2023年八年级数学竞赛培训勾股定理.pdf

八年级数学竞赛培训：勾股定理 一、填空题（共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分）1（4 分）（2001 重庆）如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 为边向内作等边ABD，连接 DC，以 DC 为边作等边DCEB、E 在 C、D 的同侧，若 AB=，则 BE=_ 2（4 分）如图所示，在ABC 中，AB=5cm，AC=13cm，BC 边上的中线 AD=6cm，那么边 BC 的长为 _ cm 3（4 分）如图，设 P 是等边ABC 内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB 的度数是 _ 4（4 分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是 1997，那么另一条直角边的长为 _ 5（4 分）若ABC 的三边 a、b、c 满足条件：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为 _ 6（4 分）（2001 山东）如图，AD 是ABC 的中线，ADC=45 ，把ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C 处，则 BC与 BC 之间的数量关系是 BC=_ BC 7（4 分）（2008 扬州）如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为ABC 内一点，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后与ACP 重合，如果 AP=3，那么线段 PP 的长等于 _ 2 8（4 分）如图，已知 AB=13，BC=14，AC=15，ADBC 于 D，则 AD=_ 9（4 分）如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且ABC=90 ，则四边形 ABCD的面积是 _ cm2 二、选择题（共 9 小题，每小题 5 分，满分 45 分）10（5 分）如图，一个长为 10 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑1 米，那么梯子的底端的滑动距离（）10 题 12 题 13 题 15 题 A 等于 1 米 B 大于 1 米 C 小于 1 米 D 不能确定 11（5 分）若三角形中的一条边是另一条边的 2 倍，且有一个角为 30，则这个三角形是（）A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 以上都不对 12（5 分）（1999 广西）如上图，在四边形 ABCD 中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，则 AB=（）A 4 B 5 C 2 D 13（5 分）如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A CD、EF、GH B AB、EF、GH C AB、CD、GH D AB、CD、EF 14（5 分）在锐角三角形 ABC 中，a=1，b=3，那么第三边 c 的变化范围是（）A 2c4 B 2c3 C 2c D 2c 15（5 分）如图，用 3 个边长为 1 的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（）A B C D 16（5 分）ABC 三边 BC、CA、AB 的长分别为 a、b、c，这三边的高依次为 ha、hb、hc，若 a ha，b hb，则这个三角形为（）A 等边三角形 B 等腰非直角三角形 C 直角非等腰三角形 D 等腰直角三角形 17（5 分）如左下图，RtABC 中，ACB=90 ，CDAB 于 D，AF 平分CAB 交 CD 于 E，交 CB 于 F，且 EGAB交 CB 于 G，则 CF 与 GB 的大小关系是（）3 A CFGB B GB=CF C CFGB D 无法确定 18如由上图（5 分）（2003 山东）2002 年 8 月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为 a，较长的直角边为 b，那么（a+b）2的值为（）A 13 B 19 C 25 D 169 三、解答题（共 12 小题，满分 0 分）19如图，已知 P 是ABC 边 BC 上一点，且 PC=2PB，若ABC=45 ，APC=60，求：ACB 的大小 20如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，设 AC=b，BC=a，AB=c，CD=h 求证：21一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由 22（2010 武义县模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为 1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形（1）使三角形三边长为 3，；（2）使平行四边形有一锐角为 45，且面积为 4 23（1998 上海）已知：如图，在ABC 中，AB=AC，A=120，AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC，AB 于点 M，N，求证：CM=2BM 24如图，在 RtABC 中，A=90，D 为斜边 BC 中点，DEDF，求证：EF2=BE2+CF2 