，讨论三角形解的情况分析：先由sinsinbABa可进一步求出B；则0180()CAB从而sinaCcA1当 A 为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。2当 A 为锐角时，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sinabA，则有两解；（2）若sinabA，则只有一解；（3）若sinabA，则无解。（以上解答过程详见课本第910 页）8评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且sinbA ab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。随堂练习1（1）在ABC中，已知80a，100b，045A，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若1a，12c，040C，则符合题意的b 的值有_ 个。（3）在ABC中，axcm，2bcm，045B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3）22 2x）例 2在ABC中，已知7a，5b，3c，判断ABC的类型。分析：由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角abcAabcAabcAABC 是锐角三角形（注意：是锐角AABC 是锐角三角形）解：222753，即222abc，ABC 是钝角三角形。随堂练习2（1）在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件coscosaA bB，判断ABC的类型。（答案：（1）ABC是钝角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）例 3在ABC中，060A，1b，面积为32，求sinsinsinabcABC的值分析：可利用三角形面积定理111sinsinsin222SabCacBbcA以及正弦定理sinsinabABsincCsinsinsinabcABC解：由13sin22SbcA得2c，则2222cosabcbcA=3，即3a，从而sinsinsinabcABC2sinaA.课堂练习（1）在ABC 中，若55a，16b，且此三角形的面积2203S，求角C（2）在ABC 中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积2224abcS，求角C（答案：（1）060或0120；（2）045）9.课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。.课后作业（1）在ABC中，已知4b，10c，030B，试判断此三角形的解的情况。（2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。（3）在ABC中，060A，1a，2bc，判断ABC的形状。（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760 xx的根，求这个三角形的面积。板书设计授后记10课题:2.2 解三角形应用举例第一课时授课类型：新授课教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2 这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图教学过程.课题导入1、复习旧知 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 例题讲解(2)例 1、如图，设A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出 AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求 A、B两点的距离(精确到 0.1m)11启发提问 1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得ACBABsin=ABCACsinAB=ABCACBACsinsin=ABCACBsinsin55 =)7551180sin(75sin55=54sin75sin55 65.7(m)答:A、B 两点间的距离为65.7 米变式练习：两灯塔 A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔 A 在观察站 C的北偏东30，灯塔 B 在观察站C 南偏东 60，则 A、B 之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型。解略：2a km 例 2、如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B 两点间距离的方法。分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和 BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。12解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得 CD=a，并且在 C、D 两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得 AC=)(180sin)sin(a=)sin()sin(a BC=)(180sinsina=)sin(sina计算出 AC和 BC 后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB=cos222BCACBCAC分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选取相距40 米的 C、D 两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60略解：将题中各已知量代入例2 推出的公式，得AB=206评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本4 页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。.课堂练习课本第 14 页练习第1、2 题.课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.课后作业课本第 22 页第 1、2、3 题板书设计授后记13课题:2.2 解三角形应用举例第二课时授课类型：新授课教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3 道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导 讨论 归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力教学重点结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件教学过程.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.讲授新课 范例讲解 例 1、AB是底部 B不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。分析：求 AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离 CA，再测出由 C 点观察 A 的仰角，就可以计算出AE的长。解：选择一条水平基线HG，使 H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是、，CD=a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理14可得AC=)sin(sinaAB=AE+h =ACsin+h=)sin(sinsina+h 例 2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角=5404，在塔底C处测得 A 处的俯角=501。已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到 1 m)师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求 CD，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢？生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。解:在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.根据正弦定理,)sin(BC=)90sin(AB所以AB=)sin()90sin(BC=)sin(cosBC解 RtABD中,得 BD=ABsinBAD=)sin(sincosBC将测量数据代入上式,得 BD=)1500454sin(0454sin150cos3.2715 =934sin0454sin150cos3.27177(m)CD=BD-BC 177-27.3=150(m)答:山的高度约为150 米.师：有没有别的解法呢？生：若在ACD中求 CD，可先求出AC。师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）例 3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南 15的方向上,行驶 5km 后到达 B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为 8,求此山的高度CD.师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生：在BCD中师：在BCD中，已知BD或 BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？生：BC边解:在ABC中,A=15,C=25-15=10,根据正弦定理,ABCsin=CABsin,BC =CAABsinsin=10sin15sin5 7.4524(km)CD=BC tanDBCBCtan81047(m)答:山的高度约为1047 米.课堂练习课本第 17 页练习第1、2、3 题.课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。.