2023年正余弦定理复习考试精品讲义.pdf
正弦、余弦定理 一.教学内容：正弦、余弦定理 二.教学重、难点：1.重点：正弦、余弦定理。2.难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。考点集结 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 2sinsinsinabcRABC 2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbcaacBcababC g 变 形形式 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;a:b:c=sinA:sinB:sinC;sinsinsinsinabcaABCA 222222222cos;2cos;2cos.2bcaAbcacbBcaabcCab 解 决的 问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。注：在ABC中，sinAsinB 是 AB的充要条件。（sinAsinB22abRRabAB）二、应用举例 1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图）（2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B点的方位角为（如图）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图）北偏东o即由指北方向顺时针旋转o到达目标方向；北偏本o即由指北方向逆时针旋转o到达目标方向；南偏本等其他方向角类似。（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，i为坡比）2、ABC的面积公式（1）1()2aaSa h hag表示 边上的高；（2）111sinsinsin()2224abcSabCacBbcARR为外接圆半径；（3）1()()2Sr abc r 为内切圆半径。【典型例题】例 1 已知在ABC中，45A，2a，6c解此三角形。练习：不解三角形，判断下列三角形解的个数。（1）5a，4b，120A（2）7a，14b，150A（3）9a，10b，60A（4）50c，72b，135C 正弦定理余弦定理的应用：例 2：在ABC中，角,A B C所 对 的边 分,a b c.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB（）A 12 B12 C-1 D 1 练习：在ABC中，222sinsinsinsinsinABCBC，则A的取值范围是 （A）(0,6 （B）,)6 （C）(0,3 （D）,)3 利用正弦定理余弦定理判断三角形的形状及求取值范围 例 3若ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC 则ABC A一定是锐角三角形.B一定是直角三角形.C一定是钝角三角形.D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.练习：1、在锐角ABC中，BC1，B2A，则ACcosA的值等于_，AC的取值范围为_ 2、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3C2且babsin2CsinAsin2C(1)判断ABC的性状；(2)若|BAuuu rBCuuu r|2，求BAuuu rBCuuu r的取值范围 3、在ABC中，cos2B2ac2c，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 ()A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 利用正余弦定理求三角形面积 例 4（2009 浙江文）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足2 5cos25A，3AB ACuuu r uuu r （I）求ABC的面积；（II）若1c，求a的值 练习：在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足2 5cos25A，3AB ACuuu r uuu r （I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值 正余弦定理实际应用问题 例 5（本小题满分 12 分）如图，A，B 是海面上位于东西方向相距5(3 3)海里的两个观测点，现位于 A点北偏东 45，B 点北偏西 60 的 D点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援船到达 D 点需要多长时间？已知在ABC中，45A，2a，6c解此三角形。解：由余弦定理得：445cos62)6(22bb 02322bb 13 b 又 Cbbcos222)6(222 21cosC，60C或120C 75B或15B 13 b，60C，75B或13 b，120C，15B 例 4 已知a、b、c是ABC中，A、B、C的对边，S 是ABC的面积，若4a，5b，35S，求c的长度。解：4a，5b，35sin21CabS 23sinC 60C或120 当 60C时，21222abbac 21c 当 120C时，61222abbac 61c 即4)(2 ca 2 ca又1 ca 21ca B D C A 例 6 在ABC中，已知)13(ab，30C，求 A、B。解：由余弦定理，abcbaC22330coscos222 )13(3)324(2222acaa 22)32(ac aac21332 由正弦定理：30sin213sin)13(sinaBaAa 2230sin2sinB ba BA B 为锐角 45B 105)3045(180A 例 7 已知ABC中，BbaCAsin)()sin(sin2222，外接圆半径为2。（1）求C（2）求ABC面积的最大值 解：（1）由BbaCAsin)()sin(sin2222 RbbaRcRa2)()44(22222 2R 222babca abcba222 212cos222abcbaC 又 1800C 60C（2）BAabCabSsinsin322321sin21 )sin120coscos120(sinsin32)120sin(sin32AAAAA 232cos232sin23sin3cossin32AAAAA 23)302sin(3A 当 1202A 即 60A时，233maxS 例 8 在ABC中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 依次成等比数列，求BBBycossin2sin1的取值范围。解：acb 2 2121)(2122cos22222accaacaccaacbcaB 30B )4sin(2cossincossin)cos(sincossin2sin12BBBBBBBBBBy 12744B 1)4sin(22B 21y 例 9 在ABC中，若三边长为连续三个正整数，最大角是钝角，求此最大角。解：设1 ka，kb，1 kc，*Nk且1k C 是钝角 0)1(242cos222kkabcbaC 解得41 k *Nk 2k或 3 当2k时，1cosC（舍去）当3k时，41cosC )41arccos(c 最大角为)41arccos(【模拟试题】（答题时间：60 分钟）一.选择题：1.在ABC中，一定成立的等式是（）A.BbAasinsin B.BbAacoscos C.AbBasinsin D.AbBacoscos 2.在ABC中，若abBAcoscos，则ABC是（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形 3.已知ABC中，AB=1，BC=2，则C的取值范围是（）A.6,0(B.)2,0(C.2,6(D.3,6(4.ABC中，若Abasin23，则 B 为（）A.3 B.6 C.3或32 D.6或65 5.ABC的三边满足abcbacba3)(，则C等于（）A.15 B.30 C.45 D.60 6.在ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边 AC 上的高为（）A.223 B.233 C.23 D.33 7.ABC中，“BAsinsin”是“A=B”的（）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 8.ABC中，CCBBA222sinsinsinsinsin，则 A 等于（）A.30 B.60 C.120 D.150 9.ABC中，30B，350b，150c，则这个三角形是（）A.等边三角形 B.Rt三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 10.在ABC中，kCcBbAasinsinsin，则k=（）A.2R B.R C.4R D.21R 二.填空：1.在ABC中，已知7a，8b，1413cosC，则最大角的余弦值为 。2.在ABC中，CBAsincos2sin，则三角形为 。3.在ABC中，:6:)13(:cba2，则最小角为 。4.若)(341222acbS，则 A=。三.解答题：1.在ABC中，BC=a，bAC，a，b 是02322xx的两个根，且)cos(2BA=1，求（1）角 C 的度数 （2）AB 的长 （3）ABC的面积。2.在ABC中，10c，45A，30C，求a、b和B。3.若 2，3，x 为三边组成一个锐角三角形，求x的范围。4.在ABC中，若CBAcossin2sin，CBA222sinsinsin，试判断ABC形状。【试题答案】一.1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9.D 10.A 二.1.71 2.等腰三角形 3.45 4.30 三.1.解：（1）21)cos()(coscosBABAC 120C（2）a、b是02322xx的两个根 232baba 10)(cos2222222abbaababCBCACBCACAB 10AB（3）23sin21CbaSABC 2.解：CcAasinsin 21030sin45sin10sinsinCAca 105)(180CAB CcBbsinsin )26(5105sin20b 3.解：ABC为锐角 0cos0cos0cosCBA 且51x 51032023032222222222xxxx 5151322xxx 135x 4.解：CBA222sinsinsin 222cba ABC为Rt且90A 90CB，CB 90 CBcossin 由CBAcossin2sin B2sin21 21sin2B B为锐角 22sinB 45B 45C ABC是等腰直角三角形
