2023年双曲线简单几何性质知识点归纳总结全面汇总归纳.pdf

1 四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点 F1，F2的距离差的绝对值等于常数 2a（02a|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。定点叫做双曲线的焦点；|F1F2|=2c，叫做焦距。备注：当|PF1|-|PF2|=2a 时，曲线仅表示右焦点 F2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF2|-|PF1|=2a 时，曲线仅表示左焦点 F1所对应的双曲线的一支（即左支）；当 2a=|F1F2|时，轨迹为以 F1，F2为端点的 2 条射线；当 2a|F1F2|时，动点轨迹不存在。双曲线12222byax与12222bxay（a0,b0）的区别和联系 标准方程 12222byax（a0,b0）12222bxay （a0,b0）图像 A2A1F2F1xOy A2A1F2F1xOy 性质 范 围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 实、虚轴 渐近线 准线方程 离心率 焦半径 通径 a，b，c 之间 的关系 2 xyQB1B2A1A2NMO（二）双曲线的简单性质 1范围：由标准方程12222byax（a0，b0），从横的方向来看，直线 x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着 x 的增大，y 的绝对值也无限增大。x 的取值范围_,y的取值范围_ 2.对称性：对称轴_ 对称中心_ 3顶点：(如图)顶点：_ 特殊点：_ 实轴：21AA长为 2a,a叫做半实轴长 虚轴：21BB长为 2b，b 叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4离心率：双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率 范围：_ 双曲线形状与 e 的关系：1122222eacaacabk，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5双曲线的第二定义：到定点 F的距离与到定直线l的距离之比为常数)0(acace的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双 曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数 e 是双曲线的离心率 准线方程：对于12222byax来说，相对于左焦点)0,(1cF 对应着左准线caxl21:，相对于右焦点)0,(2cF对应着右准线caxl22:；6渐近线 过双曲线12222byax的两顶点21,AA，作 x 轴的垂线ax，经过21,BB作 y 轴的垂线by，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是_或（0byax），这两条直线就是双曲线的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。3 7等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2e 8共渐近线的双曲线系 与双曲线12222byax（a0，b0）共渐近线的双曲线方程可表示为2222byax(0且为待定常数)备注：与双曲线12222byax(ab0)共焦点的双曲线方程可表示为1-2222byax (a2,且 b2-)例 1 求与双曲线-1 有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.9共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三个量 a,b,c中 a,b 不同（互换）c 相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为-1 10.双曲线的焦半径 定义：双曲线上任意一点 M与双曲线焦点21,FF的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线)0,0(12222babyax，21,FF是其左右焦点 则由第二定义：edMF11，ecaxMF201 axMF01e 同理 aexMF02 11通径 定义：过焦点且垂直于对称轴的焦点弦 abd22