课后作业161、课本第 23 页练习第6、7、8 题2、为测某塔 AB 的高度，在一幢与塔AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔 AB的高度为多少m？答案：20+3320(m)板书设计授后记课题:2.2 解三角形应用举例第三课时授课类型：新授课教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2 道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题教学过程.课题导入 创设情境 提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。.讲授新课 范例讲解 例 1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从 B 出发,沿北偏东 32的方向航行54.0n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)17学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和 AB边的夹角CAB。解：在ABC中，ABC=180-75+32=137，根据余弦定理，AC=ABCBCABBCABcos222 =137cos0.545.6720.545.6722113.15根据正弦定理,CABBCsin=ABCACsin sinCAB=ACABCBC sin =15.113137sin0.540.3255,所以CAB=19.0,75-CAB=56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile 例 2、在某点 B处测得建筑物AE的顶端 A 的仰角为，沿 BE方向前进30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为2，再继续前进103m至 D点，测得顶端 A 的仰角为4，求的大小和建筑物 AE的高。师：请大家根据题意画出方位图。18生：上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=103，ADC=180-4，2sin310=)4180sin(30。因为 sin4=2sin2cos2cos2=23,得 2=30=15，在 RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为 15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE=x，AE=h在 RtACE中,(103+x)2+h2=302在 RtADE中,x2+h2=(103)2两式相减，得x=53,h=15在 RtACE中,tan2=xh310=332=30,=15答：所求角为 15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=103m在 RtACE中，sin2=30 x -在 RtADE中，sin4=3104,-19 得 cos2=23,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为 15，建筑物高度为15m例 3、某巡逻艇在A 处发现北偏东45相距 9 海里的 C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在 B 处追上走私船，则 CB=10 x,AB=14x,AC=9,ACB=75+45=120(14x)2=92+(10 x)2-2910 xcos120化简得 32x2-30 x-27=0，即 x=23,或 x=-169(舍去)所以 BC=10 x=15,AB=14x=21,又因为 sinBAC=ABBC120sin=211523=1435BAC=3831,或BAC=14174（钝角不合题意，舍去），3831+45=8331答：巡逻艇应该沿北偏东8331方向去追，经过1.4 小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.课堂练习课本第 18 页练习.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。.课后作业1、课本第23 页练习第9、10、11 题202、我舰在敌岛A 南偏西50相距 12 海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2 小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）板书设计授后记课题:2.2 解三角形应用举例授课类型：新授课教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题教学过程.课题导入 创设情境 师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在ABC中，边 BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表示？生：ha=bsinC=csinBhb=csinA=asinChc=asinB=bsinaA师：根据以前学过的三角形面积公式S=21ah,应用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=21absinC，大家能推出其它的几个公式吗？21生：同理可得，S=21bcsinA,S=21acsinB师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.讲授新课 范例讲解 例 1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）（1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知 B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：（1）应用 S=21acsinB，得S=2114.823.5sin148.5 90.9(cm2)(2)根据正弦定理，Bbsin=Ccsin c=BCbsinsinS=21bcsinA=21b2BACsinsinsinA=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5S=213.1627.62sin5.51sin8.65sin4.0(cm2)(3)根据余弦定理的推论，得cosB=cabac2222=4.417.3823.274.417.382220.7697sinB=B2cos127697.010.6384应用 S=21acsinB，得22S 2141.438.70.6384 511.4(cm2)例 2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。解：设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosB=cabac2222=68127288681272220.7532sinB=27532.010.6578应用 S=21acsinB S 21681270.6578 2840.38(m2)答：这个区域的面积是2840.38m2。例 3、在ABC中，求证：（1）;sinsinsin222222CBAcba（2）2a+2b+2c=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设Aasin=Bbsin=Ccsin=k 显然 k0，所以左边=CkBkAkcba222222222sinsinsin =CBA222sinsinsin=右边（2）根据余弦定理的推论，23右边=2(bcbcacb2222+cacabac2222+ababcba2222)=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=63,求 a 及ABC的面积 S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=93;a=12,S=183变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，（1）acosA=bcosB（2）sinC=BABAcoscossinsin提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”（1）师：大家尝试分别用两个定理进行证明。生 1：（余弦定理）得abcacb2222=bcabac2222c44222)(baba=)(2222baba22222bacba或根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形生 2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,A=B根据边的关系易得是等腰三角形师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与 2B 两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90(2)（解略）直角三角形.课堂练习课本第 21 页练习第1、2 题24.课时小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。.课后作业课本第 23 页练习第12、14、15 题板书设计授后记第二章数列课题:2.1数列的概念与简单表示法授课类型：新授课（第 1 课时）教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程.课题导入三角形数：1，3，6，10，正方形数：1，4，9，16，25，.讲授新课 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第 2 项，第n 项，.例如，上述例子均是数列，其中中，“4”是这个数列的第1 项（或首项），“9”是这个数列中的第6 项.数列的一般形式：,321naaaa，或简记为na，其中na是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关25系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项151413121序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：nan1来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3代替公式中的n，就可以求出该数列相应的