25如图，已知ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，AD 是斜边的中线，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=8，CF=6（1）求证：AEDCFD；（2）求DEF 的面积 4 26在ABC 中，AB=AC （1）如图，若点 P 是 BC 边上的中点，连接 AP求证：BP CP=AB2AP2；（2）如图，若点 P 是 BC 边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；（3）如图，若点 P 是 BC 边延长线上一点，线段 AB，AP，BP，CP 之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论（不必证明）27如图，在ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，E、F 分别是 BC 上两点，若EAF=45，试推断 BE、CF、EF 之间的数量关系，并说明理由 28如图，ACB=90，AD 是CAB 的平分线，BC=4，CD=，求 AC 的长 29（2003 烟台）（1）四年一度的国际数学家大会于 2002 年 8 月 20 日在北京召开，大会会标如图（1）它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 若大正方形的面积为 13，每个直角三角形两直角边的和是 5，求中间小正方形的面积（2）现有一张长为 6.5cm，宽为 2cm 的纸片，如图（2），请你将它分割成 6 块，再拼合成一个正方形（要求：先在图（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）30如图，在四边形 ABCD 中，ABC=30 ，ADC=60，AD=DC 证明：BD2=AB2+BC2 5 新课标八年级数学竞赛培训第 13 讲：勾股定理 参考答案与试题解析 一、填空题（共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分）1（4 分）（2001 重庆）如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 为边向内作等边ABD，连接 DC，以 DC 为边作等边DCEB、E 在 C、D 的同侧，若 AB=，则 BE=1 考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理 分析：由等腰直角三角形 ABC 中，AB=，由勾股定理可知 AC=AB=1，再证ADCBDE，从而推出BE=AC=1 解答：解：等腰直角三角形 ABC 中，AB=，AC=AB=1，等边ABD 和等边DCE，AD=BD，CD=ED，ADB=CDE，ADC=BDE，在ADC 和BDE 中，ADCBDE（SAS），BE=AC=1 点评：解决本题的关键是利用三角形全等得到所求线段的转化 2（4 分）如图所示，在ABC 中，AB=5cm，AC=13cm，BC 边上的中线 AD=6cm，那么边 BC 的长为 cm 考点：勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理 分析：延长 AD 到 E，使 DE=AD=6，连接 CE，可证ABDECD，利用勾股定理的逆定理可求AEC=90，再利用勾股定理，即可求出 CD 的长，进而求出答案 解答：解：延长 AD 到 E，使 DE=AD=6，连接 CE，BD=CD，ADB=CDE，ABDECD，CE=AB=5，AC2=AE2+CE2即 132=122+52，6 AEC 为直角三角形，即E=90，DEC 为直角三角形，CD=，BC=2CD=2（cm），故填 点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和勾股定理的逆定理即可解决问题 3（4 分）如图，设 P 是等边ABC 内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB 的度数是 150 考点：旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理 专题：计算题 分析：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 得BEA，根据旋转的性质得 BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60，则BPE为等边三角形，得到 PE=PB=4，BPE=60，在AEP 中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到APE 为直角三角形，且APE=90，即可得到APB 的度数 解答：解：ABC 为等边三角形，BA=BC，可将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 得BEA，连 EP，如图，BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60，BPE 为等边三角形，PE=PB=4，BPE=60，在AEP 中，AE=5，AP=3，PE=4，AE2=PE2+PA2，APE 为直角三角形，且APE=90，APB=90+60=150 故答案为 150 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理 4（4 分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是 