2023年全国各地中考数学试卷分类汇编锐角三角函数与特殊角.pdf

学习必备 欢迎下载 锐角三角函数与特殊角 一选择题 1（2013 兰州，9，3 分）ABC 中，a、b、c 分别是AB、C 的对边，如果 a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）AcsinA=a BbcosB=c CatanA=b DctanB=b 考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义 分析：由于 a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到ABC 是直角三角形，且C=90，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项 解答：解：a2+b2=c2，ABC 是直角三角形，且C=90 AsinA=，则 csinA=a故本选项正确；BcosB=，则 cosBc=a故本选项错误；CtanA=，则=b故本选项错误；DtanB=，则 atanB=b故本选项错误 故选 A 点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可 2（2013 湖北孝感，8，3 分）式子的值是（）A B 0 C D 2 考点：特殊角的三角函数值 分析：将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案 解答：解：原式=21（1）=1+1=0 故选 B 点评：本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容 3.2013 湖南邵阳，9，3 分 在ABC 中，若sinA-12 +(cosB-12)2=0，则C 的度数是()A30 B45 C60 D90 知识考点：特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质.学习必备 欢迎下载 审题要津：根据两个非负数相加和为 0，这两个非负数的值都为 0 可分别求出A、B的角度数，从而求出C 的度数.满分解答：解：由题意知sinA-12=0，cosB-12=0，解得 sinA=12，cosB=12.所以A=45，B=45.故C=180-A-B=180-45-45=90.故选 C.名师点评：本题是常见的计算型试题，考查考生的综合运算能力，熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质是解题的关键.4（2013 东营，5，3 分）将等腰直角三角形 AOB 按如图所示放置，然后绕点 O 逆时针旋转 90 至AOB 的位置，点 B 的横坐标为 2，则点A的坐标为（）A(1，1)B(2,2)C(1，1)D(2,2)答案：C 解析：在Rt AOB中，2OB，45AOB，OAAOBOB，所以2cos222OAOBAOB，所以2OA，过A作ACy 轴于点 C，在Rt AOC，45AOC，2OA，sinACAOCAO，2sin212ACAOAOC，又因为O1AC，且点A在第二象限，所以点A的坐标为（1，1）5.（2013 杭州 3 分）在 RtABC 中，C=90，若 AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A B C D【解析】根据题意画出图形，如图所示，在 RtABC 中，AB=4，sinA=，BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC=3.2，可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质学习必备 欢迎下载 SABC=AC BC=AB CD，CD=【方法指导】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键 6.（2013 衢州 3 分）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度她站在 B 处仰望树顶，测得仰角为 30，再往大树的方向前进 4m，测得仰角为 60，已知小敏同学身高（AB）为 1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到 0.1m，1.73）A 3.5m B 3.6m C 4.3m D 5.1m【答案】D【解析】设 CD=x，在 RtACD 中，CD=x，CAD=30，则 AD=x，在 RtCED 中，CD=x，CED=60，则 ED=x，由题意得，ADED=xx=4，解得：x=2，则这棵树的高度=2+1.6 5.1m【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度 7.（2013 四川乐山，6，3 分）如图，已知第一象限内的点 A 在反比例函数2yx上，第二象限的点 B 在反比例函数kyx上，且 OAOB，3cosA=3，则 k 的值为【】A3 B6 C4 D2 3 可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质学习必备 欢迎下载 8（2013 重庆市，6，4 分）计算 6tan45 2cos60 的结果是（）A4 3 B4 C5 3 D5【答案】D【解析】6tan45 2cos60 612125【方法指导】本题考查特殊锐角三角函数值熟练记忆特殊锐角三角函数值，并掌握实数运算法则是准确求解的前提 9.