2023年函数的奇偶性经典例题.pdf
精品资料 欢迎下载 24 函数的奇偶性【知识网络】1奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2奇函数、偶函数的图象3应用奇函数、偶函数解决问题【典型例题】例 1（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）偶函数的图象一定与 y 轴相交；函数()f x为奇函数的充要条件是(0)0f；偶函数的图象关于 y 轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f（x）=0（xR）A1 B2 C3 D4 提示：不对，如函数21()f xx是偶函数，但其图象与y轴没有交点；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f（x）=0 x（a，a），答案为 A（2）已知函数2()3f xaxbxab是偶函数，且其定义域为1,2aa，则（）A31a，b0 B1a ，b0 C1a，b0 D3a，b0 提示：由2()3f xaxbxab为偶函数，得 b0 又定义域为1,2aa，(1)20aa，31a故答案为 A（3）已知()f x是定义在 R 上的奇函数，当0 x 时，2()2f xxx，则()f x）在 R 上的 表达式是（）A(2)yx x B(|2)yx x C|(2)yxx D(|2)yx x 提示：由0 x 时，2()2f xxx，()f x是定义在 R 上的奇函数得：当 x0 时，0 x，2()()(2)(2)f xfxxxxx (2)(0)()(2)(0)x xxf xxxx，即()(|2)f xx x，答案为 D（4）已知53()8f xxaxbx，且(2)10f ，那么 f（2）等于26 提示：53()8f xxaxbx 为奇函数，(2)818f ，(2)818f ，(2)26f （5）已知()f x是偶函数，()g x是奇函数，若11)()(xxgxf，则()f x的解析式为 提 示：由()f x是 偶 函 数，()g x是 奇 函 数，可 得11)()(xxgxf，联 立11)()(xxgxf，得：21111()()1211f xxxx，11)(2xxf 例 2判断下列函数的奇偶性：（1）1()(1)1xf xxx；(2)22()11f xxx；（3）22lg(1)()|2|2xf xx；（4）22(0)()(0)xxxf xxxx 解：（1）由101xx，得定义域为 1,1)，关于原点不对称，()f x为非奇非偶函数 精品资料 欢迎下载(2)222101110 xxxx ，()0f x ()f x既是奇函数又是偶函数（3）由2210|2|20 xx 得定义域为(1,0)(0,1)，22lg(1)()(2)2xf xx 22lg(1)xx，2222lg1()lg(1)()()xxfxxx ()f x ()f x为偶函数 （4）当0 x 时，0 x，则22()()()()fxxxxxf x ，当0 x 时，0 x，则22()()()()fxxxxxf x ，综上所述，对任意的(,)x，都有()()fxf x ，()f x为奇函数 例 3若奇函数()f x是定义在（1，1）上的增函数，试解关于a的不等式：2(2)(4)0f af a 解：由已知得2(2)(4)f af a 因 f(x)是奇函数，故 22(4)(4)f afa，于是2(2)(4)f afa 又()f x是定义在（1，1）上的增函数，从而 22322412113321415335aaaaaaaaa 或 即不等式的解集是(3,2)例 4 已知定义在 R上的函数()f x对任意实数x、y，恒有()()()f xf yf xy，且当0 x 时，()0f x，又2(1)3f （1）求证：()f x为奇函数；（2）求证：()f x在 R 上是减函数；（3）求()f x在3，6上的最大值与最小值（1）证明：令0 xy，可得(0)(0)(00)(0)ffff，从而，f(0)=0 令yx，可得()()()(0)0f xfxf xxf ，即()()fxf x ，故()f x为奇函数 （2）证明：设12,xxR，且12xx，则120 xx，于是12()0f xx从而 121222122212()()()()()()()()0f xf xfxxxf xf xxf xf xf xx 所以，()f x为减函数（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为(3)f，最小值为(6)f(3)(3)(2)(1)2(1)(1)3(1)2fffffff (6)(6)(3)(3)4ffff 于是，()f