2023年同济第六版《高等数学》精品讲义WORD版第11章无穷级数.pdf

高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 第十一章 无穷级数 教学目的：1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2掌握几何级数与 P 级数的收敛与发散的条件。3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10掌握,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在-l，l上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0，l上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。教学重点：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。教学难点：1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。11 1 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 常数项级数 给定一个数列 u1 u2 u3 un 则由这数列构成的表达式 u1 u2 u3 un 叫做常数项)无穷级数 简称常数项)级数 记为 1nnu 即 3211nnnuuuuu 其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项 级数的部分和 作级数 1nnu的前 n 项和 nniinuuuuus 3211 称为级数 1nnu的部分和 级数敛散性定义 如果级数 1nnu的部分和数列ns有极限 s 即ssnnlim 则称无穷级数 1nnu收敛 这时极限 s 叫做这级数的和 并写成 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 3211nnnuuuuus 如果ns没有极限 则称无穷级数 1nnu发散 余项 当级数 1nnu收敛时 其部分和 s n是级数 1nnu的和 s 的近似值 它们之间的差值 rn s sn un 1 un 2 叫做级数 1nnu的余项 例 1 讨论等比级数(几何级数)20nnnaqaqaqaaq 的敛散性 其中 a 0 q 叫做级数的公比 例 1 讨论等比级数nnaq 0(a 0)的敛散性 解 如果 q 1 则部分和 qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn111 12 当|q|1 时 因为qasnn1lim 所以此时级数nnaq 0收敛 其和为qa1 当|q|1 时 因为nnslim 所以此时级数nnaq 0发散 如果|q|1 则当 q 1 时 sn na 因此级数nnaq 0发散 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 当 q1 时 级数nnaq 0成为 a a a a 时|q|1 时 因为 sn 随着 n 为奇数或偶数而等于 a 或零 所以 sn的极限不存在 从而这时级数nnaq 0也发散 综上所述 如果|q|1 则级数nnaq 0收敛 其和为qa1 如果|q|1 则级数nnaq 0发散 仅当|q|1 时 几何级数nnaq 0a 0)收敛 其和为qa1 例 2 证明级数 1 2 3 n 是发散的 证 此级数的部分和为 2)1(321nnnsn 显然 nnslim 因此所给级数是发散的 例 3 判别无穷级数 )1(1 431321211nn 的收敛性 解 由于 111)1(1nnnnun 因此 )1(1 431321211nnsn 111)111()3121()211(nnn 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 从而 1)111(limlimnsnnn 所以这级数收敛 它的和是 1 例 3 判别无穷级数1)1(1nnn的收敛性 解 因为 )1(1 431321211nnsn 111)111()3121()211(nnn 从而 1)111(limlimnsnnn 所以这级数收敛 它的和是 1 提示 111)1(1nnnnun 二、收敛级数的基本性质 性质 1 如果级数 1nnu收敛于和 s 则它的各项同乘以一个常数 k 所得的级数 1nnku也收敛 且其和为 ks 性质 1 如果级数 1nnu收敛于和 s 则级数 1nnku也收敛 且其和为 ks 性质 1 如果sunn 1 则kskunn 1 这是因为 设 1nnu与 1nnku的部分和分别为 sn与n 则 )(limlim21nnnnkukukuksskuuuknnnnlim)(lim21 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 这表明级数 1nnku收敛 且和为 ks 性质 2 如果级数 1nnu、1nnv分别收敛于和 s、则级数)(1nnnvu 也收敛 且其和为 s 性质 2 如果sunn 1、1nnv 则svunnn)(1 这是因为 如果 1nnu、1nnv、)(1nnnvu 的部分和分别为 sn、n、n 则 )()()(limlim2211nnnnnvuvuvu )()(lim2121nnnvvvuuu ssnnn)(lim 