(2013 湖南邵阳,9,3分)在ABC 中，若0)21(cos21sin2BA,则C 的度数是()A30 B45 C60 D90 【答案】：D【解析】：0)21(cos21sin2BA，21cos;21sinBA;A=30，B=60，则C=180 30 60=90 故选 D【方法指导】：本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容 根据绝对值及完全平方的非负性，可求出Asin、Bcos的值，继而得出A、B 的度数，利用三角形的内角和定理，可求出C的度数 10（2013 重庆，9，4 分）如图，在ABC 中，A=45，B=30，CDAB，垂足为 D，CD=1，则 AB 的长为（）可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质学习必备 欢迎下载 A2 B32 C133 D13 【答案】D【解析】在 RtACD 中，ADC=90，A=45，ACD=A=45，AD=CD=1 在 RtBCD 中，BDC=90，B=30，BD=330tan1tanBCD，AB=AD+BD=31，故选 D【方法指导】本题考查了对锐角三角函数的识记，以及用三角函数的知识解直角三角形求一般三角形边的长度，可以通过求作高，转化为直角三角形解答；在含有特殊角的直角三角形中，已知两个元素（至少有一条边），可以用三角函数的定义、勾股定理、直角三角形两内角互余的关系，求出所有未知的边或角；锐角三角函数，表示的是直角三角形中边、角之间的关系，三者之间可以相互转化：caAsin，则 ac sinA，cAasin；cbA cos，则bc cosA，cAbcos；baAtan，则 abtanA；Aabtan 11(2013 湖北荆门，11，3 分)如图，在半径为 1 的O 中，AOB45，则 sinC 的值为()A22 B222 C222 D24 【答案】B【解析】如图 2，过点 B 作 BDAC 于 D，OB1，AOB45，BDOD22AD122在 RtABD 中，AB22ADBD2222(1)()2222 sinCABAC222故选 B A D B C（第 9 题图）A B C O 45 (第 11 题)A B C O 45 图 2 D 可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质学习必备 欢迎下载【方法指导】AOB2C，C22.5 此题说明 sin22.5 222不难得出cos22.5 222，tan22.5 222221 12.（2013 深圳，11，3 分）已知二次函数2(1)ya xc的图像如图 2 所示，则一次函数yaxc的大致图像可能是（）【答案】A【解析】由二次函数图像知，抛物线开口向上，则0a，因抛物线的顶点(1,)c在第四象限，则0c；据此，一次函数yaxc中，因0a，则图像自左向右是“上升”的，先排除 C、D。又0c，则一次函数的图像与y轴的正半轴相交，故 B 错误，A 正确。【方法指导】考查一次函数数、二次函数的系数与图像间的关系，函数相关系数的几何意义，考查学生数形结合的能力和转化思想、观察判断能力，综合考查一次函数和二次函数的相关性质，虽说难度不是太大，但也具有一定的综合性，需要全面仔细的考虑，对相关知识熟练无误。二填空题 1（2013 贵州安顺，14，4 分）在 RtABC 中，C=90，BC=8，则ABC 的面积为 考点：解直角三角形 专题：计算题 分析：根据 tanA 的值及 BC 的长度可求出 AC 的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可 解答：解：tanA=，AC=6，ABC 的面积为 6 8=24 故答案为：24 点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积 图 2 xyOxyOxyOxyOxyOA B C D 可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质学习必备 欢迎下载 2（2013 湖北孝感，15，3 分）如图，两建筑物的水平距离 BC 为 18m，从 A 点测得 D 点的俯角 为 30，测得 C 点的俯角 为 60 则建筑物 CD 的高度为 12 m（结果不作近似计算）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析：首先过点 D 作 DEAB 于点 E，可得四边形 BCDE 是矩形，然后分别在 Rt ABC 与Rt ADE 中，利用正切函数的知识，求得 AB 与 AE 的长，继而可求得答案 解答：解：过点 D 作 DEAB 于点 E，则四边形 BCDE 是矩形，根据题意得：ACB=60，ADE=30，BC=18m，DE=BC=18m，CD=BE，在 Rt ABC 中，AB=BC tanACB=18 tan60=18（m），在 Rt ADE 中，AE=DE tanADE=18 tan30=6（m），DE=BE=AB AE=186=12（m）故答案为：12 点评：本题考查俯角的知识此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用 3（2013鞍山，13，2 分）ABC 中，C90，AB8，cosA，则 BC 的长 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理 分析：首先利用余弦函数的定义求得 AC 的长，然后利用勾股定理即可求得 BC 的长 解答：解：cosA，ACAB cosA8 6，BC2 故答案是：2 可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质学习必备 欢迎下载 点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 