2023年初二动点问题解析与专题训练详尽.pdf

学习好资料 欢迎下载 初二动点问题解析 1.如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点 P 从 A开始沿AD边向 D以 1cm/s 的速度运动；动点 Q从点 C开始沿 CB边向 B以 3cm/s 的速度运动P、Q分别从点 A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为 ts （1）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为等腰梯形？（3）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为直角梯形？分析：（1）四边形 PQCD 为平行四边形时 PD=CQ （2）四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC-PD=2CE （3）四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC 所有的关系式都可用含有 t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可 解答：解：（1）四边形 PQCD 平行为四边形 PD=CQ 24-t=3t 解得：t=6 即当 t=6 时，四边形 PQCD 平行为四边形 （2）过 D作 DE BC于 E 则四边形 ABED 为矩形 BE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm四边形 PQCD 为等腰梯形QC-PD=2CE 即 3t-（24-t）=4 解得：t=7（s）即当 t=7（s）时，四边形 PQCD 为等腰梯形（3）由题意知：QC-PD=EC 时，四边形 PQCD 为直角梯形即 3t-（24-t）=2 解得：t=6.5（s）即当 t=6.5（s）时，四边形 PQCD为直角梯形点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中（3）如图，ABC中，点 O为 AC边上的一个动点，过点 O作直线 MN BC，设 MN交BCA的外角平分线 CF于点 F，交ACB内角平分线 CE于 E（1）试说明 EO=FO；学习好资料 欢迎下载（2）当点 O运动到何处时，四边形 AECF是矩形并证明你的结论；（3）若 AC边上存在点 O，使四边形 AECF是正方形，猜想ABC的形状并证明你的结论 分析：（1）根据 CE平分ACB，MN BC，找到相等的角，即OEC=ECB，再根据等边对等角得 OE=OC，同理OC=OF，可得 EO=FO （2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形（3）利用已知条件及正方形的性质解答 解答：解：（1）CE平分ACB，ACE=BCE，MN BC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF （2）当点 O运动到 AC中点处时，四边形 AECF是矩形 如图 AO=CO，EO=FO，四边形 AECF为平行四边形，CE平分ACB，ACE=ACB，同理，ACF=ACG，ECF=ACE+ACF=（ACB+ACG）=180=90，四边形 AECF是矩形 （3）ABC是直角三角形 四边形 AECF是正方形，AC EN，故AOM=90，MN BC，BCA=AOM，BCA=90，ABC是直角三角形 点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用 1.如图，直角梯形 ABCD 中，AD BC，ABC=90，已知 AD=AB=3，BC=4，动点 P从 B点出发，沿线段 BC向点 C作匀速运动；动点 Q从点 D出发，沿线段 DA向点 A作匀速运动过 Q点垂直于 AD的射线交 AC于点 M，交 BC于点 NP、Q两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度当 Q点运动到 A点，P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为 t 秒 行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载（1）求 NC，MC的长（用 t 的代数式表示）；（2）当 t 为何值时，四边形 PCDQ 构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线 QN恰好将ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t 为何值时，PMC为等腰三角形 分析：（1）依据题意易知四边形 ABNQ 是矩形NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是 t，即解；AB QN，CMN CAB，CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求 CA=5，即可表示 CM；四边形 PCDQ 构成平行四边形就是 PC=DQ，列方程 4-t=t 即解；（3）可先根据 QN平分ABC的周长，得出 MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出 t 的值然后根据得出的 t的值，求出MNC 的面积，即可判断出MNC 的面积是否为ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的 t 值（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：当 MP=MC 时，那么 PC=2NC，据此可求出 t 的值 当 CM=CP 时，可根据 CM和 CP的表达式以及题设的等量关系来求出 t 的值 当 MP=PC 时，在直角三角形 MNP 中，先用 t 表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出 t 的值 综上所述可得出符合条件的 t 的值 解答:解：（1）AQ=3-t CN=4-（3-t）=1+t 在 RtABC中，AC2=AB2+BC2=32+42AC=5 在 RtMNC 中，cos NCM=，CM=（2）由于四边形 PCDQ 构成平行四边形 PC=QD，即 4-t=t 解得 t=2（3）如果射线 QN将ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB 即：（1+t）+1+t=（3+4+5）解得：t=（5 分）而 MN=NC=（1+t）SMNC=（1+t）2=（1+t）2 当 t=时，SMNC=（1+t）2=43 不存在某一时刻 t，使射线 QN恰好将ABC的面积和周长同时平分 行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 （4）当 MP=MC 时（如图 1）则有：NP=NC 即 PC=2NC 4-t=2（1+t）解得：t=当 CM=CP 时（如图 2）则有：（1+t）=4-t 解得：t=当 PM=PC 时（如图 3）则有：在 RtMNP 中，PM2=MN2+PN2 而 MN=NC=（1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3 （1+t）2+（2t-3）2=（4-t）2 解得：t1=，t2=-1（舍去）当 t=，t=，t=时，PMC为等腰三角形 点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法 2.