性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性 比如 级数 )1(1 431321211nn是收敛的 级数 )1(1 43132121110000nn也是收敛的 级数 )1(1 541431nn也是收敛的 性质 4 如果级数 1nnu收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不变 应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛 例如 级数 1 1)+1 1)+收敛于零 但级数 1 1 1 1 却是发散的 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 级数收敛的必要条件 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 性质 5 如果 1nnu收敛 则它的一般项 un 趋于零 即0lim0nnu 性质 5 如果 1nnu收敛 则0lim0nnu 证 设级数 1nnu的部分和为 sn 且ssnnlim 则 0limlim)(limlim110ssssssunnnnnnnnn 应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 例 4 证明调和级数 1 3121111nnn是发散的 例 4 证明调和级数 11nn是发散的 证 假若级数 11nn收敛且其和为 s sn是它的部分和 显然有ssnnlim及ssnn2lim 于是0)(lim2nnnss 但另一方面 2121 212121 21112nnnnnnssnn 故0)(lim2nnnss 矛盾 这矛盾说明级数 11nn必定发散 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 11 2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数 定理 1 正项级数 1nnu收敛的充分必要条件它的部分和数列sn有界 定理 2(比较审敛法)设 1nnu和 1nnv都是正项级数 且 un vn(n 1 2 )若级数 1nnv收敛 则级数 1nnu收敛 反之 若级数 1nnu发散 则级数 1nnv发散 定理 2(比较审敛法)设 1nnu和 1nnv都是正项级数 且 un vn(k 0 n N)若 1nnv收敛 则 1nnu收敛 若 1nnu发散 则 1nnv发散 设 un和 vn都是正项级数 且 un kvn(k 0 n N)若级数 vn收敛 则级数 un收敛 反之 若级数 un发散 则级数 vn发散 证 设级数 1nnv收敛于和 则级数 1nnu的部分和 sn u1 u2 un v1 v2 vn(n 1,2,)即部分和数列sn有界 由定理 1 知级数 1nnu收敛 反之 设级数 1nnu发散 则级数 1nnv必发散 因为若级数 1nnv收敛 由上已证明的结论 将有级数 1nnu也收敛 与假设矛盾 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 证 仅就 un vn(n 1 2 )情形证明 设级数 vn收敛 其和为 则级数 un的部分和 sn u1 u2 un v1 v2 vn(n 1,2,)即部分和数列sn有界 因此级数 un收敛 反之 设级数 un发散 则级数 vn必发散 因为若级数 vn收敛 由上已证明的结论 级数 un也收敛 与假设矛盾 推论 设 1nnu和 1nnv都是正项级数 如果级数 1nnv收敛 且存在自然数 N 使当 n N 时有un kvn(k 0)成立 则级数 1nnu收敛 如果级数 1nnv发散 且当 n N 时有 un kvn(k 0)成立 则级数 1nnu发散 例 1 讨论 p 级数 1 413121111pppppnnn 的收敛性 其中常数 p 0 例 1 讨论 p 级数)0(11pnpn的收敛性 解 设 p 1 这时nnp11 而调和级数 11nn发散 由比较审敛法知 当 p 1 时级数pnn11发散 设 p 1 此时有 1)1(1111111111ppnnpnnppnnpdxxdxnn(n 2,3,)对于级数1)1(1112ppnnn 其部分和 111111)1(11)1(11 3121211 ppppppnnnns 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 因为1)1(11 limlim1pnnnns 所以级数1)1(1112ppnnn收敛 从而根据比较审敛法的推论 1 可知 级数pnn11当 p 1 时收敛 综上所述 p 级数pnn11当 p 1 时收敛 当 p 1 时发散 解 当 p 1 时 nnp11 而调和级数 11nn发散 由比较审敛法知 当 p 1 时级数pnn11发散 当 p 1 时 1)1(1111111111ppnnpnnppnnpdxxdxnn(n 2,3,)而级数1)1(1112ppnnn是收敛的 根据比较审敛法的推论可知 级数pnn11当 p 1 时收敛 提示 级数1)1(1112ppnnn的部分和为 111111)1(11)1(11 3121211 ppppppnnnns 因为1)1(11 limlim1pnnnns 所以级数1)1(1112ppnnn收敛 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 p 级数的收敛性 p 级数pnn11当 