2023年多元函数的极限与连续习题.pdf
精品资料 欢迎下载 多元函数的极限与连续习题 1.用极限定义证明:14)23(lim12yxyx。2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）yxyxyxf),(；(2)yxyxyxf1sin1sin)(),(；(3)yxyxyxf233),(；(4)xyyxf1sin),(。3.求极限 （1）220)(lim220yxxyxy；（2）11lim222200yxyxyx；（3）22001sin)(limyxyxyx；（4）222200)sin(limyxyxyx。4.试证明函数00)1ln(),(xyxxxyyxf在其定义域上是连续的。精品资料 欢迎下载 1.用极限定义证明:14)23(lim212yxyx。因为1,2yx，不妨设0|1|,0|2|yx，有54|2|42|2|xxx，|22123|1423|22yxyx|1|2|2|15|1|2|2|2|3yxyxx|1|2|15yx 0，要使不等式|1|2|15|1423|2yxyx成立 取 1,30min，于是 0，0 1,30min，),(yx：|1|,|2|yx 且)1,2(),(yx，有|1423|2yx，即证。2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）yxyxyxf),(；1limlim00yxyxyx，1limlim00yxyxxy，二重极限不存在。或 0lim0yxyxxyx，31lim20yxyxxyx。不等式成立取于是且有即证讨论下列函数在处的两个累次极限并讨论在下载不存在求极限又精品资料欢迎下载而故令时精品资料欢迎下载试证而取当时于是无论当时都有在处当时精品资料欢迎下载当时注意到当时精品资料 欢迎下载(2)yxyxyxf1sin1sin)(),(；|1sin1sin)(|0yxyxyx 可以证明 0|)|(|lim00yxyx 所以 0),(lim00yxfyx。当kx1，0y时，yxyxyxf1sin1sin)(),(极限不存在，因此 yxyxyx1sin1sin)(limlim00不存在，同理 yxyxxy1sin1sin)(limlim00不存在。(3)yxyxyxf233),(；02lim),(lim2300 xxxyxfxxyx，当 P(x,y)沿着32xxy趋于（0,0）时有 1)(lim),(lim23232330320 xxxxxxyxfxxxyx，所以),(lim00yxfyx不存在；0),(limlim00yxfyx，0),(limlim00yxfxy。不等式成立取于是且有即证讨论下列函数在处的两个累次极限并讨论在下载不存在求极限又精品资料欢迎下载而故令时精品资料欢迎下载试证而取当时于是无论当时都有在处当时精品资料欢迎下载当时注意到当时精品资料 欢迎下载 (4)xyyxf1sin),(|1sin|0yxy 0),(lim00yxfyx，01sinlimlim00 xyyx，xyxy1sinlimlim00 不存在。3.求极限 （1）220)(lim220yxxyxy；|)ln(|4)(|)ln(|0222222222yxyxyxyx，又 0ln4lim)ln(4)(lim202222200ttyxyxtyx，1)(lim)22ln(22)0,0(),(lim222200yxyxyxyxyxeyx。（2）11lim222200yxyxyx；211)11)(lim11lim22222200222200yxyxyxyxyxyxyx。不等式成立取于是且有即证讨论下列函数在处的两个累次极限并讨论在下载不存在求极限又精品资料欢迎下载而故令时精品资料欢迎下载试证而取当时于是无论当时都有在处当时精品资料欢迎下载当时注意到当时精品资料 欢迎下载 （3）22001sin)(limyxyxyx；|1sin)(|22yxyxyx，而 0)(lim00yxyx 故 01sin)(lim2200yxyxyx。（4）222200)sin(limyxyxyx。令cosrx，sinry，)0,0(),(yx时，0r，1sinlim)sin(lim220222200rryxyxryx。不等式成立取于是且有即证讨论下列函数在处的两个累次极限并讨论在下载不存在求极限又精品资料欢迎下载而故令时精品资料欢迎下载试证而取当时于是无论当时都有在处当时精品资料欢迎下载当时注意到当时精品资料 欢迎下载 4.试证明函数00)1ln(),(xyxxxyyxf在其定义域上是连续的。证明：显然 f(x,y)的定义域是 xy-1.当0 x时，f(x,y)是连续的，只需证明其作为二元函数在 y 轴的每一点上连续。以下分两种情况讨论。（1）在原点（0,0）处 f(0,0)=0,当0 x时 0)1ln(00)1ln(),(1yxyyyxxyyxfxy,由于 1)1ln(lim100 xyyxxy 不妨设 1|1)1ln(|1xyxy，2|)1ln(|1xyxy，从而 0，取2，当|0,|0yx时，|)1ln(|0)1ln(|1xyxyyxxy|2|)1ln(|1yxyyxy，于是，无论0,0 xx，当|,|yx时，都有 )0,0(0),(lim00fyxfyx（2）在),0(y处。（)0y 当0 x时，|)1ln(|),0(),(|1yxyyyfyxfxy|)()1)1(ln(|1yyxyyxy|1)1ln(|1yyxyyxy 不等式成立取于是且有即证讨论下列函数在处的两个累次极限并讨论在下载不存在求极限又精品资料欢迎下载而故令时精品资料欢迎下载试证而取当时于是无论当时都有在处当时精品资料欢迎下载当时注意到当时精品资料 欢迎下载 当 x=0 时,|),0(),(|yyyfyxf,注意到，当0y时 1)1ln(lim10 xyyyxxy，于是，无论0,0 xx，当0y时 0|),0(),(|lim0yfyxfyyx，即 f(x,y)在在),0(y处连续，综上，f(x,y)在其定义域上连续。不等式成立取于是且有即证讨论下列函数在处的两个累次极限并讨论在下载不存在求极限又精品资料欢迎下载而故令时精品资料欢迎下载试证而取当时于是无论当时都有在处当时精品资料欢迎下载当时注意到当时