如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从 A，B，C，D出发沿 AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm 行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由 分析：以 PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点 P、N重合且点 Q、M不重合，此时 AP+ND=AD 即 2x+x2=20cm，BQ+MC BC即 x+3x20cm；或者点 Q、M重合且点P、N不重合，此时 AP+ND AD即 2x+x2 20cm，BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm所以可以根据这两种情况来求解 x 的值 以 P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点 M的左侧当点 P在点 N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点 P 在点 N的右侧时，AN=MC，BQ=PD 所以可以根据这些条件列出方程关系式 如果以 P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND AD即 2x+x2 20cm，BQ+MC BC即 x+3x20cm，AP=ND 即 2x=x2，BQ=MC 即 x=3x，x0这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形 解答：解：（1）当点 P 与点 N重合或点 Q与点 M重合时，以 PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或 BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形 当点 P与点 N重合时，由 x2+2x=20，得 x1=-1，x2=-1（舍去）因为 BQ+CM=x+3x=4（-1）20，此时点 Q与点 M不重合 所以 x=-1 符合题意 当点 Q与点 M重合时，由 x+3x=20，得 x=5 此时 DN=x2=25 20，不符合题意 故点 Q与点 M不能重合 所以所求 x 的值为-1（2）由（1）知，点 Q只能在点 M的左侧，当点 P在点 N的左侧时，由 20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得 x1=0（舍去），x2=2 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形 当点 P在点 N的右侧时，由 20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得 x1=-10（舍去），x2=4 当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形 所以当 x=2 或 x=4 时，以 P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形（3）过点 Q，M分别作 AD的垂线，垂足分别为点 E，F 由于 2xx，所以点 E一定在点 P的左侧 若以 P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 则点 F一定在点 N的右侧，且 PE=NF，即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0（舍去），x2=4 由于当 x=4 时，以 P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以 P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形 点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点 3.如图，在梯形 ABCD 中，AD BC，B=90，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点 M从点 A开始，沿边 AD向点 D运动，速度为 1cm/s；点 N从点 C开始，沿边 CB向点 B运动，速度为 2cm/s、点 M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒 （1）当 t 为何值时，四边形 MNCD 是平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形 MNCD 是等腰梯形？分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t 值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可 解答：解：（1）MD NC，当 MD=NC，即 15-t=2t，t=5 时，四边形 MNCD 是平行四边形；（2）作 DE BC，垂足为 E，则 CE=21-15=6，当 CN-MD=12 时，即 2t-（15-t）=12，t=9 时，四边形 MNCD是等腰梯形 点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容 4.如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21，动点 P从点 D出发，沿射线DA的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q从点 C出发，在线段 CB上以每秒 1 个单位长的速度向点 B运动，P、Q分别从点 D、C同时出发，当点 Q运动到点 B时，点 P随之停止运动，设运动时间为 t（s）行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载（1）设BPQ的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系；（2）当 t 为何值时，以 B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点 P作 PM BC于 M，则四边形 PDCM 为矩形，得出 PM=DC=12，由 QB=16-t，可知：s=PM QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，若 PQ=BQ，在 RtPQM中，由 PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间 t 求出；若 BP=BQ，在 RtPMB中，由 PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间 