p 1 时收敛 当 p 1 时发散 例 2 证明级数1)1(1nnn是发散的 证 因为11)1(1)1(12nnnn 而级数 11 3121111nnn是发散的 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的 定理 3(比较审敛法的极限形式)设 1nnu和 1nnv都是正项级数 如果lvunnnlim(0 l)则级数 1nnu和级数 1nnv同时收敛或同时发散 定理 3(比较审敛法的极限形式)设 1nnu和 1nnv都是正项级数 (1)如果lvunnnlim(0 l)且级数 1nnv收敛 则级数 1nnu收敛 (2)如果nnnnnnvulvulim0lim或 且级数 1nnv发散 则级数 1nnu发散 定理 3(比较审敛法的极限形式)设 un和 vn都是正项级数 (1)如果 lim(un/vn)l(0 l)且 vn收敛 则 un收敛 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 (2)如果 lim(un/vn)l(0 l)且 vn发散 则 un发散 证明 由极限的定义可知 对l21 存在自然数 N 当 n N 时 有不等式 llvullnn2121 即nnnlvulv2321 再根据比较审敛法的推论 1 即得所要证的结论 例 3 判别级数 11sinnn的收敛性 解 因为111sinlim nnn 而级数 11nn发散 根据比较审敛法的极限形式 级数 11sinnn发散 例 4 判别级数12)11ln(nn的收敛性 解 因为11)11ln(lim 22nnn 而级数211nn收敛 根据比较审敛法的极限形式 级数12)11ln(nn收敛 定理 4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)若正项级数 1nnu的后项与前项之比值的极限等于 nnnuu1lim 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 则当 1 时级数收敛 当 1(或nnnuu1lim)时级数发散 当 1 时级数可能收敛也可能发散 定理 4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)若正项级数 1nnu满足nnnuu1lim 则当 1 时级数收敛 当 1(或nnnuu1lim)时级数发散 当 1 时级数可能收敛也可能发散 定理 4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)设 1nnu为正项级数 如果 nnnuu1lim 则当 1 时级数收敛 当 1(或nnnuu1lim)时级数发散 当 1 时级数可能收敛也可能发散 例 5 证明级数 )1(3211 3211211111n 是收敛的 解 因为101lim 321)1(321lim lim 1nnnuunnnnn 根据比值审敛法可知所给级数收敛 例 6 判别级数 10!10321102110132nn的收敛性 解 因为101lim!1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn 根据比值审敛法可知所给级数发散 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 7 判别级数nnn2)12(1的收敛性 解 1)22()12(2)12(lim lim 1nnnnuunnnn 这时 1 比值审敛法失效 必须用其它方法来判别级数的收敛性 因为212)12(1nnn 而级数211nn收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛 解 因为212)12(1nnn 而级数211nn收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛 提示 1)22()12(2)12(lim lim 1nnnnuunnnn 比值审敛法失效 因为212)12(1nnn 而级数211nn收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛 定理 5(根值审敛法 柯西判别法)设 1nnu是正项级数 如果它的一般项 un的 n 次根的极限等于 nnnulim 则当 1时级数收敛 当 1(或nnnulim)时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散 定理 5(根值审敛法 柯西判别法)若正项级数 1nnu满足nnnulim 则当 1 时级数收敛 当 1(或nnnulim)时级数发散 当 1 时级数可能收敛也可能发散 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 定理 5(根值审敛法 柯西判别法)设 1nnu为正项级数 如果 nnnulim 则当 1时级数收敛 当 1(或nnnulim)时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散 例 8 证明级数 1 3121132nn是收敛的 并估计以级数的部分和 sn近似代替和 s 所产生的误差 解 因为01lim 1lim lim nnunnnnnnn 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛 以这级数的部分和 sn 近似代替和 s 