4.2013 杭州 4 分）在 RtABC 中，C=90，AB=2BC，现给出下列结论：sinA=；cosB=；tanA=；tanB=，其中正确的结论是 （只需填上正确结论的序号【答案】【解析】如图所示：在 RtABC 中，C=90，AB=2BC，sinA=，故 错误；A=30，B=60，cosB=cos60=，故 正确；A=30，tanA=tan30=，故 正确；B=60，tanB=tan60=，故 正确 【方法指导】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键 5（2013 四川内江，22，6 分）在ABC 中，已知C=90，sinA+sinB=，则 sinAsinB=考点：互余两角三角函数的关系 分析：根据互余两角的三角函数关系，将 sinA+sinB 平方，把 sin2A+cos2A=1，sinB=cosA 代入求出 2sinAcosA 的值，代入即可求解 解答：解：（sinA+sinB）2=（）2，可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质学习必备 欢迎下载 sinB=cosA，sin2A+cos2A+2sinAcosA=，2sinAcosA=1=，则（sinAsinB）2=sin2A+cos2A2sinAcosA=1=，sinAsinB=故答案为：点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，属于基础题，掌握互余两角三角函数的关系是解答本题的关键 6.（2013 浙江台州，14，5 分）如图，在O 中，过直径 AB 延长线上的点 C 作O 的一条切线，切点为 D，若 AC=7，AB=4，则 sinC 的值为 【答案】：52【解析】连结 OD，AB=4，则 OA=OB=OC=2，OC=5，由于 CD为O 的切线，则ODC=90，sinC=25ODOC。【方法指导】本题考查切线的性质、三角函数的计算等知识点，其中连结半径 OD 是解决切线问题中的常用辅助线，从而构造直角三角形，解决三角函数问题。7(2013 浙江湖州,12,4 分)如图，已知在RtACB中，C90，AB13，AC12，则c o s B的值为_ A B O C D 第 14 题 A B O C D 可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质学习必备 欢迎下载【答案】513【解析】在RtACB中，C90，所以 BC=222213125ABAC，所以5cos13BCBAB，故填513。【方法指导】本题考查了勾股定理和锐角三角函数。先利用勾股定理求出 BC的长度，然后再根据余弦的定义求出cos B的值。8.（2013 四川南充，12，4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为2 2，过点 A作 AEAC，AE=1，连接 BE，则 tanE=【答案】：23【解析】设 AD 与 BE 交于点 M，AC 与 BE 交于点 N，易知MANBCN，进而得到ANAMCNCB，再过 E 作 EFBA 交 BA 的延长线于 F，可得 EF=AF=22，再根据BMABEF 得MABAEFBF，即2 2222 222MA，解得 MA=2 25，所以ANCN=2 21552 2，由题知 AC=4，则145ANAN，解得 AN=23，因此 tanE=23.【方法指导】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义.准确的找出相似三角形及其对应线段是本题的突破口，也是难点，难度较大.三解答题 1（2013 贵州安顺，19，6 分）计算：2sin60+2120130|1|考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 专题：计算题 分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负指数幂等四个考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质学习必备 欢迎下载 解答：解：原式=2+1（1）=点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负指数幂等考点的运算 2.2013 新疆 8 分）如图所示，一条自西向东的观光大道 l 上有 A、B 两个景点，A、B 相距2km，在 A 处测得另一景点 C 位于点 A 的北偏东 60 方向，在 B 处测得景点 C 位于景点 B的北偏东 45 方向，求景点 C 到观光大道 l 的距离（结果精确到 0.1km）【思路分析】过点 C 作 CDl 于点 D，设 CD=xkm 先解直角ACD，得出AD=CD=xkm，再解直角BCD，得出 BD=CD=xkm，然后根据 ADBD=AB，列出关于 x 的方程，解方程即可【解析】解：如图，过点 C 作 CDl 于点 D，设 CD=xkm 在ACD 中，ADC=90 ，CAD=30，AD=CD=xkm 在BCD 中，BDC=90 ，CBD=45 ，BD=CD=xkm ADBD=AB，xx=2，x=+1 2.7（km）故景点 C 到观光大道 l 的距离约为 2.7km 【方法指导】本题考查三角形知识的实际运用，难度适中，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键 3.2013 浙江丽水 6 分）一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高 BE=3m，斜面坡角为 30，求木箱端点 E 距地面 AC 的高度 EF。