t 求出；若 PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间 t 求出 解答：解：（1）过点 P作 PM BC于 M，则四边形 PDCM 为矩形 PM=DC=12，QB=16-t，s=QBPM=（16-t）12=96-6t（0t ）（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：若 PQ=BQ，在 RtPMQ 中，PQ2=t2+122，由 PQ2=BQ2 得 t2+122=（16-t）2，解得；若 BP=BQ，在 RtPMB中，PB2=（16-2t）2+122，由 PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 无解，BPPQ 若 PB=PQ，由 PB2=PQ2得 t2+122=（16-2t）2+122 得，t2=16（不合题意，舍去）综上所述，当 或 时，以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形 点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象 5.直线 y=-34x+6 与坐标轴分别交于 A、B两点，动点 P、Q同时从 O点出发，同时到达 A点，运动停止 点Q沿线段 OA运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P沿路线 OBA运动（1）直接写出 A、B两点的坐标；（2）设点 Q的运动时间为 t（秒），OPQ的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式；（3）当 S=485 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点 M的坐标 分析：（1）分别令 y=0，x=0，即可求出 A、B的坐标；（2）因为 OA=8，OB=6，利用勾股定理可得 AB=10，进而可求出点 Q由 O到 A的时间是 8 秒，点 P 的速度是 2，从而可求出，当 P 在线段 OB上运动（或 0t 3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当 P 在线段 BA上运动（或 3t 8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作 PDOA于点 D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用 S=12OQPD，即可求出答案；（3）令 S=485，求出 t 的值，进而求出 OD、PD，即可求出 P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标 解答：解：（1）y=0，x=0，求得 A（8，0）B（0，6），（2）OA=8，OB=6，AB=10 点 Q由 O到 A的时间是 81=8（秒），点 P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）当 P在线段 OB上运动（或 Ot 3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2 当 P在线段 BA上运动（或 3t 8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做 PDOA于点 D，行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 由 PDBO=APAB，得 PD=48-6t5 S=12OQPD=-35t2+245t （3）当 S=485 时，485 1236点 P在 AB上 当 S=485 时，-35t2+245t=485 t=4 PD=48-645=245，AD=16-2 4=8 AD=82-(245)2=325 OD=8-325=85 P（85，245）M1（285，245），M2（-125，245），M3（125，-245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象 动点问题专题训练 1、如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC 厘米，点D为AB的中点（1）如果点 P 在线段 BC上以 3 厘米/秒的速度由 B点向 C点运动，同时，点 Q 在线段 CA上由 C点向A点运动 BPD与CQP是否全若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点 P与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？2、直线364yx与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点P沿路线OBA运动（1）直接写出AB、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；写出以点OPQ、为（3）当485S 时，求出点P的坐标，并直接顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标 A Q C D B P x A O Q P B y 行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 3 如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y=2x8 分别与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点，点 P（0，k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以 P 为圆心，3 为半径作P.（1）连结 PA，若 PA=PB，试判断P 与 x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当 k 为何值时，以P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？