2023年基本不等式精品讲义第一课时.pdf
学习必备 欢迎下载 课题:3.4 基本不等式2abab 第 1 课时 授课类型：新授课【学习目标】1知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2abab的证明过程；【教学难点】基本不等式2abab等号成立条件【板书设计】课题:3.4 基本不等式2abab（第 1 课时）1.课题导入 基本不等式2abab的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课 1 问题探究探究图形中的不等关系。2总结结论：3思考证明：你能给出它的证明吗？补充例题 3.随堂练习 4.课时小结 5、能力提高 学习必备 欢迎下载【教学过程】1.课题导入 基本不等式2abab的几何背景：如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课 1问题探究探究图形中的不等关系。将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为22ab。这样，4 个直角三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积为22ab。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222abab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有222abab。2 总结结论：一般的，如果)(2R,22号时取当且仅当那么baabbaba 3思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2baabba 当22,()0,()0,abababab时当时 所以，0)(2 ba，即.2)(22abba 象基本不等式情态与价值通过本节的学习体会数学来源于生活提高学习从不同角度探索不等式的证过程教学难点基本不等式板书设计等号成立充例题何背景如图是在北京召开的第界国际数学家大会的会标会标是根学习必备 欢迎下载 41）从几何图形的面积关系认识基本不等式2abab 特别的，如果 a0,b0,我们用分别代替 a、b，可得2abab，通常我们把上式写作：(a0,b0)2abab 2）从不等式的性质推导基本不等式2abab 用分析法证明：要证 2abab (1)只要证 a+b (2)要证（2），只要证 a+b-0 （3）要证（3），只要证 （-）2 （4）显然，（4）是成立的。当且仅当 a=b 时，（4）中的等号成立。3）理解基本不等式2abab的几何意义 探究：课本第 110 页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点 C是 AB上的一点，AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB的弦 DE，连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式2abab的几何解释吗？易证tADtDB，那么D2AB 即Dab.这个圆的半径为2ba，显然，它大于或等于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.因此：基本不等式2abab几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2ba 看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2ba 为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.补充例题 例 1 已知x、y都是正数，求证：(1)yxxy2；象基本不等式情态与价值通过本节的学习体会数学来源于生活提高学习从不同角度探索不等式的证过程教学难点基本不等式板书设计等号成立充例题何背景如图是在北京召开的第界国际数学家大会的会标会标是根学习必备 欢迎下载(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.分析：在运用定理：abba2时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：x，y都是正数 yx0，xy0，x20，y20，x30，y30(1)xyyxxyyx22 即xyyx2.(2)xy2xy0 x2y2222yx0 x3y3233yx0（xy）（x2y2）（x3y3）2xy222yx233yxx3y3 即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.3.随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证（ab）（bc）（ca）abc 分析：对于此类题目，选择定理：abba2（a0，b0）灵活变形，可求得结果.解：a，b，c都是正数 ab2ab0 bc2bc0 ca2ac0（ab）（bc）（ca）2ab2bc2acabc 即（ab）（bc）（ca）abc.4.课时小结 本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（2ba），几何平均数（ab）及它们的关系（2ba ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab222ba，ab（2ba）2.象基本不等式情态与价值通过本节的学习体会数学来源于生活提高学习从不同角度探索不等式的证过程教学难点基本不等式板书设计等号成立充例题何背景如图是在北京召开的第界国际数学家大会的会标会标是根学习必备 欢迎下载 基本不等式 象基本不等式情态与价值通过本节的学习体会数学来源于生活提高学习从不同角度探索不等式的证过程教学难点基本不等式板书设计等号成立充例题何背景如图是在北京召开的第界国际数学家大会的会标会标是根
