2023年人教版高一数学知识点归纳总结全面汇总归纳1.pdf
高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 集合的含义 集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y 元素的无序性:如：a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合 3.集合的表示：如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 列举法：a,b,c 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR|x-32,x|x-32 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 Venn 图:4、集合的分类：有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意：BA有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。反之:集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2“相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 BA)如果 AB,BC,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题一题多解&指数函数 y=ax aa*ab=aa+b(a0,a、b 属于 Q)(aa)b=aab(a0,a、b 属于 Q)(ab)a=aa*ba(a0,a、b 属于 Q)指数函数对称规律：1、函数 y=ax 与 y=a-x 关于 y 轴对称 2、函数 y=ax 与 y=-ax 关于 x 轴对称 3、函数 y=ax 与 y=-a-x关于坐标原点对称&对数函数 y=logax 如果0a，且1a，0M，0N，那么：1 Ma(log)NMalogNalog；2 NMalogMalogNalog；3 naMlognMalog )(Rn 注意：换底公式 abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）幂函数 y=xa(a 属于 R)1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra 的函数称为幂函数，其中为常数 2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0上是增函数 特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy 的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图象与x轴有交点函数)(xfy 有零点 3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程0)(xf的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy（1），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点 三、平面向量 向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量 有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为0的向量 单位向量：长度等于1个单位的向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量&向量的运算 加法运算 ABBCAC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA、OB，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB，则以 O 为起点的对角线 OC 就是向量 OA、OB 的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量 a，有：0aa0a。|ab|a|b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算 与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，(a)a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a(a)(a)a0（2）aba(b)。数乘运算 实数与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，|a|a|，当 0 时，a 的方向和 a 的方向相同，当 0 时，a 的方向和 a 的方向相反，当=0 时，a=0。设、是实数，那么：（1）()a=(a)（2）()a=a a（3）(a b)=a b（4）()a=(a)=(a)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。向量的数量积 已知两个非零向量 a、b，那么|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积或内积，记作 a?b，是 a 与 b的夹角，|a|cos（|b|cos）叫做向量 a 在 b 方向上（b 在 a 方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为 0。a?b 的几何意义：数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。四、三角函数 1、善于用“1“巧解题 2、三角问题的非三角化解题策略 3、三角函数有界性求最值解题方法 4、三角函数向量综合题例析 5、三角函数中的数学思想方法 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyx cosyx tanyx 图象 定义域 R R,2x xkk 值域 1,1 1,1 R 函 数 性 质 最值 当22xkk时，max1y；当22xk k时，min1y 当2xkk时，max1y；当2xk k时，min1y 既无最大值也无最小值 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,222kk k上是增函数；在 32,222kk k上是减函数 在2,2kkk 上是增函数；在2,2kk k上是减函数 在,22kk k上是增函数 对称性 对称中心,0kk 对称轴2xkk 对称中心,02kk 对称轴xkk 对称中心,02kk 无对称轴 必修四 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角 第一象限角的集合为36036090,kkk ooo 第二象限角的集合为36090360180,kkk oooo 第三象限角的集合为360180360270,kkk oooo 第四象限角的集合为360270360360,kkk oooo 终边在x轴上的角的集合为180,kk o 终边在y轴上的角的集合为18090,kk oo 终边在坐标轴上的角的集合为90,kk o 3、与角终边相同的角的集合为360,kk o 4、已知是第几象限角，确定*nn所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 口诀：奇变偶不变，符号看象限 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三：任意角与-的三角函数值之间的关系：sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到 2-与的三角函数值之间的关系：sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六：/2及 3/2与的三角函数值之间的关系：sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan (以上 kZ)其他三角函数知识：同角三角函数基本关系 同角三角函数的基本关系式 倒数关系:tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的关系：sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 平方关系：sin2()cos2()1 1tan2()sec2()1cot2()csc2()两角和差公式 两角和与差的三角函数公式 sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsin tantan tan（）1tan tan tantan tan（）1tan tan 倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin22sincos cos2cos2()sin2()2cos2()112sin2()2tan tan2 1tan2()半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）1cos sin2(/2)2 1cos cos2(/2)