x在-3，6上的最大值为 2，最小值为-4 【课内练习】1下列命题中，真命题是（C）函数的图象关于轴对称既是奇函数又是偶函数的函数一定是是偶函数但函数则提示由为偶函数得又定义域为则故答案为已知是定义在上的奇函数可得联立得例判断下列函数的奇偶性解由得定义域为关于原点不对称精品资料 欢迎下载 A函数1yx是奇函数，且在定义域内为减函数 B函数30(1)yxx是奇函数，且在定义域内为增函数 C函数2yx是偶函数，且在（3，0）上为减函数 D函数2(0)yaxc ac是偶函数，且在（0，2）上为增函数 提示：A 中，1yx在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当0a 时，2(0)yaxc ac在（0，2）上为减函数，答案为 C 2 若)(x，()g x都是奇函数，()()()2f xaxbg x在（0，）上有最大值 5，则()f x在（，0）上有（）A最小值5 B最大值5 C最小值1 D最大值3 提示：)(x、()g x为奇函数，)()(2)(xbgxaxf为奇函数 又()f x有最大值 5，2 在（0，）上有最大值 3()f x2 在(,0)上有最小值3，()f x在(,0)上有最小值1答案为 C 3定义在 R 上的奇函数()f x在（0，+）上是增函数，又(3)0f ，则不等式()0 xf x 的解集为（A）A（3，0）（0，3）B（，3）（3，+）C（3，0）（3，+）D（，3）（0，3）提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解答案为 A 4.已知函数()yf x是偶函数，(2)yf x在0，2上是单调减函数，则（A）A.(0)(1)(2)fff B.(1)(0)(2)fff C.(1)(2)(0)fff D.(2)(1)(0)fff 提示：由 f（x2）在0，2上单调递减，()f x在2，0上单调递减.()yf x是偶函数，()f x在0，2上单调递增.又(1)(1)ff，故应选 A.5已知()f x奇函数，当x（0，1）时，()f x lgx11，那么当x（1，0）时，()f x的表达式是lg(1)x 提示：当x（1，0）时，x（0，1），1()()lglg(1)1f xfxxx 6已知xaxaxf2log)(3是奇函数，则2007a2007a=2008 提示：32(0)log0afa，21aa，解得：1a，经检验适合，200720072008aa 7若()f x是偶函数，当x0，+)时，()1f xx，则(1)0f x 的解集是|02xx 提示：偶函数的图象关于 y 轴对称，先作出()f x的图象，由图可知()0f x 的解集为|11xx，(1)0f x 的解集为|02xx.8试判断下列函数的奇偶性：（1）()|2|2|f xxx ；（2）331)(2xxxf；（3）0)1(|)(xxxxf 解：（1）函数的定义域为 R，()|2|2|2|2|()fxxxxxf x ，故()f x为偶函数 函数的图象关于轴对称既是奇函数又是偶函数的函数一定是是偶函数但函数则提示由为偶函数得又定义域为则故答案为已知是定义在上的奇函数可得联立得例判断下列函数的奇偶性解由得定义域为关于原点不对称精品资料 欢迎下载（2）由210|3|30 xx 得：110 xx 且，定义域为 1,0)(0,1，关于原点对称，2211()33xxf xxx，21()()xfxf xx ，故()f x为奇函数（3）函数的定义域为(-，0)(0，1)(1，+)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数 9已知函数()f x对一切,x yR，都有()()()f xyf xf y，若(3)fa，用a表示(12)f 解：显然()f x的定义域是R，它关于原点对称在()()()f xyf xf y中，令yx，得(0)()()ff xfx，令0 xy，得(0)(0)(0)fff，(0)0f，()()0f xfx，即()()fxf x ，()f x是奇函数 (3)fa，(12)2(6)4(3)4(3)4ffffa 10已知函数21()(,)axf xa b cZbxc是奇函数，又，(1)2f，(2)3f，求a、b、c的值.解：由()()fxf x 得()bxcbxc c=0.又(1)2f，得12ab，而(2)3f，得4131aa，解得12a.又aZ，0a 或1a.若0a，则 b=12Z，应舍去；若1a，则 b=1Z.1,1,0abc.函数的图象关于轴对称既是奇函数又是偶函数的函数一定是是偶函数但函数则提示由为偶函数得又定义域为则故答案为已知是定义在上的奇函数可得联立得例判断下列函数的奇偶性解由得定义域为关于原点不对称
