2023年任意角的三角函数超详细导学案1.pdf

学习必备 欢迎下载 课题：3.2.1 任意角的三角函数（第一课时）一 教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2.理解任意角的三角函数不同的定义方法；3.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值.二 教学重难点：重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义。难点:任意角的三角函数不同的定义方法；已知角终边上一点，会求角的各三角函数值.三 复习回顾：复习 1：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.（1）坐标轴上；（2）第二、四象限.复习 2：锐角的三角函数如何定义？在初中，我们如果要求一个锐角的 三角函数值，经常把这个角放到一个直角三角形 中求其比值，从而得到锐角三角函数的值。那么，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标更方便 的去求一个锐角的三角函数值吗？我们可以采用以下方法：如图，设锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的 非负半轴重合，那么它的终边在第一象限.在的终边上任取 一点(,)P a b，它与原点的距离220rab.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，线段MP的长度为b.可得：sinMPbOPr；cos =，tanMPOM=.四、新课学习：知识点1：三角函数的定义 认真阅读教材 P11-P12，领会下面的内容：由相似三角形的知识，对于确定的角，这三个比值不会 随点 P在的终边上的位置的改变而改变，因此我们 可以将点 P取在使线段 OP的长为 r=1 的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标 表示的锐角三角函数的值为：sinMPOP_；cosOMOP_；tanMPOM_ 问题：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么，角的概念推广以后，我们应该如何得到任意角的三角函数呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为 1，然后就可以类似锐角三角函数求值的方法得到该角的三角函数值.注：单位圆：在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.上述的点 P 就是的终边与单位圆的交点，这样锐角三角函数就可以用单位圆上的点的坐标表示。那么我们可以用同样的方法得到任意角 的三角函数值。如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y，那么：（1）y 叫做的正弦(sine)，记做sin；（2）x 叫做的余弦(cossine)，记做cos；（3）yx叫做的正切(tangent)，记做tan.即：siny，cosx，tan(0)yxx.MP(a,b)oxyMP(a,b)MP(a,b)oxy学习必备 欢迎下载 练习：角34与单位圆的交点坐标为 ，则 sin34=，cos34=，tan34=.注：1)当()2kkZ 时，的终边在 y 轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于 0，所以xytan无意义.2)三角函数的定义域：函数 定义域 xysin R xycos R xytan,2|Zkkxx 确定三角函数的定义域时，要抓住分母不为 0 这一关键，当角的终边在坐标上时，点 P的坐标中必有一个为 0.3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，因而三角函数可以看成是自变量为实数的函数,正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数，我们将它们统称为三角函数。探究：如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?根据相似三角形的性质，在直角坐标系中，设 是一个任意角，终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为2222(|0)r rxyxy，则：sinyr；cos=rx；tan=xy.注意：一个角的三角函数值只与这个角的终边的位置有关，而与点的选取无关。为计算方便，我们把半径为 1 的圆（单位圆）与角的终边的交点选为点的理想位置。典型例题：例:求43角的正弦、余弦和正切值 变式练习 1 求56角的正弦、余弦和正切值 小结：作角终边求角终边与单位圆的交点利用三角函数定义来求,或在角的终边上找一个容易找到的点，利用sinyr，cos=rx，tan=xy求三角函数值.2、求35角的正弦、余弦和正切值 点任意角的三角函数不同的定义方法已知角终边上一点会求角的各三角经常把这个角放到一个直角三角形中求其比值从而得到锐角三角函数的半轴重合那么它的终边在第一象限在的终边上任取一点它与原点的距过学习必备 欢迎下载 例:已知角的终边经过点 P(4,3)，求 sin、cos、tan的值；练习：已知角的终边经过点 P(-4,2)，求 sin、cos、tan的值；方法总结：首先判断角的终边是否在单位圆上，再确定做题的方法。