2023年平面向量数量积运算专题附超详细解析超详细解析答案.pdf
平面向量数量积运算专题(附答案)平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例 1(1)(2014 天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2,BAD120,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC3BE,DCDF、若AE AF1,则 的值为_、(2)已知圆 O 的半径为 1,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为切点,那么PA PB的最小值为()A、4 2 B、3 2 C、42 2 D、32 2 变式训练 1(2015 湖北)已知向量OAAB,|OA|3,则OA OB_、题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2(1)(2015 重庆)若非零向量 a,b 满足|a|2 23|b|,且(ab)(3a2b),则 a 与 b 的夹角为()A、4 B、2 C、34 D、(2)若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于3,|a|2,|b|3,则 2ab 与 a2b 的夹角的余弦值等于()A、126 B、126 C、112 D、112 变式训练 2(2014 课标全国)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO12(ABAC),则AB与AC的夹角为_、题型三 利用数量积求向量的模 例 3(1)已知平面向量 a 与 b,|a|1,|b|2,且 a 与 b 的夹角为 120,则|2ab|等于()平面向量数量积运算专题(附答案)A、2 B、4 C、2 5 D、6(2)已知直角梯形ABCD 中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P 就是腰DC 上的动点,则|PA3PB|的最小值为_、变式训练3(2015 浙江)已知e1,e2就是平面单位向量,且e1 e212、若平面向量b满足b e1b e21,则|b|_、高考题型精练 1、(2015 山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a,ABC60,则BD CD等于()A、32a2 B、34a2 C、34a2 D、32a2 2、(2014 浙江)记 max x,y xxyyxymin x,y yxyxxy设 a,b 为平面向量,则()A、min|ab|,|ab|min|a|,|b|B、min|ab|,|ab|min|a|,|b|C、max|ab|2,|ab|2|a|2|b|2 D、max|ab|2,|ab|2|a|2|b|2 3、(2015 湖南)已知点 A,B,C 在圆 x2y21 上运动,且 ABBC、若点 P 的坐标为(2,0),则|PAPBPC|的最大值为()A、6 B、7 利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四平面向量数量积运算专题(附答案)C、8 D、9 4、如图,在等腰直角ABO 中,OAOB1,C 为 AB上靠近点 A的四等分点,过 C 作 AB 的垂线l,P 为垂线上任一点,设OAa,OBb,OPp,则 p(ba)等于()A、12 B、12 C、32 D、32 5、在平面上,AB1AB2,|OB1|OB2|1,APAB1AB2、若|OP|12,则|OA|的取值范围就是()A、(0,52 B、(52,72 C、(52,2 D、(72,2 6、如图所示,ABC 中,ACB90 且 ACBC4,点 M 满足BM3MA,则CM CB等于()A、2 B、3 C、4 D、6 7、(2014 安徽)设 a,b 为非零向量,|b|2|a|,两组向量 x1,x2,x3,x4与 y1,y2,y3,y4均由 2 个 a 与 2 个b 排列而成、若 x1 y1x2 y2x3 y3x4 y4所有可能取值中的最小值为 4|a|2,则 a 与 b 的夹角为()A、23 B、3 C、6 D、0 利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四平面向量数量积运算专题(附答案)8、(2014 江苏)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB8,AD5,CP3PD,AP BP2,则AB AD的值就是_、9、设非零向量 a,b 的夹角为 ,记 f(a,b)acos bsin 、若 e1,e2均为单位向量,且 e1 e232,则向量 f(e1,e2)与 f(e2,e1)的夹角为_、10、如图,在ABC 中,O 为 BC 中点,若 AB1,AC3,AB,AC60,则|OA|_、11、已知向量 a(sin x,34),b(cos x,1)、当 ab 时,求 cos2xsin 2x 的值;12、在ABC 中,AC10,过顶点 C 作 AB的垂线,垂足为 D,AD5,且满足AD511DB、(1)求|ABAC|;(2)存在实数 t1,使得向量 xABtAC,ytABAC,令 kx y,求 k的最小值、平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例 1(1)(2014 天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2,BAD120,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC3BE,DCDF、若AE AF1,则 的值为_、(2)已知圆 O 的半径为 1,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为切点,那么PA PB的最小值为()A、4 