2023年多元函数微分学复习题及超详细解析答案.pdf
精品资料 欢迎下载 第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限limxyx yxy00242=（B）(A)等于 0；(B)不存在；(C)等于 12；(D)存在且不等于 0 或12（提示：令22yk x）2、设函数f x yxyyxxyxy(,)sinsin11000，则极限lim(,)xyf x y00=（C）(A)不存在；(B)等于 1；(C)等于 0；(D)等于 2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）3、设函数f x yxyxyxyxy(,)222222000，则(,)f x y （A）(A)处处连续；(B)处处有极限，但不连续；(C)仅在（0,0）点连续；(D)除（0,0）点外处处连续（提示：在220 xy，(,)f x y处处连续；在0,0 xy，令ykx，22222000limlim0(0,0)1xxykxkxfxk xk ，故在220 xy，函数亦连续。所以，(,)f x y在整个定义域内处处连续。）4、函数zf x y(,)在点(,)xy00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （A）(A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件 5、设uyxarctan，则ux=（B）(A)xxy22；(B)yxy22；(C)yxy22；(D)xxy22 6、设f x yyx(,)arcsin，则fx(,)2 1 （A）（A）14；（B）14；（C）12；（D）12 精品资料 欢迎下载 7、若)ln(yxz，则yzyxzx （C）（A）yx；（B）yx；（C）21；（D）21 8、设yxzarctan，vux，vuy，则vuzz （C）（A）22vuvu；（B）22vuuv；（C）22vuvu；（D）22vuuv 9、若f xxxx fxxxx(,),(,)232612，则fxxy(,)2=（D）(A)x 32；(B)x 32；(C)21x；(D)21x 10、设zyx，则()(,)zxzy2 1 （A ）(A)2；(B)1+ln2；(C)0；(D)1 11、设函数zxy 122，则点 (,)0 0是函数 z的 （B）（A）极大值点但非最大值点；（B）极大值点且是最大值点；（C）极小值点但非最小值点；（D）极小值点且是最小值点。12、设函数zf x y(,)具有二阶连续偏导数，在P xy000(,)处，有 （C ）2)()(,0)()(,0)(,0)(000000PfPfPfPfPfPfyxxyyyxxyx，则（A）点P0是函数z的极大值点；（B）点P0是函数z的极小值点；（C）点P0非函数z的极值点；（D）条件不够，无法判定。二、填空题 1、极限limsin()xyxyx0=。答：2、极限limln()xyxyexy01222=。答：ln2 3、函数zxyln()的定义域为 。答：xy 1 4、函数zxyarcsin的定义域为 。答：11x，y 0 5、设函数f x yxyxyyx(,)ln22，则f kx ky(,)=。答：kf x y2(,)有极限但不连续除点外处处连续提示在处处连续在令故在函数亦连续所精品资料欢迎下载若则设则若则设则设函数则点是函数的极大值点但非非函数的极值点条件不够无法判定二填空题极限答极限答函数的定义域精品资料 欢迎下载 6、设函数f x yxyxy(,)，则f xy xy(,)=。答：222xyx（22()()(,)()()2xy xyxyf xy xyxyxyx）7、设zxyysin()3，则zxxy21_ 。答：3cos5 8、函数zz x y(,)由方程xyzexy z ()所确定，则22zx 0 9、设uxxy ln，则2ux y=_。答：1y 9、函数zxyxy2346122的驻点是_。答：（1，1）三、计算题 1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1)221zxy (2)ln()zxy(3)1ln()zxy (4)ln(1)zxy 解：(1)要使函数221zxy 有意义，必须有2210 xy，即有221xy.故所求函数的定义域为22(,)|1Dx yxy,图形为图 3.1(2)要 使 函 数l n()zxy有 意 义，必 须 有0 xy.故 所 有 函 数 的 定 义 域 为(,)|0Dx yxy，图形为图 3.2(3)要使函数1ln()zxy有意义，必须有ln()0 xy，即0 xy 且1xy.故该函数的定义域为(,)|01Dx yxyxy ，图形为图 3.3 (4)要使函数ln(1)zxy有意义，必须有10 xy .故该函数的定义域为(,)|1Dx yxy，图形为图 3.4 O1xy O1xyx+y=0 有极限但不连续除点外处处连续提示在处处连续在令故在函数亦连续所精品资料欢迎下载若则设则若则设则设函数则点是函数的极大值点但非非函数的极值点条件不够无法判定二填空题极限答极限答函数的定义域精品资料 欢迎下载 图 3.1 图 3.2 O1xyx+y=0 x+y=11 O1xyy=1/x1-1-1 图 3.3 图 3.4 2、求极限limxyxxyexy00416。解：limxyxxyexy00416lim()xyxxyexyxy00416=-8 3、设函数zz x y(,)由方程xy zxyz2 所确定，求zy。答：2112xyzxy 4、设zyxyxln()，求zxzy,。解：zyyxyxyxxxlnln1 zxyxyyyyxx 11ln()四、应用题。1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022yxyxyx元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(yxL表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有 利润目标函数)33(01.032400)910(),(22yxyxyxyxyxL)0,0(,400)33(01.06822yxyxyxyx，令0)6(01.060)6(01.08yxLyxLyx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0yyxyxxLCLBLA，得 0105.332BAC.得极大值320)80,120(L.根据实际情况，此极大值就是最大值故生产 120 单位产品甲与80 单位产品乙时所得利润最大 320 元.有极限但不连续除点外处处连续提示在处处连续在令故在函数亦连续所精品资料欢迎下载若则设则若则设则设函数则点是函数的极大值点但非非函数的极值点条件不够无法判定二填空题极限答极限答函数的定义域精品资料 欢迎下载 五、证明题 1、设)11(yxez 求证zyzyxzx222 证明：因为2)11(1xexzyx 2)11(1yeyzyx 所以 zeeyzyxzxyxyx2)11()11(22 2 设 2sin(x 2y 3z)x 2y 3z 证明1yzxz 证明：设 F(x y z)2sin(x 2y 3z)x 2y 3z 则 Fx 2cos(x 2y 3z)1 Fy 2cos(x 2y 3z)2 2 2Fx Fz 2cos(x 2y 3z)(3)33Fx 313xxzxFFFFxz 3232xxzyFFFFyz 于是 13231zzzxFFFFyzxz 3、设 x x(y z)y y(x z)z z(x y)都是由方程 F(x y z)0 所确定的具有连续偏导数的函数 证明1xzzyyx 解：因为 xyFFyx yzFFzy zxFFxz 所以 1)()()(zxyzxyFFFFFFxzzyyx 有极限但不连续除点外处处连续提示在处处连续在令故在函数亦连续所精品资料欢迎下载若则设则若则设则设函数则点是函数的极大值点但非非函数的极值点条件不够无法判定二填空题极限答极限答函数的定义域
