2023年函数的奇偶性、单调性、最值综合问题探究.pdf

精品资料 欢迎下载 函数的奇偶性、单调性、最值综合探究 新泰一中 闫辉 知识梳理 1.函数的奇偶性：（1）奇函数：如果对于函数 y=f（x）的定义域内任意一个 x，都有 f（x）=f（x）或 f（x）+f（x）=0，则称 f（x）为奇函数。（2）偶函数：如果对于函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有 f（x）=f（x）或 f（x）f（x）=0，则称 f（x）为偶函数.（3）奇、偶函数的性质 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称.若奇函数的定义域包含数 0，则 f（0）=0.奇函数的反函数也为奇函数.奇偶函数的运算性质：设 y=f(x)(x D1)为奇函数，y=g(x)(x D2)为偶函数，21DDD,则在 D 上有：奇奇奇（函数）偶偶偶（函数）奇奇偶（函数）偶偶偶（函数）奇偶奇（函数）2.函数的单调性：（1）增函数、减函数的定义 一般地，对于给定区间上的函数 y=f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1x2时，都有 f（x1）f（x2）或都有 f（x1）f（x2），那么就说 f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数 y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说 f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做 f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.（2）函数单调性可以从三个方面理解 图形刻画：对于给定区间上的函数 f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.定性刻画：对于给定区间上的函数 f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.定量刻画，即定义.（3）关于函数单调性的几个重要结论 和函数的单调性：若 y=f(x)与 y=g(x)在公共区间 D内都是增（减）函数，则函数 y=f(x)+g(x)在 D内是增（减）函数。若 y=f(x)在区间 D 内是增（减）函数，则函数 y=kf(x)k0(k0)在 D内是增（减）函数。奇偶函数在对称区间上的单调性 奇函数在(a,b)和(-b,-a)(ab)上单调性相同，精品资料 欢迎下载 偶函数在(a,b)和(-b,-a)(ab)上单调性相反。3.函数的最值：（1）函数的最值的定义：定义：一般地，函数 y=f(x)在 x0处的函数值是 f(x0），如果对于定义域内任意 x，不等式 f(x)f(x0)（f(x)f(x0)）都成立，那么 f(x0）叫做函数 y=f(x)的最小值，（最大值）记做：ymin=f(x0)（ymax=f(x0)）（2）求函数最值的常用方法有：（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；（2）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。（3）数形结合法：利用函数图象求出函数的最值.（4）函数的单调性法.一、函数奇偶性的判定问题。【例 1】判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）xx11；（3）f（x）=2|2|12xx；（4）f（x）=).0()1(),0()1(xxxxxx 剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域 x（，+），对称于原点.f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由xx110，得1x1，其定义域不对称于原点，所以 f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由,02|2|,012xx得.40,11xxx且 故 f（x）的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有 x+20.从而有f（x）=2212xx=xx21，这时有 f（x）=xx2)(1=xx21=f（x），故 f（x）为奇函数.（4）函数 f（x）的定义域是（，0）（0，+），并且当 x0 时，质具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称也就是说函数为奇函数或偶的运算性质设为奇函数为偶则在上有奇奇奇函数偶偶偶函数函数奇奇偶就说在这个区间上是增函数或减函数如果函数在某个区间上是增函数或精品资料 欢迎下载 x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.当 x0 时，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函数 f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.二、奇偶函数的解析式问题。【例 2】已知 f（x）是奇函数，当 x（0，1）时，f（x）=lgx11，那么当x（1，0）时，f（x）的表达式是_.解析：当 x（1，0）时，x（0，1），f（x）=f（x）=lgx11=lg（1x）.答案：f(x)=lg（1x）三、奇偶函数的图象问题。【例 3】下面四个结论中，正确命题的个数是 偶函数的图象一定与 y 轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于 y 轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f（x）=0（xR）()A.1 B.2 C.3 D.4 解析：不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f（x）=0 x（a，a）.