2 B、3 2 利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四平面向量数量积运算专题(附答案)C、42 2 D、32 2 答案(1)2(2)D 解析(1)如图,AE AF(ABBE)(ADDF)(AB13BC)(AD1DC)AB AD1AB DC13BC AD13BC DC 22cos 120 12213221322cos 120 24432310323,又AE AF1,103231,2、(2)方法一 设|PA|PB|x,APB,则 tan 21x,从而 cos 1tan221tan22x21x21、PA PB|PA|PB|cos x2x21x21x4x2x21 x2123 x21 2x21 x212x2132 23,利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四平面向量数量积运算专题(附答案)当且仅当 x21 2,即 x2 21 时取等号,故PA PB的最小值为 2 23、方法二 设APB,0,则|PA|PB|1tan 2、PA PB|PA|PB|cos (1tan 2)2cos cos22sin22(12sin22)1sin2212sin22sin22、令 xsin22,0 x1,则PA PB 1x12xx 2x1x32 23,当且仅当 2x1x,即 x22时取等号、故PA PB的最小值为 2 23、方法三 以 O 为坐标原点,建立平面直角坐标系 xOy,则圆 O 的方程为 x2y21,利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四平面向量数量积运算专题(附答案)设 A(x1,y1),B(x1,y1),P(x0,0),则PA PB(x1x0,y1)(x1x0,y1)x212x1x0 x20y21、由 OAPAOA PA(x1,y1)(x1x0,y1)0 x21x1x0y210,又 x21y211,所以 x1x01、从而PA PBx212x1x0 x20y21 x212x20(1x21)2x21x2032 23、故PA PB的最小值为 2 23、点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式:一就是依据长度与夹角,二就是利用坐标运算,具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择、注意两向量 a,b 的数量积 a b 与代数中 a,b 的乘积写法不同,不应该漏掉其中的“”、(2)向量的数量积运算需要注意的问题:a b0时得不到a0或b0,根据平面向量数量积的性质有|a|2a2,但|a b|a|b|、变式训练 1(2015 湖北)已知向量OAAB,|OA|3,则OA OB_、答案 9 解析 因为OAAB,所以OA AB0、所以OA OBOA(OAAB)OA2OA AB|OA|20329、题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四平面向量数量积运算专题(附答案)例 2(1)(2015 重庆)若非零向量 a,b 满足|a|2 23|b|,且(ab)(3a2b),则 a 与 b 的夹角为()A、4 B、2 C、34 D、(2)若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于3,|a|2,|b|3,则 2ab 与 a2b 的夹角的余弦值等于()A、126 B、126 C、112 D、112 答案(1)A(2)B 解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0,即 3a2a b2b20、又|a|2 23|b|,设a,b,即 3|a|2|a|b|cos 2|b|20,83|b|22 23|b|2 cos 2|b|20、cos 22、又0,4、(2)记向量 2ab 与 a2b 的夹角为 ,又(2ab)2 42232423cos 313,(a2b)222432423cos 352,(2ab)(a2b)2a22b23a b 利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四平面向量数量积运算专题(附答案)81891,故 cos 2ab a2b|2ab|a2b|126,即 2ab 与 a2b 的夹角的余弦值就是126、点评 求向量的夹角时要注意:(1)向量的数量积不满足结合律,(2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角、变式训练 2(2014 课标全国)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO12(ABAC),则AB与AC的夹角为_、答案 90 解析 AO12(ABAC),点 O 就是ABC 中边 BC 的中点,BC 为直径,根据圆的几何性质得AB与AC的夹角为 90、题型三 利用数量积求向量的模 例 3(1)已知平面向量 a 与 b,|a|1,|b|2,且 a 与 b 的夹角为 120,则|2ab|等于()A、2 B、4 C、2 5 D、6(2)已知直角梯形ABCD 中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P 就是腰DC 上的动点,则|PA3PB|的最小值为_、答案(1)A(2)5 解析(1)因为平面向量 a 与 b,|a|1,|b|2,且 a 与 b 的夹角为 120,利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四平面向量数量积运算专题(附答案)所以|2ab|2a2b22|2a|b|cos 120 2212222212122、(2)方法一 以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设 