可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质学习必备 欢迎下载 4.（2013 宁波 7 分）天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹如图，从位于天封塔的观测点 C 测得两建筑物底部 A，B 的俯角分别为 45 和 60，若此观测点离地面的高度为 51 米，A，B 两点在 CD 的两侧，且点 A，D，B 在同一水平直线上，求 A，B 之间的距离（结果保留根号）【思路分析】在 RtACD 和 RtCDB 中分别求出 AD，BD 的长度，然后根据 AB=AD+BD即可求出 AB 的值【解析】由题意得，EAC=45，FCB=60，EFAB，CAD=ECA=45，CBD=FCB=60，ACD=CAD=90，在 RtCDB 中，tanCBD=，BD=17米，AD=CD=51 米，AB=AD+BD=51+17 答：A，B 之间的距离为（51+17）米【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识解直角的三角形 5（2013 贵州省六盘水，22，10 分）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（）=sin coscosasin 可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质学习必备 欢迎下载 tan（）=利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值 例：tan15=tan（45 30）=根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算：sin15；（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图 1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图 2，小华站在离塔底 A 距离 7 米的 C 处，测得塔顶的仰角为 75，小华的眼睛离地面的距离 DC 为 1.62 米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度（精确到 0.1 米，参考数据，）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析：（1）把 15 化为 45 30 以后，再利用公式 sin（）=sin coscosasin 计算，即可求出 sin15 的值；（2）先根据锐角三角函数的定义求出 BE 的长，再根据 AB=AE+BE 即可得出结论 解答：解：（1）sin15=sin（45 30）=sin45 cos30 cos45 sin30=；（2）在 RtBDE 中，BED=90，BDE=75，DE=AC=7 米，BE=DE tanBDE=DE tan75 tan75=tan（45+30）=2+，BE=7（2+）=14+7，可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质学习必备 欢迎下载 AB=AE+BE=1.62+14+7 27.7（米）答：乌蒙铁塔的高度约为 27.7 米 点评：本题考查了：（1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解（2）解直角三角形的应用仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出 BE 的长是解题的关键 6.(2013 山东烟台，20,6 分)如图一艘海上巡逻船在 A地巡航，这时接到 B 地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西 60 方向的 C 地有一艘渔船遇险，要求马上前去救援.此时 C地位于 A 地北偏西 30方向上A 地位于 B 地北偏调西 75方向上AB 两地之间的距离为 12 海里求 AC 两地之间的距离.(参考数据：2l.41，31.73，6245.结果精确到 0.1)【思路分析】ABC 不是直角三角形，可过点 B 作 BDCA 交 CA 的延长线于点 D，构造双直角三角形 RtBCD 和 RtABD.根据已知条件可求出ACB，DAB 的度数，然后利用 AB=12 分别求出 AD、CD 的长度即可求解.【解】如图，过点 B 作 BDCA，交 CA 的延长线于点 D，由题意，得ACB=6030=30.ABC=7560=15 DAB=DBA=45 在 RtADB 中.AB=12 BAD=45，BD=AD=2645cosAB 可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质学习必备 欢迎下载 在 RtBCD 中，6630tanBDCD 2.62666AC（海里）答：AC 两地之间的距离约为 6.2 海里 【方法指导】本题考查利用解直角三角形解决实际问题中的方位角问题.解决解直角三角形的实际问题，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，再根据以下方法和步骤解决：根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形找准三角形.同时，解题过程中应注意方程思想的运用.可得到正确选项解答解是直角三角形且则故本选项正确则故本选项错误定理的逆定理加以判断即可湖北孝感分式子的值是考点特殊角的三角函内容湖南邵阳分中若知识考点特殊角的三角函数值绝对值非负数的性质