2023年第三章复变函数的积分超详细解析超详细解析答案.pdf

9 复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 学号 1 复变函数积分的概念 4 原函数与不定积分 一选择题 1设C为从原点沿2yx至1 i的弧段，则2()Cxiydz A1566i B1566i C1566i D1566i 2.设C是(1)zi t，t从 1 到 2 的线段，则argCzdz A4 B4i C(1)4i D1 i 3设C是从0到12i的直线段，则zCze dz A12e B12e C12ei D12ei 4设()f z在复平面处处解析且()2iif z dzi，则积分()iifz dz A2 i B2 i C0 D不能确定 二填空题 1 设C为沿原点0z 到点1zi 的直线段，则2Czdz 2 。2 设C为正向圆周|4|1z ，则2232(4)Czzdzz10.i 三解答题 1计算以下积分。1 323262121()02iziiziiie dzeee 10 2 22222sin1cos2sin2224sin2.244iiiiiizdzzzzdzieeeeiiii 3 1010sin(sincos)sin1cos1.zzdzzzz 4 202220cossin1sinsin().222iizz dzzi 2计算积分|Czdzz的值，其中C为正向圆周：1 2200|22,022224.2iiizCzeeie didi 积分曲线的方程为则原积分I=11 2 2200|44,024448.4iiizCzeeie didi 积分曲线的方程为则原积分I=3分别沿yx与2yx算出积分10()iiz dz的值。解：(1)沿 y=x 的积分曲线方程为(1),01zi tt 则原积分 1011200(1)(1)(12)(1)2Iii ti dtit dtitti 2沿2yx的积分曲线方程为 2,01ztitt 则原积分 120113224300()(12)3112 32(1)()2.2233Iititit dtttitdttti tti 4计算以下积分(1)2()Cxyix dz,C:从0到1 i的直线段；C 的方程：(1),01zi tt (),01()x ttty tt 或 12 则原积分 120120(1)1(1).3Ittiti dtiit dt (2)2()Czzz dz，C：|1z 上沿正向从 1 到1。C 的方程：,0ize 则原积分 203300(1)8().33iiiiiiIeie deieede 13 复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 学号 2 柯西古萨基本定理 3 基本定理的推广复合闭路定理 一、选择题 1 设()f z在单连通区域B内解析，C为B内任一闭路，则必有 AIm()0Cf z dz BRe()0Cf z dz C|()|0Cf zdz DRe()0Cf z dz 2设C为正向圆周1|2z，则321cos2(1)Czzdzz A2(3cos1sin1)i B0 C6cos1i D2sin1i 3设()f z在单连通域B内处处解析且不为零，C为B内任何一条简单闭曲线，则积分()2()()()Cfzfzf zdzf z A2 i B 2 i C 0 D不能确定 二、填空题 1设C为正向圆周|3z，则|Czzdzz6.i 2闭曲线:|1Cz 取正方向，则积分122(2)(3)zCedzzz 0 。三、解答题 利用柯西积分公式求复积分 1判断被积函数具有几个奇点；2找出奇点中含在积分曲线内部的，假设全都在积分曲线外部，则由柯西积分定理可得积分等零；假设只有一个含在积分曲线内部，则直接利用柯西积分公式；假设有多个含在积分曲线内部，则先利用复合闭路定理，再利用柯西积分公式.1计算以下积分 1221,:|(0);Cdz Czaa aza .22111121111=20.22CCCCdzdzzaazazaidzdziazazaaa解：14 22221112.Cz aCzazaidzizazaa解法二：由被积函数在内部只有一个奇点，故由柯西积分公式可得 2 2,:|2;1Czdz Czz 21111=+=22)2.121+12CCzdzdziiizzz解：（解法二：211zCzz 被积函数在内部具有两个奇点，分别作两个以 1,-1为心，充分小的长度为半径的圆周 C1、C2，且 C1和 C2含于 C 内部。由复合闭路定理，122221111122112CCCzzzzzdzdzdzzzzzziizziii 3 2|5|53123212226.31zzzdzzzdziiizz 同上题中的解法二，122|51331313123(3)(1)(3)(1)31312224631zCCzzzzzdzdzdzzzzzzzzziiiiizz 42cos4Czdzz，其中22:4C xyx正向 15 2coscos/(2)cos22cos2/(22).422CCzzzidzdzizz 2计算积分2(1)Cdzz z，其中 C 为以下曲线：21 21111111(1)222CCCCCdzIdzdzdzdzz zzzizizzizi 11:|2Cz;2002.Iii 解法二：201221zIiiz 23:|2Czi;1202.2Iiii 解法二：20112221()zz iIiiiiizz zi 31:|2Czi;1020.2Iii 解法二：12()ziIiiz zi 43:|2Cz。112220.22Iiii 解法二：20111222201()()zziz iIiiiiiizz ziz zi 16 3计算LnCzdz，其中 1Lnln|arg,:|1zziz Cz;C 的方程：,ize Ln(1)2.iiCzdziie diei 2Lnln|arg2,:|zzizi CzR.C 的方程：,izRe Ln(lnarg2)arg2.iCCCzdzRizi dzizdziRie dR i 17 复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 学号 5 柯西积分公式 6 解析函数的高阶导数 一选择题。1设C是正向圆周2220 xyx，则2sin()41Czdzz A22i B2 i C0 D22i 2设C为正向圆周|2z，则2cos(1)Czdzz Asin1 Bsin1 C2sin1i D2sin1i 3设|4()ef zdz，其中|4z，则()fi A2 i B1 C2 i D1 4设C为不经过点1与1的正向简单闭曲线，则2(1)(1)Czdzzz为 A2i B2i C0 D以上都有可能 二填空题：1闭曲线:|3Cz 取正方向，积分3(2).