所产生的误差为 )3(1)2(1)1(1|321nnnnnnnr )1(1)1(1)1(1321nnnnnn nnn)1(1 例 6 判定级数12)1(2nnn的收敛性 解 因为 21)1(221limlimnnnnnnu 所以 根据根值审敛法知所给级数收敛 定理 6(极限审敛法)设 1nnu为正项级数 (1)如果)lim(0limnnnnnulnu或 则级数 1nnu发散 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 (2)如果 p 1 而)0(limllunnpn 则级数 1nnu收敛 例 7 判定级数12)11ln(nn的收敛性 解 因为)(1)11ln(22nnn 故 11lim)11ln(limlim22222nnnnunnnnn 根据极限审敛法 知所给级数收敛 例 8 判定级数)cos1(11nnn的收敛性 解 因为 222232321)(211lim)cos1(1limlimnnnnnnnunnnnn 根据极限审敛法 知所给级数收敛 二、交错级数及其审敛法 交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的 交错级数的一般形式为11)1(nnnu 其中0nu 例如 1)1(11nnn是交错级数 但 cos1)1(11nnnn不是交错级数 定理 6（莱布尼茨定理）如果交错级数11)1(nnnu满足条件 (1)un un 1(n 1 2 3 )(2)0limnnu 则级数收敛 且其和 s u1 其余项 rn的绝对值|rn|un1 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 定理 6（莱布尼茨定理）如果交错级数11)1(nnnu满足 (1)1nnuu (2)0limnnu 则级数收敛 且其和 s u1 其余项 rn的绝对值|rn|un 1 简要证明 设前 n 项部分和为 sn 由 s2n(u1 u2)(u3 u4)(u2n 1 u2n)及 s2n u1(u2 u3)(u4 u5)(u2n 2 u2n 1)u2n 看出数列s2n单调增加且有界(s2n u1)所以收敛 设 s2ns(n)则也有 s2n 1 s2n u2n 1s(n)所以 sns(n)从而级数是收敛的 且sn u1 因为|rn|un 1 un 2 也是收敛的交错级数 所以|rn|un 1 例 9 证明级数 1)1(11nnn收敛 并估计和及余项 证 这是一个交错级数 因为此级数满足 (1)1111nnunnu(n 1,2,)(2)01limlimnunnn 由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和 s u1 1 余项11|1nurnn 三、绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 若级数 1|nnu收敛 则称级数 1nnu绝对收敛 若级数 1nnu 收敛 而级数 1|nnu发散 则称级 1nnu条件收敛 例 10 级数1211)1(nnn是绝对收敛的 而级数111)1(nnn是条件收敛的 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 定理 7 如果级数 1nnu绝对收敛 则级数 1nnu必定收敛 值得注意的问题 如果级数 1|nnu发散 我们不能断定级数 1nnu也发散 但是 如果我们用比值法或根值法判定级数 1|nnu发散 则我们可以断定级数 1nnu必定发散 这是因为 此时|un|不趋向于零 从而 un也不趋向于零 因此级数 1nnu也是发散的 例 11 判别级数 12sinnnna的收敛性 解 因为|221|sinnnna 而级数211nn是收敛的 所以级数 12|sin|nnna也收敛 从而级数 12sinnnna绝对收敛 例 12 判别级数12)11(21)1(nnnnn的收敛性 解 由2)11(21|nnnnu 有121)11(lim21|limenunnnnn 可知0limnnu 因此级数12)11(21)1(nnnnn发散 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 11 3 幂级数 一、函数项级数的概念 函数项级数 给定一个定义在区间 I 上的函数列un(x)由这函数列构成的表达式 u1(x)u2(x)u3(x)un(x)称为定义在区间 I 上的(函数项)级数 记为 1)(nnxu 收敛点与发散点 对于区间 I 内的一定点 x0 若常数项级数 10)(nnxu收敛 则称 点 x0是级数 1)(nnxu的收敛点 若常数项级数 10)(nnxu发散 则称 点 x0是级数 1)(nnxu的发散点 收敛域与发散域 函数项级数 1)(nnxu的所有收敛点的全体称为它的收敛域 所 有发散点的全体称为它的发散域 和函数 在收敛域上 函数项级数 1)(nnxu的和是 x 的函数 s(x)s(x)称为函数项级数 1)(nnxu的和函数 并写成1)()(nnxuxs un(x)是 1)(nnxu的简便记法 以下不再重述 在收敛域上 函数项级数un(x)的和是 x 的函数 s(x)s(x)称为函数项级数un(x)的和函数 并写成 s(x)un(x)这函数的定义就是级数的收敛域 部分和 函数项级数 1)(nnxu的前 n 项的部分和记作 sn(x)函数项级数un(x)的前 n 项的部分和记作 sn(x)即 