2023年圆锥曲线典型例题精讲-优秀学生必看.pdf
学习必备 欢迎下载 x y A B C D F0 O F 第 22 题图 一、设椭圆1的中心和抛物线2的顶点均为原点O，1、2的焦点均在x轴上，过2的焦点F作直线l，与2交于A、B两点，在1、2上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求1，2的标准方程；（2）若l与1交于C、D两点，0F为1的左焦点，求00F ABF CDSS的最小值；（3）点PQ、是1上的两点，且OPOQ，求证：2211OPOQ 为定值；反之，当2211OPOQ为此定值时，OPOQ是否成立？请说明理由.解：（1）3-2,03-2，在椭圆上，3-2 34-4，在抛物线上，2211,43xy：2：24.yx（4 分）（2）0Fl设到直线 的距离为d,00F ABF CDSS=1212dABABCDd CD.F(1,0)是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，当直线l的斜率存在时，x 3 2 4 3 y 2 3 0 4 32 学习必备 欢迎下载 设l：(1)yk x,1122A(x,(x,yBy设），），3344(x,(x,yyC），D）联立方程24(1)yxyk x，得2222(24)0k xkxk，0k 时0恒成立.2222221424 1161611kkABkxxkkk（也可用焦半径公式得：21224 12kABxxk ）（5 分）联立方程22143(1)xyyk x，得2222(3+4)84120kxk xk，0恒成立.222223422212 1144 14411(34)34kkCDkxxkkk,（6 分）00F ABF CDSS=22222224 13414433312 134kkkkkkk.（8 分）当直线l的斜率不存在时，l：1x，此时，4AB，3CD，00F ABF CDSS=43.（9 分）所以，00F ABF CDSS的最小值为43.（10 分）（3）证明：若 P、Q 分别为长轴和短轴的端点，则2211OPOQ=712.（11 分）若P、Q都不为长轴和短轴的端点，设1:;:.OPykxOQyxk 那么(x,(x,PPQQyyP），Q）联立方程22143xyykx，解得222221212,4343PPkxykk；（12 分）同理，联立方程221431xyyxk，解得222221212,3434QQkxykk；222222222211117771212121212121234343434kkkkOPOQkkkk（13 分）反之，对于1上的任意两点PQ、，当2211712OPOQ时，反之当为此定值时是否成立请说明理由解在椭圆上在抛物线上分设到直直线的斜率不存在时此时分所以的最小值为分证明若分别为长轴和短轴定值时不成立分反之的方法二如果有且不在坐标轴上作关于坐标轴对称学习必备 欢迎下载 设1:OPyk x，2:OQyk x，易得222122111212,4343PPkxykk；222222221212,4343QQkxykk，由2211712OPOQ得22122212434371212121212kkkk，即222222221212121287767(1)k kkkk kkk，亦即121k k ，（15 分）所以当2211OPOQ为定值712时，OPOQ不成立 （16 分）“反之”的方法二：如果有OPOQ，且OQ不在坐标轴上，作OQ关于坐标轴对称的射线与1交 于Q，OQOQ，显 然，OPOQ与OPOQ不 可 能 同 时 成立（16 分）二.（2014 浦东二模理 22）（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分，第（3）小题满分 6 分.已知中心在原点O，左焦点为1(1,0)F 的椭圆1C的左顶点为A，上顶点为B，1F到直线AB的距离为7|7OB.(1)求椭圆1C的方程；(2)过点(3,0)P作直线l，使其交椭圆1C于R、S两点，交直线1x 于Q点.问：是否存在这样的直线l，使|PQ是|PR、|PS的等比中项？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.(3)若椭圆1C方程为：22221xymn（0mn），椭圆2C方程为：2222xymn（0，且1），则称椭圆2C是椭圆1C的倍相似椭圆.已知2C是椭圆1C的3倍相似椭圆，若直线 ykxb与两椭圆1C、2C交于四点(依次为P、Q、R、S)，且2PSRSQS，试研反之当为此定值时是否成立请说明理由解在椭圆上在抛物线上分设到直直线的斜率不存在时此时分所以的最小值为分证明若分别为长轴和短轴定值时不成立分反之的方法二如果有且不在坐标轴上作关于坐标轴对称学习必备 欢迎下载 x y Rx S Q P O 究动点(,)E k b的轨迹方程.解：(1)设椭圆1C方程为：22221xyab（0ab），所以直线AB方程为：1xyab 1 分 1(1,0)F 到直线AB距离为22|77babdbab2227(1)aba 2 分 又221ba，解得：2a，3b 3 分 故：椭圆1C方程为：22143xy.4 分(2)当直线l与x轴重合时，|2PQ，而|1 55PRPS，所以2|PQPRPS 若 存 在 直 线l，使|PQ是|PR、|PS的 等 比 中 项，则 可 设 直 线l方 程 为：3xmy 5 分 代人椭圆1C的方程，得：223(3)412myy即：22(34)18150mymy 222(18)4 15(34)48(35)mmm 记11(,)R x y，22(,)S xy，00(,)Q xy 1221534y ym，02ym 7 分 2|PQPRPS，即|PRPQPQPS0102yyyy，2120y yy 2215434mm，解得：2163m，符合0，所以4 33m 9 分 故存在直线l，使|PQ是|PR、|PS的等比中项，其方程为 4 333xy，即：3(3)4yx 10 分 反之当为此定值时是否成立请说明理由解在椭圆上在抛物线上分设到直直线的斜率不存在时此时分所以的最小值为分证明若分别为长轴和短轴定值时不成立分反之的方法二如果有且不在坐标轴上作关于坐标轴对称学习必备 欢迎下载 (3)椭圆1C的3倍相似椭圆2C的方程为：221129xy 11 分 设Q、R、P、S各点坐标依次为11(,)x y、22(,)xy、33(,)xy、44(,)xy 将ykxb代人椭圆1C方程，得：222(34)84120kxkbxb 222221(8)4(34)(412)48(43)0kbkbkb （*）此时：122834kbxxk，212241234bx xk 22212121224 3(43)|()434kbxxxxx xk 13 分 将ykxb代人椭圆2C方程，得：222(34)84360kxkbxb 342834kbxxk，234243634bx xk223424 3(129)|34kbxxk 14 分 1234xxxx，可得线段PS、QR中点相同，所以|PQRS 由2PSRSQSPQQR，所以|3|PSQR，可得：3412|3|xxxx 2222224 3(129)4 3(43)33434kbkbkk 221294kb（满足(*)式）.故：动点(,)E k b的轨迹方程为2244193bk.16 分 反之当为此定值时是否成立请说明理由解在椭圆上在抛物线上分设到直直线的斜率不存在时此时分所以的最小值为分证明若分别为长轴和短轴定值时不成立分反之的方法二如果有且不在坐标轴上作关于坐标轴对称学习必备 欢迎下载 反之当为此定值时是否成立请说明理由解在椭圆上在抛物线上分设到直直线的斜率不存在时此时分所以的最小值为分证明若分别为长轴和短轴定值时不成立分反之的方法二如果有且不在坐标轴上作关于坐标轴对称