4 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO是菱形，点 A的坐标为（3，4），点 C在 x 轴的正半轴上，直线 AC交 y 轴于点 M，AB边交 y 轴于点 H （1）求直线 AC的解析式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A出发，沿折线 ABC方向以 2 个单位秒的速度向终点 C匀速运动，设PMB 的面积为 S（S0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，MPB 与BCO互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC所夹锐角的正切值 5 在 RtABC中，C=90，AC=3，AB=5点 P从点 C 出发沿 CA以每秒 1 个单位长的速度向点 A匀速运动，到达点 A后立刻以原来的速度沿 AC返回；点 Q 从点 A出发沿 AB以每秒 1 个单位长的速度向点 B匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP于点 E点 P、Q 同时出发，当点Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止 设点P、Q 运动的时间是t 秒（t0）（1）当 t=2时，AP=，点 Q 到 AC的距离是 ；A C B P Q E D 图 16 行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载（2）在点 P 从 C向 A运动的过程中，求APQ的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E从 B向 C运动的过程中，四边形 QBED能否成 为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE经过点 C 时，请直接写出 t 的值 6 如 图，在RtABC中，9 06 0AC BB，2BC 点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆 时针旋转，交AB边于点D过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为 （1）当 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此 时AD的 长为 ；当 度时，四边形EDBC是直角梯形，此 时AD的 长为 ；（2）当90 时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由 7 如图，在梯形ABCD中，354 245ADBCADDCABB，动点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（1）求BC的长（2）当MNAB时，求t的值（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形 8 如图 1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点F46ABBC，60B .（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.当点N在线段AD上时（如图 2），P M N的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图 3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满O E C B D A l O C B A（备用图）A D C B M N 行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 足要求的x的值；若不存在，请说明理由.A D E B F C 图 4（备用）A D E B F C 图 5（备用）A D E B F C 图 1 图 2 A D E B F C P N M 图 3 A D E B F C P N M（第 25 题）行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 9 如图，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由 1 数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD是正方形，点 E是边 BC的中点90AEF，且 EF交正方形外角DCG的平行线 CF于点 F，求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证AMEECF，所以AEEF 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E是边 BC的中点”改为“点 E是边 BC上（除 B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 （2）小华提出：如图 3，点 E是 BC的延长线上（除 C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 11 已知一个直角三角形纸片OAB，其中9024AOBOAOB，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D（）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OBx，OCy，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 x y B O A x y B O A 行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 （）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使BDOB，求此时点C的坐标 12 问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN 当12CECD时，求AMBN的值 类比归纳 在图（1）中，若13CECD，则AMBN的值等于 ；若14CECD，则AMBN的值等于 ；若1CECDn（n为整数），则AMBN的值等于 （用含n的式子表示）联系拓广 如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点CD，重合），压平后得到折痕MN，设111ABCEmBCmCDn，则AMBN的值等于 （用含mn，的式子表示）x y B O A A D E F M 图（1）A B C D E F M N 行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 1 解：（1）1t 秒，3 13BPCQ 厘米，10AB厘米，点D为AB的中点，5BD 厘米 又8PCBCBPBC，厘米，8 35PC 厘米，PCBD 又ABAC，BC ，BPDCQP PQvv，BPCQ，又BPDCQP，BC ，则45BPPCCQBD，点P，点Q运动的时间433BPt 秒，515443QCQvt厘米/秒（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532 104xx，解得803x 秒点P共运动了803803 厘米802 2824 ，点P、点Q在AB边上相遇，经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇 2 解（1）A（8，0）B（0，6）（2）86OAOB，10AB 点Q由O到A的时间是881（秒）点P的速度是61028（单位/秒）当P在线段OB上运动（或 03t）时，2OQtOPt，2St 当P在线段BA上运动（或38t）时，6102162OQtAPtt，,如图，作PDOA于点D，由PDAPBOAB，得4865tPD，21324255SOQPDtt （3）8 2455P，1238 2412241224555555IMM，3解：（1）P与 x 轴相切.行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 直线 y=2x8 与 x 轴交于 A（4，0），与 y 轴交于 B（0，8），OA=4，OB=8.