sn(x)u1(x)u2(x)u3(x)un(x)高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 在收敛域上有)()(limxsxsnn或 sn(x)s(x)(n)余项 函数项级数 1)(nnxu的和函数 s(x)与部分和 sn(x)的差 rn(x)s(x)sn(x)叫做函数项级数 1)(nnxu的余项 函数项级数un(x)的余项记为 rn(x)它是和函数 s(x)与部分和 sn(x)的差 rn(x)s(x)sn(x)在收敛域上有0)(limxrnn 二、幂级数及其收敛性 幂级数 函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数 这种形式的级数称为幂级数 它的形式是 a0 a1x a2x2 anxn 其中常数 a0 a1 a2 an 叫做幂级数的系数 幂级数的例子 1 x x2 x3 xn !1 !2112nxnxx 注 幂级数的一般形式是 a0 a1(x x0)a2(x x0)2 an(x x0)n 经变换 t x x0就得 a0 a1t a2t2 antn 幂级数 1 x x2 x3 xn 可以看成是公比为 x 的几何级数 当|x|1 时它是收敛的 当|x|1 时 它是发散的 因此它的收敛 域为(1 1)在收敛域内有 11132nxxxxx 定理 1(阿贝尔定理)如果级数 0nnnxa当 x x0(x0 0)时收敛 则适合不等式 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室|x|x0|的一切 x 使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数 0nnnxa当 x x0时发散 则适合不等式|x|x0|的一切 x 使这幂级数发散 定理 1(阿贝尔定理)如果级数anxn当 x x0(x0 0)时收敛 则适合不等式|x|x0|的一切 x 使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数anxn当 x x0时发散 则适合不等式|x|x0|的一切 x 使这幂级数发散 提示 anxn是 0nnnxa的简记形式 证 先设x0是幂级数 0nnnxa的收敛点 即级数 0nnnxa收敛 根据级数收敛的必要条件 有0lim0nnnxa 于是存在一个常数 M 使|anx0n|M(n 0,1,2,)这样级数 0nnnxa的的一般项的绝对值 nnnnnnnnnnxxMxxxaxxxaxa|00000 因为当|x|x0|时 等比级数nnxxM|00收敛 所以级数 0|nnnxa收敛 也就是级数 0nnnxa绝对收敛 简要证明 设anxn在点x0收敛 则有anx0n0(n)于是数列anx0n有界 即存在一个常数 M 使|anx0n|M(n 0,1,2,)因为 nnnnnnnnnnxxMxxxaxxxaxa|00000 而当|0 xx时 等比级数nnxxM|00收敛 所以级数|anxn|收敛 也就是级数anxn绝对收敛 定理的第二部分可用反证法证明 倘若幂级数当 x x0时发散而有一点 x1适合|x1|x0|使级数收敛 则根据本定理的第一部分 级数当 x x0时应收敛 这与所设矛盾 定理得证 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 推论 如果级数 0nnnxa不是仅在点 x 0 一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数 R存在 使得 当|x|R时 幂级数绝对收敛 当|x|R时 幂级数发散 当 x R与 xR时 幂级数可能收敛也可能发散 收敛半径与收敛区间 正数R通常叫做幂级数 0nnnxa的收敛半径 开区间(R R)叫做幂级数 0nnnxa的收敛区间 再由幂级数在 xR 处的收敛性就可以决定它的收敛域 幂级数 0nnnxa的收敛域是(R,R)(或 R,R)、(R,R、R,R之一 规定 若幂级数 0nnnxa只在 x 0 收敛 则规定收敛半径 R 0 若幂级数 0nnnxa对一切 x 都收敛 则规定收敛半径 R 这时收敛域为(,)定理 2 如果|lim1nnnaa 其中 an、an 1是幂级数 0nnnxa的相邻两项的系数 则这幂级数的收敛半径 00 10 R 定理 2 如果幂级数 0nnnxa系数满足|lim1nnnaa 则这幂级数的收敛半径 00 10 R 定理 2 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 如果|lim1nnnaa 则幂级数 0nnnxa的收敛半径 R为 当 0 时1R 当 0 时 R 当时 R 0 简要证明|lim|lim111xxaaxaxannnnnnnn (1)如果 0 则只当|x|1 时幂级数收敛 故1R (2)如果 0 则幂级数总是收敛的 故 R (3)如果 则只当 x 0 时幂级数收敛 故 R 0 例 1 求幂级数 )1(32)1(13211nxxxxnxnnnnn 的收敛半径与收敛域 例 1 求幂级数11)1(nnnnx的收敛半径与收敛域 解 因为1111lim|lim 1nnaannnn 所以收敛半径为11R 当 x 1 时 幂级数成为111)1(nnn 是收敛的 当 x1 时 幂级数成为1)1(nn 是发散的 因此 收敛域为(1,1 例 2 求幂级数 0!1nnxn !1 !31!21132nxnxxx 的收敛域 例 2 求幂级数 0!1nnxn的收敛域 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim|lim 1nnnnaannnnn 所以收敛半径为 R 从而收敛域为(,)例 3 求幂级数 0!nnxn的收敛半径 解 因为 !)