DCa,DPx、D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),PA(2,x),PB(1,ax),PA3PB(5,3a4x),|PA3PB|225(3a4x)225,|PA3PB|的最小值为 5、方法二 设DPxDC(0 x1),PC(1x)DC,PADADPDAxDC,PBPCCB(1x)DC12DA,PA3PB52DA(34x)DC,|PA3PB|2254DA2252(34x)DA DC(34x)2 DC225(34x)2DC225,|PA3PB|的最小值为 5、利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四平面向量数量积运算专题(附答案)点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中,给有关向量赋以具体的坐标求向量的模,如向量 a(x,y),求向量 a 的模只需利用公式|a|x2y2即可求解、(2)向量不放在坐标系中研究,求解此类问题的方法就是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式,关键就是会把向量 a 的模进行如下转化:|a|a2、变式训练3(2015 浙江)已知e1,e2就是平面单位向量,且e1 e212、若平面向量b满足b e1b e21,则|b|_、答案 2 33 解析 因为|e1|e2|1 且 e1 e212、所以 e1与 e2的夹角为 60、又因为 b e1b e21,所以 b e1b e20,即 b(e1e2)0,所以 b(e1e2)、所以 b 与 e1的夹角为 30,所以 b e1|b|e1|cos 301、所以|b|2 33、高考题型精练 1、(2015 山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a,ABC60,则BD CD等于()A、32a2 B、34a2 C、34a2 D、32a2 答案 D 解析 如图所示,由题意,得 BCa,CDa,BCD120、利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四平面向量数量积运算专题(附答案)BD2BC2CD22BC CD cos 120 a2a22a a123a2,BD 3a、BD CD|BD|CD|cos 30 3a23232a2、2、(2014 浙江)记 max x,y xxyyxymin x,y yxyxx|ab|,此时,|ab|2|a|2|b|2;当 a,b 夹角为钝角时,|ab|a|2|b|2;当ab 时,|ab|2|ab|2|a|2|b|2,故选 D、3、(2015 湖南)已知点 A,B,C 在圆 x2y21 上运动,且 ABBC、若点 P 的坐标为(2,0),则|PAPBPC|的最大值为()A、6 B、7 C、8 D、9 答案 B 解析 A,B,C 在圆 x2y21 上,且 ABBC,AC 为圆直径,故PAPC2PO(4,0),设 B(x,y),则 x2y21 且 x1,1,PB(x2,y),利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四平面向量数量积运算专题(附答案)PAPBPC(x6,y)、故|PAPBPC|12x37,x1 时有最大值 497,故选B、4、如图,在等腰直角ABO 中,OAOB1,C 为 AB上靠近点 A的四等分点,过 C 作 AB 的垂线l,P 为垂线上任一点,设OAa,OBb,OPp,则 p(ba)等于()A、12 B、12 C、32 D、32 答案 A 解析 以 OA,OB 所在直线分别作为 x 轴,y 轴,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,则 A(1,0),B(0,1),C(34,14),直线 l 的方程为 y14x34,即 xy120、设 P(x,x12),则 p(x,x12),而 ba(1,1),利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四平面向量数量积运算专题(附答案)所以 p(ba)x(x12)12、5、在平面上,AB1AB2,|OB1|OB2|1,APAB1AB2、若|OP|a,所以 A4、所以 f(x)4cos(2A6)2sin(2x4)12、因为 x0,3,所以 2x44,1112、所以321f(x)4cos(2A6)212、所以 f(x)4cos(2A6)的取值范围为321,212、12、在ABC 中,AC10,过顶点 C 作 AB的垂线,垂足为 D,AD5,且满足AD511DB、利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四平面向量数量积运算专题(附答案)(1)求|ABAC|;(2)存在实数 t1,使得向量 xABtAC,ytABAC,令 kx y,求 k的最小值、解(1)由AD511DB,且 A,B,D 三点共线,可知|AD|511|DB|、又 AD5,所以 DB11、在 RtADC 中,CD2AC2AD275,在 RtBDC 中,BC2DB2CD2196,所以 BC14、所以|ABAC|CB|14、(2)由(1),知|AB|16,|AC|10,|BC|14、由余弦定理,得 cos A1021621422101612、由 xABtAC,ytABAC,知 kx y(ABtAC)(tABAC)t|AB|2(t21)AC ABt|AC|2 256t(t21)161012100t 80t2356t80、由二次函数的图象,可知该函数在1,)上单调递增,所以当 t1 时,k取得最小值 516、利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量满足且则与的夹角为若平面向量与平面向量的夹角等于则与的夹量与且与的夹角为则等于平面向量数量积运算专题附答案已知直角梯形中就是腰上的动点则的最小值为变式训练浙江南已知点在圆上运动且若点的坐标为则的最大值为平面向量数量积运算专题附答案如图在等腰直角中为上靠近点的四