例：已知角的终边经过点 P(4a,3a)(a 0)，求 2sin+cos的值；例：已知角的终边在直线 y=-3x 上，求 sin,cos,tan的值。.cos,sin,1010cos)0)(3,(求，且终边上一点练习：已知角xxP 的定义域。例：求xxxytancossin 的定义域。练习：求函数xysincosx 当堂检测 1.tan()4（）.A.1 B.1 C.22 D.22 2.7sin6（）.A.12 B.12 C.32 D.32 3.如果角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴重合，终边在函数5(0)yx x的图象上，那么tan的值为（）.A.5 B.5 C.15 D.15 4.cos(30).5.已知点(3,4)Paa(0)a 在角的终边上，则tan=.点任意角的三角函数不同的定义方法已知角终边上一点会求角的各三角经常把这个角放到一个直角三角形中求其比值从而得到锐角三角函数的半轴重合那么它的终边在第一象限在的终边上任取一点它与原点的距过学习必备 欢迎下载 课后作业：（一）选择题 1、已知角的终边过点P（1,2）,cos 的值为 （）A 55 B 5 C552 D25 2、是第二象限角，P（x,5）为其终边上一点，且 cos=42x，则 sin 的值为（）A410 B46 C42 D410 二填空题 3、角的终边上有一点P（m，5），且)0(,13cosmm，则sin+cos=_ 4、已知角的终边在直线y=33 x 上，则 sin=；tan=三 解答题 5、已知角终边上一点P与x轴的距离和与 y 轴的距离之比为 34（且均不为零），求 2sin+cos的值 点任意角的三角函数不同的定义方法已知角终边上一点会求角的各三角经常把这个角放到一个直角三角形中求其比值从而得到锐角三角函数的半轴重合那么它的终边在第一象限在的终边上任取一点它与原点的距过学习必备 欢迎下载 知识点二：任意角的三角函数值在各象限内的符号：由于0r，所以任意角的三角函数的符号取决于点P所在的象限 当角的终边在第一象限时，点P在第一象限，0,0 xy，所以sin0,cos0,tan0；当角的终边在第二象限时，点P在第二象限，0,0 xy，所以sin0,cos0,tan0；当角的终边在第三象限时，点 P在第三象限，0,0 xy，所以sin0,cos0,tan0；当角的终边在第四象限时，点 P在第四象限，0,0 xy，所以sin0,cos0,tan0 任意角的三角函数符号的记忆方法：典型例题：例：判定下列各角的各三角函数符号：（1）4327 （2275 47tan)445cos)3 6sin6cos)6230cos105sin)5 分析 关键是判定角所在的象限 练习：判断下列三角函数值的符号。3tan)4)672tan()3)4sin()2250cos)1 例：根据条件sin0且tan0,确定是第几象限的角.练习：是第几象限角？请你判断0tan0sin 练习：书第 15 页练习 练习：请你求下列各角的三角函数值并背会：2,611,35,47,34,23,34,45,67,65,43,32,2,3,4,6,0 全正 正切正 余弦正 正弦正 x y o 点任意角的三角函数不同的定义方法已知角终边上一点会求角的各三角经常把这个角放到一个直角三角形中求其比值从而得到锐角三角函数的半轴重合那么它的终边在第一象限在的终边上任取一点它与原点的距过学习必备 欢迎下载 练习：求下列三角函数的值：)611tan()249cos)1 例:求下列各式的值:(1)5cos1803sin902tan 06sin 270；(2)cossintan3sinsincos364344.巩固性练习 1计算：5sin902cos03tan180cos180 2计算：213costantansincos24332 当堂检测：1、判别下列各三角函数值的符号：1）sin250 2）cos（4）3）tan(66636)4）tan113 5）sin174 6）cos1020 2、根据下列已知，判别所在象限：1）sin 0 且 tan 0、tancos cosx呢？当堂检测：1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）3；（2）56；（3）23；（4）136 54tan32tan)(354cos32cos)(254sin32sin)(12与与与、比较大小：3、利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围 ;21sin)1(x .21cos)2(x )(21sin204的取值范围是的上满足，、在xx ，65.D 326.C 656.B 6,0.A 5、求满足下列条件的角x的范围：（1）0tansinxx；（2）xxcos|cos|6、求证：2cossin1。