答案：A 四、函数单调性的判定问题。【例 4】证明：函数xxxf3)(是增函数 【例 5】讨论函数 f（x）=12xax（a0）在 x（1，1）上的单调性.解：设1x1x21，则 f（x1）f（x2）=1211xax1222xax=)1)(1(222122121221xxaxxaxaxxax=)1)(1()1)(22212112xxxxxxa.质具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称也就是说函数为奇函数或偶的运算性质设为奇函数为偶则在上有奇奇奇函数偶偶偶函数函数奇奇偶就说在这个区间上是增函数或减函数如果函数在某个区间上是增函数或精品资料 欢迎下载 1x1x21，x2x10，x1x2+10，（x121）（x221）0.又 a0，f（x1）f（x2）0，函数 f（x）在（1，1）上为减函数.五、函数单调区间的求法问题。【例 6】求函数 y=x+x1的单调区间.（对号函数）【增减减增】剖析：求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用 y=x 与 y=x1的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断 f（x2）f（x1）的正负.解：首先确定定义域：x|x0，在（，0）和（0，+）两个区间上分别讨论.任取 x1、x2（0，+）且 x1x2，则 f（x1）f（x2）=x1+11xx221x=（x1x2）+2112xxxx=（x1-2x）（1211xx）=（x1-2x）21211xxxx （1）当 x1、x2（0，1）时，f（x1）f（x2）0，为减函数.（2）当 x1、x2（1，+）时，f（x1）f（x2）0，为增函数.同理可求（3）当 x1、x2（1，0）时，为减函数；（4）当 x1、x2（，1）时，为增函数.评述：解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（1，0）（0，1）上是减函数，在（，1）（1，+）上是增函数，或说 f（x）在（，0）（0，+）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.深化拓展 求函数 y=x+xa（a0）的单调区间.提示：函数定义域 x0，可先考虑在（0，+）上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在（，0）上的单调性.答案：在（，a，（a，+）上是增函数，在（0，a，（a，0）上是减函数.【例 7】求下列函数的单调区间：)0(1)1(2xxxy 122)2(xxy 3|2)3(2xxy 质具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称也就是说函数为奇函数或偶的运算性质设为奇函数为偶则在上有奇奇奇函数偶偶偶函数函数奇奇偶就说在这个区间上是增函数或减函数如果函数在某个区间上是增函数或精品资料 欢迎下载 六、函数奇偶性与单调性的应用。【例 8】（1）已知函数,3)2(,5)(3fbxaxxf求)2(f。（2）已知)(xf是偶函数，)(xg为奇函数，xxxgxf2)()(2求 f（x）。（3）求函数45)(22xxxf的值域。七、二次函数在区间上的最值问题。质具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称也就是说函数为奇函数或偶的运算性质设为奇函数为偶则在上有奇奇奇函数偶偶偶函数函数奇奇偶就说在这个区间上是增函数或减函数如果函数在某个区间上是增函数或精品资料 欢迎下载【例 9】求函数1322xxy在区间 2,1 上的最大值和最小值。【例 10】求函数322xxy在区间 1,aa上的最大值。【例 11】求函数122axxy在区间 2,0上的最大值和最小值。闯关训练 1.已知函数 f（x）=ax2bxc（a0）是偶函数，那么 g（x）=ax3bx2cx 是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 解析：由 f（x）为偶函数，知 b=0，有 g（x）=ax3cx（a0）为奇函数.答案：A 2.已知 f（x）ax2bx3ab 是偶函数，且其定义域为a1，2a，则 a_，b_.解析：定义域应关于原点对称，故有 a12a，得 a31.又对于所给解析式，要使 f（x）f（x）恒成立，应 b0.答案：31 0 3.给定函数:y=x1（x0）；y=x2+1；y=2x；y=log2x；y=log2（x+12x）.在这五个函数中，奇函数是_，偶函数是_，非奇非偶函数是_.答案：4.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 A.y=x+1 B.y=x C.y=x24x+5 D.y=x2 质具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称也就是说函数为奇函数或偶的运算性质设为奇函数为偶则在上有奇奇奇函数偶偶偶函数函数奇奇偶就说在这个区间上是增函数或减函数如果函数在某个区间上是增函数或精品资料 欢迎下载 答案：B 5.函数 y=loga（x22x3），当 x=2 时，y0，则此函数的单调递减区间是 A.（，3）B.（1，）C.（，1）D.（1，）解析：当 x=2 时，y=loga50，a1.由 x22x30 x3 或 x1，易见函数 tx22x3 在（，3）上递减，故函数 y=loga（x22x3）（其中 a1）也在（，3）上递减.答案：A 6.（2003 年北京朝阳区模拟题）函数 y=log21|x3|的单调递减区间是_.解析：令 u=|x3|，则在（，3）上 u 为 x 的减函数，在（3，+）上 u为 x 的增函数.又0211，在区间（3，）上，y 为 x 的减函数.答案：（3，+）7.