!1(lim|lim 1nnaannnn 所以收敛半径为 R 0 即级数仅在 x 0 处收敛 例 4 求幂级数 022!)()!2(nnxnn的收敛半径 解 级数缺少奇次幂的项 定理 2 不能应用 可根据比值审敛法来求收敛半径 幂级数的一般项记为nnxnnxu22)!()!2()(因为 21|4|)()(|limxxuxunnn 当 4|x|2 1 即21|x时级数收敛 当 4|x|2 1 即21|x时级数发散 所以收敛半径为21R 提示 2222)1(221)1()12)(22()!()!2()!1()!1(2)()(xnnnxnnxnnxuxunnnn 例 5 求幂级数12)1(nnnnx的收敛域 解 令 t x 1 上述级数变为 12nnnnt 因为 21)1(22|lim 11nnaannnnn 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 所以收敛半径 R 2 当 t 2 时 级数成为 11nn 此级数发散 当 t2 时 级数成为1)1(nn 此级数收敛 因此级数 12nnnnt的收敛域为 2 t 2 因为 2 x 1 2 即 1 x 3 所以原级数的收敛域为 1,3)三、幂级数的运算 设幂级数 0nnnxa及 0nnnxb分别在区间(R,R)及(R,R)内收敛 则在(R,R)与(R,R)中较小的区间内有 加法 000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa 减法 000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa 设幂级数anxn及bnxn分别在区间(R,R)及(R,R)内收敛 则在(R,R)与(R,R)中较小的区间内有 加法 anxn bnxn (an bn)xn 减法 anxn bnxn (an bn)xn 乘法 )()(00nnnnnnxbxa a0b0(a0b1 a1b0)x(a0b2 a1b1 a2b0)x2 (a0bn a1bn 1 anb0)xn 性质 1 幂级数 0nnnxa的和函数 s(x)在其收敛域 I 上连续 如果幂级数在 x R(或 xR)也收敛 则和函数 s(x)在(R,R(或 R,R)连续 性质 2 幂级数 0nnnxa的和函数 s(x)在其收敛域 I 上可积 并且有逐项积分公式 01000001)()(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxs(x I)逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 性质 3 幂级数 0nnnxa的和函数 s(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式 1100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxs(|x|R)高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 性质 1 幂级数anxn的和函数 s(x)在其收敛域 I 上连续 性质 2 幂级数anxn的和函数 s(x)在其收敛域 I 上可积 并且有逐项积分公式 01000001)()(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxs(x I)逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 性质 3 幂级数anxn的和函数 s(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式 0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxs(|x|R)逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 例 6 求幂级数011nnxn的和函数 解 求得幂级数的收敛域为 1 1)设和函数为 s(x)即011)(nnxnxs x 1 1)显然 s(0)1 在0111)(nnxnxxs的两边求导得 xxxnxxsnnnn11)11()(001 对上式从 0 到 x 积分 得 )1ln(11)(0 xdxxxxsx 于是 当 x 0 时 有)1ln(1)(xxxs 从而0 1 1|0 )1ln(1)(xxxxxs 因为xnnnndxxnxnxxs001011111)()1ln(11000 xdxxdxxxxnn 所以 当 x 0 时 有)1ln(1)(xxxs 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 从而 0 1 1|0 )1ln(1)(xxxxxs 例 6 求幂级数011nnxn的和函数 解 求得幂级数的收敛域为 1 1)设幂级数的和函数为 s(x)即011)(nnxnxs x 1 1)显然 S(0)1 因为 xnnnndxxnxnxxs001011111)()11()1ln(11000 xxdxxdxxxxnn 所以 当1|0 x时 有)1ln(1)(xxxs 从而 0 1 1|0 )1ln(1)(xxxxxs 由和函数在收敛域上的连续性 