点任意角的三角函数不同的定义方法已知角终边上一点会求角的各三角经常把这个角放到一个直角三角形中求其比值从而得到锐角三角函数的半轴重合那么它的终边在第一象限在的终边上任取一点它与原点的距过学习必备 欢迎下载 知识点五：同角三角函数的基本关系 推导：以正弦线、余弦线和半径三者的长构成直角三角形，而且，由勾股定理有：222OPMPOM即1cossin22，根据三角函数的定义，当Zkk,2时，有tancossin,讨论几个问题：A.上述两个关系式，在一些什么情况下成立？B.“sin2cos21”对吗？C.同角三角函数关系式可以解决哪些问题？（求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；化简；证明）D.从上面两个公式，你还能推导出同角三角函数的其它关系吗？22222222222cossin4tancottanseccoscscsin1141cottan;1seccos;1cscsin3.cotsincos;tancossin2;tan11cos;cossin21)cos(sin.csc1cot;sec1tan;1cossin1”的妙用：、“、倒数关系：、商数关系：、平方关系：种关系：注：同角三角函数的几12cot2tan;13cos3sin32sin)(sinsinsinsin212222）、角的变换：（）、（义；要使上述各种式子有意）、角注意：（同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。典型例题：例：已知 cos 35，求 sin，tan 的值.练习：已知 sin 513，求 cos，tan 的值.小结：注意符号（象限确定）；同角三基本式的运用（分析联系）；知一求二.练习：已知 tan m（m0），求 sin，cos 的值.（分象限讨论）点任意角的三角函数不同的定义方法已知角终边上一点会求角的各三角经常把这个角放到一个直角三角形中求其比值从而得到锐角三角函数的半轴重合那么它的终边在第一象限在的终边上任取一点它与原点的距过学习必备 欢迎下载 化简 cos tan.（化简方法：切化弦）化简下列各式：21cos 1100 例：1）已知 0,的值。求cossin,16960cossin 2)已知 0,的值。求cossin,51cossin 3）已知的值。求33cossin,cossinm 。求已知）、求）、已知例：cot,sin,178cos2.tan,cos,54sin1 小结：给值求值：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.化简的要求（化简后的式子，三角函数的种类最少；分母不含根式；项数最少；能求出值的求出值）例：化简：4cos4sin21 22cos3cossin3sin2)2sin4cos3cossin)12tan，求值例：已知 .sin-cossincossincossincos,cos2sin3的值求练习：已知 例：用多种方法证明：1sincosxxcos1 sinxx 点任意角的三角函数不同的定义方法已知角终边上一点会求角的各三角经常把这个角放到一个直角三角形中求其比值从而得到锐角三角函数的半轴重合那么它的终边在第一象限在的终边上任取一点它与原点的距过学习必备 欢迎下载 小结方法：由其它等式而转化（先证交叉乘积相等）；或证和（差），或证商比较法；直接证明左边等于右边或右边等于左边或可以左右归一。.练习：求证：sin2x tan2x=tan2xsin2x.练习：已知 sin=2sin，tan=3tan，求2cos的值.已知4sin+4cos=1，求 sin+cos的值.小结：注意象限定符号和联系关系式.灵活运用公式，注意平方关系，切化弦；化繁为简.当堂检测：1.已知的一个三角函数值，求其它三角函数值：cos 13；tan 4 .tancos,53sin2的值求、已知 .tan1tan,2cos-sin3的值求、若 4、已知 tan 33，求的其它三角函数的值；求sincossincos的值.5、化简22sin211cos2 6、2244cossincossin 7、1coscossinsin2224 8、已知是第二象限角，且 tan(2+)=12,求 cos 和 sin 的值.点任意角的三角函数不同的定义方法已知角终边上一点会求角的各三角经常把这个角放到一个直角三角形中求其比值从而得到锐角三角函数的半轴重合那么它的终边在第一象限在的终边上任取一点它与原点的距过学习必备 欢迎下载 9、已知sin=624，求cos和tan的值.10、已知 tan=2，求下列各式的值：2cos2sin2cos2sin；223sin4sincoscos.sinsincossin3cos9sin4cos3sin22cos9sin4cos3sin212tancossin11332222），求已知的齐次式）、（关于 22cos4cossin2sin)2sincossincossincossincos)10cos2sin312，求、已知 ）象限。在第（，则且、已知mmmm21tan10,cos13 cossin1cossin1444，、已知 .,cossin01268152kkkxx求和的两个实根是、已知方程 点任意角的三角函数不同的定义方法已知角终边上一点会求角的各三角经常把这个角放到一个直角三角形中求其比值从而得到锐角三角函数的半轴重合那么它的终边在第一象限在的终边上任取一点它与原点的距过