1997，那么另一条直角边的长为 1994004 7 考点：勾股定理 专题：计算题；因式分解 分析：设斜边为 y，另一直角边为 x，则存在 y2x2=19972，题目中要求 x、y 为整数，根据因式分解可以求出 x、y 的数值即可解题 解答：解：设斜边为 y，另一直角边为 x，则存在 y2x2=19972，即（y+x）（yx）=19972，x，y 均为整数 得，解得 x=1994004，故答案为 1994004 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了因式分解的解题方法，本题中运用因式分解法计算 x、y 是解题的关键 5（4 分）若ABC 的三边 a、b、c 满足条件：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为 考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式 专题：计算题 分析：首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得 a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高 解答：解：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，（a5）2+（b12）2+（c13）2=0，a5=0，b12=0，c13=0，a=5，b=12，c=13，52+122=132，ABC 是直角三角形，这个三角形最长边上的高为：5 12 13=故答案为：点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积 斜边的长 6（4 分）（2001 山东）如图，AD 是ABC 的中线，ADC=45 ，把ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C 处，则 BC与 BC 之间的数量关系是 BC=BC 考点：翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形 专题：压轴题 分析：设 BD=x，则 BC=2x；根据折叠的性质可得，找出对应的边角即可求出 8 解答：解：BD=C D=x，BC D=ADC=45，可得C DB=90；故 BC=BC 点评：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系 7（4 分）（2008 扬州）如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为ABC 内一点，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后与ACP 重合，如果 AP=3，那么线段 PP 的长等于 考点：旋转的性质；等腰直角三角形 专题：压轴题 分析：根据旋转的性质，知：旋转角度是 90，根据旋转的性质得出 AP=AP=3，即PAP 是等腰直角三角形，腰长 AP=3，则可用勾股定理求出斜边 PP 的长 解答：解：ABP 绕点 A 逆时针旋转后与ACP 重合，ABPACP，即线段 AB 旋转后到 AC，旋转了 90，PAP=BAC=90 ，AP=AP=3，PP=3 点评：本题考查旋转的性质和直角三角形的性质旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等 8（4 分）如图，已知 AB=13，BC=14，AC=15，ADBC 于 D，则 AD=12 考点：勾股定理 专题：计算题 分析：由题意知，BD+DC=14，设BD=x，则 CD=14x，在直角ABD 中，AB 是斜边，根据勾股定理AB2=AD2+BD2，在直角ACD 中，根据勾股定理 AC2=AD2+CD2，列出方程组即可计算 x 的值，即可求得 AD 的长度 解答：解：BC=14，且 BC=BD+DC，设 BD=x，则 DC=14x，则在直角ABD 中，AB2=AD2+BD2，即 132=AD2+x2，在直角ACD 中，AC2=AD2+CD2，即 152=AD2+（14x）2，整理计算得 x=5，AD=12，故答案为 12 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了学生的方程思想，本题中设 BD=x，并且在直角ABD 和直角ACD 中根据勾股定理计算 BD 是解题的关键 9 9（4 分）如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且ABC=90 ，则四边形 ABCD的面积是 36 cm2 考点：勾股定理；三角形的面积 专题：计算题 分析：连接 AC，求证ACD 为直角三角形，则ABC 的面积=AC AD，ABC 面积=AB BC，四边形 ABCD的面积等于ABC 和ACD 面积之和 解答：解：连接 AC，ABC=90 ，AC=5cm，AC2+AD2=CD2，ACD 为直角三角形，ACD 面积=AC AD=30cm2，ABC 面积=AC BC=6cm2，故四边形 ABCD 的面积为 36cm2，故答案为 36 点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中判定ACD 是直角三角形是解题的关键 二、选择题（共 9 小题，每小题 5 分，满分 45 分）10（5 分）如图，一个长为 10 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑1 米，那么梯子的底端的滑动距离（）A 等于 1 米 B 大于 1 米 C 小于 1 米 D 不能确定 10 考点：勾股定理的应用 专题：应用题 