(1)zCedzeiz z 32011111()()22(1)(1)12!1!zzzzzzCzeeedzieiezzzz 2设|2sin()2()f zdz，其中|2z，则(1)f 0 ，(3)f 0 。2()=0(3)0zzf zf对满足的所有的，从而 18 三解答题：1设()f zuiv 是解析函数且222uvxyxy，求()f z。22222.22xxyyuvxyxyxyuvxyuvyx 分别对方程两边关于 和 求偏导，可得().f zuvCR由解析知，和 满足方程，从而 2222yxxyvvxyvvyx 22222222()(2)xyvyvxyCuxyCvxf zxyCixyCzC 2计算2(1)(1)Czdzzz，C 分别为：(1)1|1|2z ；(2)1|1|2z ；(3)|2z.解：2221231111()(1)(1)2 211(1)11141412(1)CCCCCzzdzdzzzzzzzzzdzdzdzzzzIII 1120042zziIi 211022().4222zzzziiIiii 3111222()0.44222zzzzzziiIiiii 19 33()zCedzza，其中a为|1a 的任何复数，:|1Cz 为正向 解：1|1a（）当时，3()=2;()2zzaCz aeedziieza 2|1a（）当时，3=0.()zCedzza 4计算以下积分的值，C 为由2,2xy 所围的矩形边界正向。(1)2()2zCedziz 22222.2=22.()2zzziCiCedzieiz 解：由知，含于的内部从而原积分(2)30cos(cos)2.2!Czzdzzzii 20 复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 学号 7 解析函数与调和函数的关系 综合练习题 一、选择题 1以下命题正确的选项是 A设12,v v在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有12vv。B解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。C假设()f zuiv 在区域D内解析，则ux为D内的调和函数。D以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。2函数()f z在闭路C上及其内部解析，0z在C的内部，则有 A02200()1()()()CCf zdzfzdzzzzz B200()()()CCf zfzdzdzzzzz C0200()()1()2!CCf zf zdzdzzzzz D0200()()()CCf zf zdzdzzzzz 二、填空题 1假设函数32(,)u x yxaxy为某一解析函数的虚部，则常数a -3 。2设(,)u x y的共轭调和函数为(,)v x y，那么(,)v x y的共轭调和函数为 -u 。3设C为负向圆周，且|4z，则5()12zCeidzzi 三、解答题 1由以下各已知调和函数求解析函数().f zuiv 122,(2)0yvfxy 21 22222222222222222222222222222222,C.-R.2()()()0()()1(2)2xyxyyxxyyxyyxyvvxyxyxyxyxyxuu dyv dydyg xxyxyxyxyugxvxyxyxygxg xCf ziCxyxyf解：，由方程知，另一方面，从而，。因而，2222110().22xyCCf zixyxy 2arctan,0yvxx 2222222arctan11arctan,1xxyyyyyxvxxyyxyxxvxxyyx 解：，2222222222C.-R.1ln()()2()()0()1()ln()arctanln2yxxyyuu dyv dydyxyg xxyxxugxvxyxygxg xCyf zxyiCzCx 由方程知，另一方面，从而，。因而 解法二：22 222222222222arctan11arctan,11()1()()lnxxyyyxyyyxvxxyyxyxxvxxyyxxyzfzvivixyxyzzf zfz dzdzzCz ，2求具有以下形式的所有调和函数u：(1)(),uf axby a与b为常数，且不全为零。解：22222222222212()()()()()();()+=()()0()0()().uf axbyaxbyfaxbyafaxbyxxxuafaxbya faxbyxxub faxbyyuuuabfaxbyxyfaxbyf axbyC axbyC 类似可得，从而由调和，2()yufx 解：23 2222234222222223422()()()(),()2()();11()()1+=2()()()0.2()(1)yyfuyyyxxffxxxxxxyyfuyyyyxxffxxxxxxuyuyffyxxyxxuuuyyyyyfffxyxxxxxxytxt fttf，从而由调和，令，则由上式可得22232112()02()ln()1()2ln()ln(1)1()(1)()()3ttftfttfttftdttCttftC tf tCtC 3计算积分3cos()2Czdzz z，C 为以下曲线：(1)1|4z；2330cos2cos16()()22Czzizidzz zz (2)1|24z；23322cos2coscos2sin2cos82!()2Czzzizzzzizdzizzzz z(3)|2z.24 23302cos2coscos1682!()()22Czzzizziizdzz zz 4.设sinpxvey，求p的值使v为调和函数，并计算解析函数()f zuiv。解：222sin,sin;cos,sin;0sinsinsin011.pxpxxxxpxpxyyypxpxxxyypxvpeyvp eyveyveyvvvp eyeyeyor pp由 调和可知，因而 1sin.sin,cos,()cossin()()xxxxyxxzyxzpveyveyveyfzviveyieyef zfz dzeC当时，1sin.sin,cos,()cossin()()xxxxyxxzyxzpveyveyveyfzviveyieyef zfz dzeC 当时，