2023年复变函数论作业及超详细解析答案.pdf
精品资料 欢迎下载 习题 1 第一章 复数与复变函数 1.1313222zi 求|z|，Argz 解：1232122z Argz=arctan3212+2k=23k,2,1,0k 2已知211iz,2zi3,试用指数形式表示2121zzzz及 解：211izie4 2zi3ie62 所以21zzie62ie4ie122 21zziiiieeee125)64(6421212 3 解二项方程440za )0(a 解 由440za得44za 则二次方程的根为 41kwa （k=0,1,2,3）=24kiea （k=0,1,2,3）0w 4iea2a(1+i)23441(1)2iiaweaeai 精品资料 欢迎下载 542(1)2iaweai 743(1)2iaweai 4.设1z、2z是两个复数，求证：),Re(2|212221221zzzzzz 证明：2121221zzzzzz 2122212121222112212221Re2zzzzzzzzzzzzzzzz 5 设123z,z,z三点适合条件：1230zzz 及1231zzz 试证明123z,z,z是一个内接于单位圆周1z 的正三角形的顶点。证明：设111zxiy，222zxiy，333zxiy 因为1230zzz 1230 xxx，1230yyy 123xxx ，123yyy 又因为1231zzz 三点123z,z,z在单位圆周上，且有222222112233xyxyxy 而 2222112323xyxxyy 2223231xxyy 232321x xy y 同理)(22121yyxx 1 3132323221x xy yx xy y 可知 222222121223231313xxyyxxyyxxyy 证明设因为又因为三点在单位圆周上且有而同理可知精品资料欢迎下载即为如图阴影所示不包括上下边界不是区域且证明平面上的直线方程可得试证复平面上三点共直线证明因为实数所以三点共直线求下面方程给精品资料 欢迎下载 0 1 2 3 X y 即122313zzzzzz 123z,z,z是一个内接于单位圆周1z 的正三角形的顶点得证。6下列关系表示的点 z 的轨迹是什么图形？他是不是区域？（1）111zz 令zxiy,由11zz 得 2211zz即 2211xx,所以0 x,故以虚轴为左界的右半平面;是区域（2）0arg(1)4z 且2Re3z 解:由0arg(1)4z 且2Re3z 得:0arctan14yx且23x 即为如图阴影所示（不包括上下边界）;不是区域。7.证明：z 平面上的直线方程可以写成azazc(a 是非零复常数，c 是实常数)证明：设直线方程的一般形式为：ax+by+c=0(a,b,c均是实常数，a,b 不全为零)因为：x=2zz,y=2zz代入简化得：11022abi zabi zc 令102abi 得zzc 反之（逆推可得）设有方程zzc（复数0，c 是常数）用zxiy 代入上式，且令12abi化简即得。8.试证：复平面上三点 a+bi,0,1abi 共直线。证明：因为1()0()abiabiabi =221ab（实数）所以三点共直线。9求下面方程给出的曲线 证明设因为又因为三点在单位圆周上且有而同理可知精品资料欢迎下载即为如图阴影所示不包括上下边界不是区域且证明平面上的直线方程可得试证复平面上三点共直线证明因为实数所以三点共直线求下面方程给精品资料 欢迎下载 z=titasincos 解:令 z=iyx=titasincos 得 x=ta cos,y=tbsin 则有12222byax,故曲线为一椭圆.10函数 w=z1将 z 平面上曲线变成 w平面上的什么曲线ivuwiyxz,?（1）2x+2y=4 解:由于2x+2y=2z=4,又由于 w=z1=iyx 1=22yxiyx=iyx 41 所以4,4yvxu 则411612222yxvu 这表示在 w平面上以原点为圆心,21为半径的一个圆周.（2）1x 解:将1x代入变换uiv=1xiy,得uiv=11iy=211iyy 于是u=211y,21yvy,且22222211.(1)1yuvuyy 故220uuv 解得2211()24uv 这表示w平面上的一个以(1,02)为圆心,12为半径的圆周.（3）221(1)xy 解：因为 221(1)xy 即 2220 xyx 即.0z zzz 将 1zw 及 1zw代入得：证明设因为又因为三点在单位圆周上且有而同理可知精品资料欢迎下载即为如图阴影所示不包括上下边界不是区域且证明平面上的直线方程可得试证复平面上三点共直线证明因为实数所以三点共直线求下面方程给精品资料 欢迎下载 1 111.0wwww 即 1.www ww w 因此 1ww 12u(v可任意取值)表示w平面上平行于虚轴的直线。11.求证：()arg(0)f zz z在全平面除去原点和负实轴的区域上连续，在负实轴上不连续.证 设0z为全平面除去原点和负实轴的区域上任意一点.考虑充分小的正数,使角形区域00argargzz 与负实轴不相交,从图上立即可以看出,以0z为中心,0z到射线0arg z的距离为半径所作的圆盘,一定落在上述角形区域内，这就是说,只要取00sinz.那么当0zz时就有0argargzz.因此arg z在0z为连续.