分析：根据题意画出图形，利用勾股定理求出底端到墙的距离 BE 与 BF 的长，滑动的距离即 BFBE 的值 解答：解：如图，AC=EF=10 米，AB=8 米，AE=1 米，求 CF；B=90，由勾股定理得，BC=6 米，又AE=1 米，BE=7 米，EF=10 米，由勾股定理得，BF=米，即7，61 故选 B 点评：此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，做此题时要注意弄清题意，明白是要求梯足又向后移了多少即 CF 的长，而不是 BF 的长 11（5 分）若三角形中的一条边是另一条边的 2 倍，且有一个角为 30，则这个三角形是（）A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 以上都不对 考点：三角形 分析：如图，分 AB 是 30 角所对的边 AC 的 2 倍和 AB 是 30 角相邻的边 AC 的 2 倍两种情况求解 解答：解：如图：（1）当 AB 是 30 角所对的边 AC 的 2 倍时，ABC 是直角三角形；（2）当 AB 是 30 角相邻的边 AC 的 2 倍时，ABC 是钝角三角形 所以三角形的形状不能确定 故选 D 点评：解答本题关键在于已知 30 的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定 12（5 分）（1999 广西）如图，在四边形 ABCD 中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，则 AB=（）A 4 B 5 C 2 D 11 考点：解直角三角形 专题：计算题；压轴题 分析：分析题意构造一个直角三角形，然后利用勾股定理解答即可 解答：解：如图，延长 AD，BC 交于点 E，则E=30 在CED 中，CE=2CD=6（30 锐角所对直角边等于斜边一半），BE=BC+CE=8，在AEB 中，AE=2AB（30 锐角所对直角边等于斜边一半）AB2+BE2=AE2，即 AB2+64=（2AB）2，3AB2=64，解得：AB=故选 D 点评：本题通过作辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识进行计算 13（5 分）如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A CD、EF、GH B AB、EF、GH C AB、CD、GH D AB、CD、EF 考点：勾股定理；勾股定理的逆定理 专题：网格型 分析：设出正方形的边长，利用勾股定理，解出 AB、CD、EF、GH 各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形 解答：解：设小正方形的边长为 1，则 AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13 因为 AB2+EF2=GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是 AB、EF、GH故选 B 点评：考查了勾股定理逆定理的应用 14（5 分）在锐角三角形 ABC 中，a=1，b=3，那么第三边 c 的变化范围是（）A 2c4 B 2c3 C 2c D 2c 考点：三角形三边关系 分析：题中已知ABC 是锐角三角形，没有指明哪个角是最大角，从而无法确定边之间的关系，从而可以分两种情况进行分析，从而确定第三边 c 的变化范围 解答：解：当C 是最大角时，有C90 12 c c 当B 是最大角时，有B90 b2a2+c291+c2 c2 第三边 c 的变化范围：2c 故选 D 点评：此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用，关键是确定最大角 15（5 分）如图，用 3 个边长为 1 的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（）A B C D 考点：勾股定理的应用；轴对称的性质 专题：计算题；压轴题 分析：所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，找到对称轴中一点，使其到各顶点的最远距离相等即可求得覆盖本图形最小的圆的圆心，计算半径可解此题 解答：解：如图，得，解得：a=，r=故最小半径为 r=故选 D 点评：本题考查了正方形各边相等，且各内角均为直角的性质，考查了勾股定理的运用，本题中构建 a、r 是解题的关键 16（5 分）ABC 三边 BC、CA、AB 的长分别为 a、b、c，这三边的高依次为 ha、hb、hc，若 a ha，b hb，则这个三角形为（）A 等边三角形 B 等腰非直角三角形 C 直角非等腰三角形 D 等腰直角三角形 考点：等腰直角三角形；勾股定理 专题：计算题 分析：分别分析当 a=ha时，A 最大可能度数，B 的最大可能度数，再利用勾股定理即可求出答案 解答：解：当 a=ha时，A 最大可能度数为 45，13 所以当 a haha 时，A 45，同理B 45，故C=180 AB 90，等号当且仅当ABC 为等腰直角三角形时成立，故选 D 点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和勾股定理的理解和掌握，此题要分析各个角的最大度数，所以给此题增加了难度，是一道难题 17（5 分）如图，RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，AF 平分CAB 交 CD 于 E，交 CB 于 F，且 EGAB交 CB 于 G，则 CF 与 GB 的大小关系是（）A CFGB B GB=CF C CFGB