由题意，OP=k，PB=PA=8+k.在 RtAOP中，k2+42=(8+k)2，k=3，OP等于P的半径，P与 x 轴相切.（2）设P 与直线 l 交于 C，D 两点，连结 PC，PD 当圆心 P在线段 OB 上时,作 PECD于 E.PCD为正三角形，DE=12CD=32，PD=3，PE=3 32.AOB=PEB=90，ABO=PBE，AOBPEB，3 342,=4 5AOPEABPBPB即，3 15,2PB 3 1582POBOPB，3 15(0,8)2P，3 1582k.当圆心 P 在线段 OB 延长线上时,同理可得 P(0,3 1528)，k=3 1528，当 k=3 1528 或 k=3 1528 时，以P 与直线 l 的两个交点和圆心 P为顶点的三角形是正三角形.NGCDBC 同理，四边形ABNG也是平行四边形54AGBN 90MNBEEBCBNM，90NGBCMNGBNMEBCMNG，在BCE与NGM中 9 0E B CM N GB CN GCN G M，BCENGMECMG，分 114AMAGMGAM 5，=4 6 分 15AMBN 7 分 类比归纳 25（或410）；917；2211nn 10 分 联系拓广 2222211n mnn m 12 分 行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 解：（1）1，85；（2）作QFAC于点F，如图 3，AQ=CP=t，3APt 由AQF ABC，22534BC，得45QFt45QFt 14(3)25Stt，即22655Stt B Q E 行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载（3）能 当 DEQB时，如图 4 DEPQ，PQQB，四边形 QBED是直角梯形 此时AQP=90 由APQ ABC，得AQAPACAB，即335tt 解得98t 如图 5，当 PQBC时，DEBC，四边形 QBED是直角梯形 此时APQ=90 由AQP ABC，得 AQAPABAC，即353tt 解得158t （4）52t 或4514t 点 P由 C向 A运动，DE经过点 C 连接 QC，作 QGBC于点G，如图 6 PCt，222QCQGCG2234(5)4(5)55tt 由22PCQC，得22234(5)4(5)55ttt，解得52t 点 P由 A向 C运动，DE经过点 C，如图 7 22234(6)(5)4(5)55ttt，4514t】解（1）30，1；60，1.5；（2）当=900时，四边形EDBC是菱形.=ACB=900，BC/ED.CE/AB,四边形EDBC是平行四边形.在 RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2,A=300.AB=4,AC=23.AO=12AC=3.在 RtAOD中，A=300，AD=2.BD=2.BD=BC.又四边形EDBC是平行四边形，四边形EDBC是菱形 DHBC于H，则7解：（1）如图，过A、D分别作AKBC于K，四边形ADHK是矩形 3KHAD 在RtABK中，2sin454 242AKAB 2cos 454 242BKAB 在RtCDH中，由勾股定理得，22543HC 43 310BCBKKHHC A C B P Q E D 图 5 A C(E)B P Q D 图 6 G A C(E)B P Q D 图 7 G A D C B M N A D A D N 行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 （2）如图，过D作DGAB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形 MNABMNDG3BGAD1037GC 由题意知，当M、N运动到t秒时，102CNtCMt，DGMNNMCDGC又CCMNCGDC CNCMCDCG即10257tt解得，5017t （3）分三种情况讨论：当NCMC时，如图，即102tt 103t 当MNNC时，如图，过N作NEMC于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得11102522ECMCtt 在RtCEN中，5cosECtcNCt又在RtDHC中，3cos5CHcCD 535tt解得258t 解法二：90CCDHCNEC ，NECDHCNCECDCHC 即553tt258t 当MNMC时，如图，过M作MFCN于F点.1122FCNCt 解法一：（方法同中解法一）132cos1025tFCCMCt解得6017t 解法二：90CCMFCDHC ，MFCDHCFCMCHCDC 即1102235tt6017t A D C B M N（图）（图）A D C B M N H E（图）A D C B H N M F 行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 综上所述，当103t、258t 或6017t 时，MNC为等腰三角形 8解（1）如图 1，过点E作EGBC于点G 1 分 E为AB的中点，122BEAB 在RtEBG中，60B ，30BEG 22112132BGBEEG，即点E到BC的距离为3 （2）当点N在线段AD上运动时，PMN的形状不发生改变PMEFEGEF，PMEG EFBC，EPGM，3PMEG同理4MNAB 如图 2，过点P作PHMN于H，MNAB，6030NMCBPMH ，1322PHPM 3cos302MHPM 则35422NHMNMH 在RtPNH中，222253722PNNHPH PMN的周长=374PMPNMN 当点N在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变，但MNC恒为等边三角形当PMPN时，如图 3，作PRMN于R，则MRNR 类似，32MR 23MNMR MNC是等边三角形，3MCMN 此时，6 1 32xEPGMBCBGMC 当MPMN时，如图 4，这时3MCMNMP 此时，6 1353xEPGM 当NPNM时，如图 5，30NPMPMN 则120PMN，又60MNC ，180PNMMNC 因此点P与F重合，PMC为直角三角形tan301MCPM 此时，6 1 14xEPGM 图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B F（P）C M N G G R G 图 1 A D E B F C G 图 2 A D E B F C P N M G H 行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分形解得即当时四边形平行为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰易程度适中如图中点为边上的一个动点过点作直线设交的外角平分线于学习好资料 欢迎下载 综上所述，当2x 或 4 或 53时，PMN为等腰三角形 解：（1）Q（1，0）点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度 （2）过点B作 BFy 轴于点F，BEx轴于点E，则BF8，4OFBE 1046AF 在 RtAFB中，228610AB 3 分 过点C作CGx轴于点G，与FB的延长线交于点H 90,ABCABBC ABF BCH 6