再由0z的任意性,知()argf zz在所述区域内为连续.设1x是负实轴上任意一点,则 1Im0limargzzxz 及 1I m0l i m a r gzzxz 故arg z在负实轴上为不连续.（如下图）证明设因为又因为三点在单位圆周上且有而同理可知精品资料欢迎下载即为如图阴影所示不包括上下边界不是区域且证明平面上的直线方程可得试证复平面上三点共直线证明因为实数所以三点共直线求下面方程给精品资料 欢迎下载 12.命函数 f z 22000 xyzxyz 试证：f z 在原点不连续。证明：f z 22000 xyzxyz 当点zxyi 沿ykx趋于0z 时，kkzf1 当k取不同值时，f z趋于不同的数 f z在原点处不连续。13.已知流体在某点 M的速度 v=-1-i，求其大小和方向。解 大小：|v|=1 1=2；方向：arg v=arctan 1314 。14.412 cossin244iiie；21cossin22iie；011 cos0sin0iie；证明设因为又因为三点在单位圆周上且有而同理可知精品资料欢迎下载即为如图阴影所示不包括上下边界不是区域且证明平面上的直线方程可得试证复平面上三点共直线证明因为实数所以三点共直线求下面方程给精品资料 欢迎下载 22 cossin2iie；233 cossin322iie；还有22,1,1ik iiieee （k为整数）15.将复数 1-cos +isin 化为指数形式。解 2=2sin +2isin cos 222原式=2sin2sincos22i =2sin2cossin2222i =2sin2e22i 16.对于复数.，若=0，则.至少有一为零.试证之。证 若=0，则必|=0，因而|=0.由实数域中的对应结果知|.|至少有一为零.所以.至少有一为零.17.计算38.解 因-8=-8(cosisin),故 3(8)k=38(2cos3k+2sin3ki).(k=0,1,2)当 k=0 时,30(8)=38(cossin)33i =132()13;22ii 当 k=1时,31(8)2(cossin)2;i 当 k=2 时,3255(8)2(cossin)2(cossin)13.3333iii ，18.设1z及2z是两个复数，试证 212221221Re2zzzzzz并应用此等式证明三角不等式(1.2)。证：证明设因为又因为三点在单位圆周上且有而同理可知精品资料欢迎下载即为如图阴影所示不包括上下边界不是区域且证明平面上的直线方程可得试证复平面上三点共直线证明因为实数所以三点共直线求下面方程给精品资料 欢迎下载 212221212122212121221121212121221Re2zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 其次，由所证等式以及 212121Re2zzzzzz就可导出三角不等式(1.2)。19.连接1z及2z两点的线段的参数方程为 121zzt zz 01t 过 1z及2z两点的直线的参数方程为 121zzt zz t 由此可知,三点1z 2z 3z共线的充要条件为 3121zztzz(t为一非零实数)3121Im0zzzz 20求证：三个复数1z，2z，3z成为一个等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式 211332232221zzzzzzzzz。证：321zzz是等边三角形的充要条件为：向量21zz绕1z旋转3或3即得向量31zz，也就是 iezzzz31213，即 izzzz23211213，即 izzzz23211213，证明设因为又因为三点在单位圆周上且有而同理可知精品资料欢迎下载即为如图阴影所示不包括上下边界不是区域且证明平面上的直线方程可得试证复平面上三点共直线证明因为实数所以三点共直线求下面方程给精品资料 欢迎下载 两端平方化简，即得 211332232221zzzzzzzzz。21.试证：点集 E的边界E是闭集。即证 EE。证：设 z 为的聚点。取 z 的任意邻域 zN，则存在 zz 0使得 zNz0且Ez0。在 zN内能画出以0z为心，充分小半径的圆。这时由Ez0可见，在此圆内属于E的点和不属于 E的点都存在。于是，在 zN内属于 E的点和不属于 E的点都存在，故Ez。因此E是闭集。22.设有函数=z2,试问它把 z 平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？（1）以原点为心，2 为半径，在第一象限里的圆弧；（2）倾角3的直线（可以看成两条射线arg3z及arg3z）；（3）双曲线 x2-y2=4.解 设z=(cossin)xiyri,uivR (cossini),则 2Rr，2，由此，（1）当 z 的模为 2，辐角由 0 变至2时，对应的的模为 4，辐角由 0 变至.故在平面上的对应图形为：以原点为心，4 为半径，在u轴上方的半圆周.（2）倾角3的直线在平面上对应的图形为射线23.（3）因2z222xyxyi，故22uxy，所以z平面上的双曲线224xy在平面上的像为直线4u.证明设因为又因为三点在单位圆周上且有而同理可知精品资料欢迎下载即为如图阴影所示不包括上下边界不是区域且证明平面上的直线方程可得试证复平面上三点共直线证明因为实数所以三点共直线求下面方程给