D 无法确定 考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的判定与性质 专题：几何综合题 分析：用观察和作图的方法可以猜测 CF=GB下面只要证明 CF=GB 即可由条件ACB=90，AF 平分CAB，想到 FHAB，垂足为 H，连接 EH，易证菱形 CEHF，平行四边形 EHBG，故有 CF=EH=GB，从而得证要证明菱形 CEHF，只需证明两对边平行，临边相等，根据菱形的定义即可证明要证平行四边形 EHBG，两对边平行即可关于证明 EHBC，只需证明AHE=B，通过在 RtACD 与 RtACD 中，证明ACD=B、AHE=ACD 即可得 解答：解：过 F 做 FHAB 且交于点 H，连接 EH，在ACF 与AHF 中 AF 平分CAB 交 CD 于 E，又AF=AF，ACFAHF，AC=AH，同理在ACE 与AHE 中，ACEAHE，可知 CE=EH，ACE=AHE，在 RtACD 中，CAD+ACD=90，在 RtABC 中，CAB+B=90，又CAD 与CAB 为同一角，ACD=B，AHE=B，EHBC，CDAB，FHAB，CDFH，四边形 CEHF 为菱形，四边形 EGBH 为平行四边形，CF=EH，EH=GB，CF=GB 故选 B 14 点评：本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质难点在于恰当添加辅助线 FH、EH，根据题意证明菱形 CEHF，平行四边形 EHBG此类题学生丢分率较高，需注意 18（5 分）（2003 山东）2002 年 8 月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为 a，较长的直角边为 b，那么（a+b）2的值为（）A 13 B 19 C 25 D 169 考点：勾股定理 分析：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积 13，2ab 即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（a+b）2 解答：解：（a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（131）=25 故选 C 点评：注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和 a，b 之间的关系 三、解答题（共 12 小题，满分 0 分）19如图，已知 P 是ABC 边 BC 上一点，且 PC=2PB，若ABC=45 ，APC=60，求：ACB 的大小 考点：轴对称的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质 专题：计算题 分析：根据轴对称，角平分线和等边三角形的判定与性质，作 C 关于 AP 的对称点 C，连接 AC、BC、PC，求得 BA 平分C BC，C A 平分MC P，从而求得ACB 的大小 解答：解：作 C 关于 AP 的对称点 C，连接 AC、BC、PC，则有 PC=PC=2PB，APC=APC=60 可证BC P 为直角三角形（延长 PB 到 D，使 BD=BP，则 PD=PC，又C PB=60，则C PD 是等边三角形，由三线合一性质有 C BBP，C BP=90，15 因为ABC=45 ，所以C BA=45=ABC，所以 BA 平分C BC 所以 A 到 BC 的距离=A 到 BC 的距离 又因为APC=APC，所以 PA 平分C PC 所以 A 到 PC 距离=A 到 PC（即 BC）的距离 所以 A 到 BC 的距离=A 到 PC 的距离 所以 A 是角平分线上的点，即 C A 平分MC P 所以AC P=MC P=75=ACB 点评：本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质和等边三角形的判定与性质，有一定难度，作出辅助线是本题的关键 20如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，设 AC=b，BC=a，AB=c，CD=h 求证：考点：勾股定理；勾股定理的逆定理 专题：证明题 分析：要证明，只需证明即可，在直角ABC 中根据 BD2+CD2=BC2求证 解答：证明：在直角ABC 中，ACB=90 ，CDAB，则ACBADCCDB，=，即=，h2（+）=+=+=1，点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，解本题的关键是求证=，即=，使得 16+=+21一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由 考点：一元二次方程的整数根与有理根；勾股定理的逆定理 专题：应用题；分类讨论 分析：假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为 a、b、c，其中 c 为斜边，则，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解 解答：解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为 a、b、c，其中 c 为斜边，则，a、b、c 均为正整数，a b；不妨设 ab，则有 a+b+=，两边平方，并整理得：a2bab2+2ab=0，消去 ab 得：ab+2=0，即（a4）（b4）=8，又8=1 8=2 4，解得，则 c=13；，解得，则 c=10；综上所述，符合条件的直角三角形存在，其边长分别是 5、12、13；6、8、10共有 2 个这样的直角三角形 