有下列几个命题：函数 y=2x2+x+1 在（0，）上不是增函数；函数 y=11x在（，1）（1，）上是减函数；函数 y=245xx 的单调区间是2，+）；已知 f（x）在 R 上是增函数，若 a+b0，则有 f（a）+f（b）f（a）+f（b）.其中正确命题的序号是 _.解析：函数 y=2x2+x+1 在（0，+）上是增函数，错；虽然（，1）、（1，）都是 y=11x的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，错；要研究函数 y=245xx 的单调区间，首先被开方数5+4xx20，解得1x5，由于2，+）不是上述区间的子区间，错；f（x）在 R 上是增函数，且 ab，ba，f（a）f（b），f（b）f（a），f（a）+f（b）f（a）+f（b），因此是正确的.答案：8.若 f（x）=1222xxaa为奇函数，求实数 a 的值.解：xR，要使 f（x）为奇函数，必须且只需 f（x）+f（x）=0，即a122x+a122 x=0，得 a=1.9.（文）如果函数 f（x）=x2+2（a1）x+2 在区间（，4上是减函数，那么实数 a 的取值范围是_.解析：对称轴 x=1a，由 1a4，得 a3.答案：a3 巩固：如果函数 f（x）=x2+2（a1）x+2 的单调减区间是（，4，那么实数 a 的值是_ 质具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称也就是说函数为奇函数或偶的运算性质设为奇函数为偶则在上有奇奇奇函数偶偶偶函数函数奇奇偶就说在这个区间上是增函数或减函数如果函数在某个区间上是增函数或精品资料 欢迎下载 答案：a=3 （理）（2003 年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数 y=f（x）的图象与 y=2x的图象关于直线 y=x 对称，则函数 y=f（4xx2）的递增区间是_.解析：先求y=2x的反函数，为 y=log2x，f（x）=log2x，f（4xx2）=log2（4xx2）.令 u=4xx2，则 u0，即 4xx20.x（0，4）.又u=x2+4x 的对称轴为 x=2，且对数的底为 21，y=f（4xx2）的递增区间为（0，2）.答案：（0，2）10.讨论函数 f（x）=21xax（a21）在（2，+）上的单调性.解：设x1、x2为区间（2，+）上的任意两个值，且 x1x2，则 f（x1）f（x2）=21212211xaxxax=)2)(2()2)(1()2)(1(211221xxxaxxax=)2)(2()21)(2112xxaxx.x1（2，+），x2（2，+）且 x1x2，x2x10，x1+20，x2+20.当 12a0，即 a21时，f（x1）f（x2），该函数为减函数；当 12a0，即 a21时，f（x1）f（x2），该函数为增函数.11.若奇函数 f（x）在a，b上是增函数，且最小值是 1，则 f（x）在b，a上是 A.增函数且最小值是1 B.增函数且最大值是1 C.减函数且最小值是1 D.减函数且最大值是1 解析：f（a）=1，f（a）=1.答案：B 12.已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，且 f（1）=1，若a、b1，1，a+b0 时，有babfaf)()(0.判断函数 f（x）在 1，1上是增函数还是减函数，并证明你的结论.解：任取 x1、x21，1，且 x1x2，则x21，1.又 f（x）是奇函数，于是 f（x1）f（x2）=f（x1）+f（x2）=)()()(2121xxxfxf（x1x2）.质具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称也就是说函数为奇函数或偶的运算性质设为奇函数为偶则在上有奇奇奇函数偶偶偶函数函数奇奇偶就说在这个区间上是增函数或减函数如果函数在某个区间上是增函数或精品资料 欢迎下载 据已知)()()(2121xxxfxf0，x1x20，f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2）.f（x）在1，1上是增函数.知识梳理考卷 1、函数的定义：设 A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有 的值 f（x）和它对应，那么就称 f:：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=，xA，其中 x 叫做 .。x 的取值范围 A 叫做函数的 ；与 x 的值相对应的 y 的值叫做 ，函数值的集合f（x）|xA叫做 .2、常见函数定义域：xy1，定义域为_；xy，定义域为_；xyalog；定义域为_。其中 a 的取值范围是_。3、函数单调性：已知函数 yf(x)，给定区间 D，对任意 x1，x2 D，设 x1x2，如果_，就称函数 f(x)在区间上为_，如果_，就称_减函数。反之：如果函数 f(x)在区间上为减函数，则对区间内任意 x1，x2，x1x2_。如果函数 f(x)在区间上为增函数，_。其中区间称为函数 f(x)_。4、函数奇偶性：对函数 f(x)定义域内的任意一个 x，如果都有_，那么函数 f(x)就叫做奇函数。如果都有_,那么函数 f(x)_。函数定义域关于原点对称是一个函数是奇函数或偶函数的_条件。也就是说：如果函数定义域关于原点非对称，则函数一定是_函数。5、f(x)为奇函数 f(x)图像关于_对称；f(x)为偶函数 f(x)图像关于_对称。6、复合函数单调性：设 y=f(x)的定义域为 D，yg(x)定义域为，值域为，且，f(x)在上是单调的，g(x)在上也是单调的，则函数 y=f g(x)在其定义域上也是单调的，填表：函数 单调性 y=f(x)y=g(x)y=f g(x)单调性用、表示。质具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称也就是说函数为奇函数或偶的运算性质设为奇函数为偶则在上有奇奇奇函数偶偶偶函数函数奇奇偶就说在这个区间上是增函数或减函数如果函数在某个区间上是增函数或