2ln)(lim)1(1xSSx 综合起来得0 1 )1 ,0()0 ,1 )1ln(1)(xxxxxs 提示 应用公式)0()()(0FxFdxxFx 即xdxxFFxF0)()0()(11132nxxxxx 例 7 求级数01)1(nnn的和 解 考虑幂级数011nnxn 此级数在 1,1)上收敛 设其和 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 函数为 s(x)则01)1()1(nnns 在例 6 中已得到 xs(x)ln(1 x)于是 s(1)ln2 21ln)1(s 即21ln1)1(0nnn 11 4 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 要解决的问题 给定函数 f(x)要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”就是说 是否能找到这样一个幂级数 它在某区间内收敛 且其和恰好就是给定的函数 f(x)如果能找到这样的幂级数 我们就说 函数 f(x)在该区间内能展开成幂级数 或简单地说函数 f(x)能展开成幂级数 而该级数在收敛区间内就表达了函数 f(x)泰勒多项式 如果 f(x)在点 x0的某邻域内具有各阶导数 则在该邻域内 f(x)近似等于 )(!2)()()()(200000 xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn 其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(介于 x 与 x0之间)泰勒级数 如果 f(x)在点 x0的某邻域内具有各阶导数 f(x)f(x)f(n)(x)则当 n 时 f(x)在点 x0的泰勒多项式 nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(!2)()()()(00)(200000 成为幂级数 )(!3)()(!2)()()(300200000 xxxfxxxfxxxfxf )(!)(00)(nnxxnxf 这一幂级数称为函数 f(x)的泰勒级数 显然 当 x x0时 f(x)的泰勒级数收敛于 f(x0)需回答的问题 除了 x x0外 f(x)的泰勒级数是否收敛?如果收敛 它是否一定收敛于 f(x)?定理 设函数 f(x)在点 x0的某一邻域 U(x0)内具有各阶导数 则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项 Rn(x)当 n0 时的极限为零 即 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室)(0)(lim0 xUxxRnn 证明 先证必要性 设 f(x)在 U(x0)内能展开为泰勒级数 即 )(!)()(!2)()()()(00)(200000nnxxnxfxxxfxxxfxfxf 又设 sn 1(x)是 f(x)的泰勒级数的前 n 1 项的和 则在 U(x0)内 sn 1(x)f(x)(n)而 f(x)的 n 阶泰勒公式可写成 f(x)sn 1(x)Rn(x)于是 R n(x)f(x)sn 1(x)0(n)再证充分性 设 Rn(x)0(n)对一切 x U(x0)成立 因为 f(x)的 n 阶泰勒公式可写成 f(x)sn 1(x)R n(x)于是 sn 1(x)f(x)R n(x)f(x)即 f(x)的泰勒级数在 U(x0)内收敛 并且收敛于 f(x)麦克劳林级数 在泰勒级数中取 x0 0 得 !)0(!2)0()0()0()(2nnxnfxfxff 此级数称为 f(x)的麦克劳林级数 展开式的唯一性 如果 f(x)能展开成 x 的幂级数 那么这种展式是唯一的 它一定与 f(x)的麦克劳林级数一致 这是因为 如果 f(x)在点 x0 0 的某邻域(R R)内能展开成 x 的幂级数 即 f(x)a0 a1x a2x2 anxn 那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导 有 f (x)a1 2a2x 3a3x2 nanxn 1 f(x)2!a2 3 2a3x n(n 1)anxn 2 f(x)3!a3 n(n 1)(n 2)anxn 3 f(n)(x)n!an(n 1)n(n 1)2an 1x 于是得 a0 f(0)a1 f (0)!2)0(2fa !)0()(nfann 应注意的问题 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数 但是 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x0 0的某邻域内收敛 它却不一定收敛于f(x)因此 如果f(x)在点 x0 0 处具有各阶导数 则 f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来 但这个级数是否在某个区间内收敛 以及是否收敛于 f(x)却需要进一步考察 二、函数展开成幂级数 高等数学教案 11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 展开步骤 第一步 求出 f(x)的各阶导数 f (x)f(x)f(n)(x)第二步 求函数及其各阶导数在 x 0 处的值 f(0)f (0)f(0)f(n)(0)第三步 写出幂级数 !)0(!2)0()0()0()(2nnxnfxfxff