点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组 22（2010 武义县模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为 1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形（1）使三角形三边长为 3，；（2）使平行四边形有一锐角为 45，且面积为 4 17 考点：作图复杂作图 专题：网格型 分析：（1）本题中实际上是长为 2 宽为 2 的正方形的对角线长，实际上是长为 2 宽为 1 的矩形的对角线的长，据此可找出所求的三角形；（2）可先找出一个直角边为 2 的等腰直角三角形，然后据此画出平行四边形 解答：解：（1）三角 ABC 为所求；（2）四边形 DEFG 为所求 点评：关键是确定三角形的边长，然后根据边长画出所求的三角形 23（1998 上海）已知：如图，在ABC 中，AB=AC，A=120，AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC，AB 于点 M，N，求证：CM=2BM 考点：线段垂直平分线的性质 专题：证明题；压轴题 分析：先根据垂直平分线的性质，判定 AM=BM，再求出B=30，CAM=90 ，根据直角三角形中 30 度的角对的直角边是斜边的一半，得出 BM=AM=CA 即 CM=2BM 解答：证法 1：如答图所示，连接 AM，BAC=120，AB=AC，B=C=30，MN 是 AB 的垂直平分线，18 BM=AM，BAM=B=30，MAC=90 ，CM=2AM，CM=2BM 证法二：如答图所示，过 A 作 ADMN 交 BC 于点 D MN 是 AB 的垂直平分线，N 是 AB 的中点 ADMN，M 是 BD 的中点，即 BM=MD AC=AB，BAC=120，B=C=30，BAD=BNM=90 ，AD=BD=BM=MD，又CAD=BACBAD=120 90=30，CAD=C，AD=DC，BM=MD=DC，CM=2BM 点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 24如图，在 RtABC 中，A=90，D 为斜边 BC 中点，DEDF，求证：EF2=BE2+CF2 考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：延长 ED 到 G，使 DG=DE，连接 EF、FG、CG，由于 DF=DF，EDF=FDG=90，DG=DE，可得出EDFGDF，所以 EF=FG，同理证出 BE=CG，所以要证明 EF2=BE2+CF2，只需证明 FG2=FC2+CG2即可 解答：证明：延长 ED 到 G，使 DG=DE，连接 EF、FG、CG，如图所示：19 DF=DF，EDF=FDG=90，DG=DE EDFGDF（SAS），EF=FG 又D 为斜边 BC 中点 BD=DC 又BDE=CDG，DE=DG BDECDG（SAS）BE=CG，B=BCG ABCG GCA=180 A=180 90=90 在 RtFCG 中，由勾股定理得：FG2=CF2+CG2=CF2+BE2EF2=FG2=BE2+CF2 点评：本题考查勾股定理的应用，关键在于找出相应的直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法 25 如图，已知ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，AD 是斜边的中线，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=8，CF=6（1）求证：AEDCFD；（2）求DEF 的面积 考点：全等三角形的判定；勾股定理 专题：计算题；证明题 分析：（1）由ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，AD 是斜边的中线，可得：AD=DC，EAD=C=45，ADBC即CDF+ADF=90，又 DEDF，可得：EDA+ADF=90，故EDA=CDF，从而可证：AEDCFD；（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即EDF 为等腰直角三角形，在 RtAEF 中，运用勾股定理可将 EF 的值求出，进而可求出 DE、DF 的值，代入 SEDF=DE2进行求解 解答：（1）证明：在 RtABC 中，AB=AC，AD 为 BC 边的中线，DAC=BAD=C=45，ADBC，AD=DC，又DEDF，ADDC，EDA+ADF=CDF+FDA=90，EDA=CDF 在AED 与CFD 中，AEDCFD（ASA）20 （2）解：由（1）知：AE=CF=6，同理 AF=BE=8 EAF=90，EF2=AE2+AF2=62+82=100 EF=10，又由（1）知：AEDCFD，DE=DF，DEF 为等腰直角三角形，DE2+DF2=EF2=100，DE=DF=，SDEF=25 点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即 AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用 HL 定理，但 AAA、SSA，无法证明三角形全等 26在ABC 中，AB=AC （1）如图，若点 P 是 BC 边上的中点，连接 AP求证：BP CP=AB2AP2；（2）如图，若点 P 是 BC 边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；（3）如图，若点 P 是 BC 边延长线上一点，线段 AB，AP，BP，CP 之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论（不必证明）考点：勾股定理的应用 专题：证明题；探究型 分析：（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，可知 BP=CP，AB2AP2=BP BP；（2）成立，过点 A 作 ADBC 于 D，依然利用勾股定理，借助于平方差公式即可证明；（3）画出图形，利用勾股定理，AP2AB2=DP2BD2=2DC CP+CP2=BC CP+CP2=BP CP 解答：解：（1）AB=AC，P 是 BC 的中点，APBC AB2AP2=BP2=BP CP；（3 分）21（2）如图所示：成立，过点 A 作 ADBC 于 D，AB=AC，BD=CD 在 RtABD 中，AB2=AD2+BD2 在 RtAPD 中，AP2=AD2+PD2 得：AB2AP2=BD2PD2=（BD+PD）（BDPD）=PC BP；（3）如图所示：如右图，P 是 BC 延长线任一点，连接 AP，并做 ADBC，交 BC 于 D，AB=AC，ADBC，BD=CD，在 RtABD 中，AB2=AD2+BD2，在 RtADP 中，AP2=AD2+DP2，AP2AB2=（AD2+BD2）（AD2+DP2）=PD2BD2，又BP=BD+DP，CP=DPCD=DPBD，BP CP=（BD+DP）（DPBD）=DP2BD2，AP2AB2=BP CP 结论：AP2AB2=BP CP 点评：本题主要考查勾股定理的应用，以及等腰三角形性质的掌握 27如图，在ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，E、F 分别是 BC 上两点，若EAF=45，试推断 BE、CF、EF 之间的数量关系，并说明理由 考点：旋转的性质；勾股定理 专题：开放型 分析：将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90 得ACG，根据旋转的性质得 AG=AE，CG=BE，1=B，EAG=90，FCG=ACB+1=ACB+B=90，根据勾股定理有 FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；再根据EAF=45，易证得AGFAEF，则有 FG=EF，即可得到 BE、CF、EF 之间的数量关系 解答：解：BE、CF、EF 之间的数量关系为：EF2=BE2+FC2 理由如下：22 BAC=90，AB=AC，将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90 得ACG，连 FG，如图，AG=AE，CG=BE，1=B，EAG=90，FCG=ACB+1=ACB+B=90，FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；又EAF=45，而EAG=90，GAF=90 45=45，而 AG=AE，AF 公共，AGFAEF，FG=EF，EF2=BE2+FC2 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等也考查了勾股定理以及三角形全等的判定与性质 28如图，ACB=90，AD 是CAB 的平分线，BC=4，CD=，求 AC 的长 考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理 专题：计算题 分析：过点 D 作 DEAB 于 E，则ADCADE，所以 DE=CD=，可得 BD=，在 RtBDE 中，根据勾股定理可得 BE=2，再在 RtABC 中，设 AE=AC=x，由勾股定理解得 AE 的值，即是 AC 的值 解答：解：过点 D 作 DEAB 于 E，在ADC 和ADE 中 ADCADE（AAS），DE=CD=，AE=AC，BD=4=，在 RtBDE 中，BE=2，在 RtABC 中，设 AE=AC=x，x2+42=（x+2）2，23 解得 x=3，AC=3 点评：此题主要考查角平分线的性质和勾股定理以及全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键 29（2003 烟台）（1）四年一度的国际数学家大会于 2002 年 8 月 20 日在北京召开，大会会标如图（1）它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 若大正方形的面积为 13，每个直角三角形两直角边的和是 5，求中间小正方形的面积（2）现有一张长为 6.5cm，宽为 2cm 的纸片，如图（2），请你将它分割成 6 块，再拼合成一个正方形（要求：先在图（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）考点：勾股定理 专题：作图题 分析：（1）可设直角三角形的两条直角边，根据勾股定理得到两条直角边的一个关系式，再结合已知条件联立解方程组，求出两条直角边的长则小正方形的面积即为大正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积；（2）根据面积不变，可知要拼成的正方形的边长是13=4+9，故可以把它分割成 4 个直角边分别是 2和 3 的直角三角形和两个长宽分别是 1 和 0.5 的矩形 解答：解：（1）设直角三角形的两条边分别为 a、b（ab），则依题意有：，两边平方，得 ab=6，（ab）2=（a+b）24ab=1，ab=1，故小正方形的面积为 1 （2）点评：（1）注意正方形的面积即为直角三角形斜边的平方；（2）注意根据图形的面积不变进行分析 30如图，在四边形 ABCD 中，ABC=30 ，ADC=60，AD=DC 证明：BD2=AB2+BC2 24 考点：勾股定理的